Куб (алгебра)

В арифметике и алгебре куб числа n — это его третья степень , то есть результат умножения трех экземпляров n . Куб числа n обозначается n 3 ^, с использованием верхнего индекса 3 , ^[a] например 2 ³ = 8 . Операция возведения в куб может быть также определена для любого другого математического выражения , например ( x + 1) ³ .

Куб также представляет собой число, умноженное на его квадрат :

п ³ = п × п ² = п × п × п .

Функция куба — это функция x ↦ x ³ (часто обозначаемая как y = x ³ ), которая отображает число в его куб. Это нечетная функция , так как

(− n ) ³ = −( n ³ ) .

Объем геометрического куба равен кубу длины его стороны, что и дало название. Обратная операция, которая состоит в нахождении числа, куб которого равен n , называется извлечением кубического корня из n . Она определяет сторону куба заданного объема. Она также равна n, возведенному в третью степень.

График кубической функции известен как кубическая парабола . Поскольку кубическая функция является нечетной функцией, эта кривая имеет центр симметрии в начале координат, но не имеет оси симметрии .

Кубическое число , или совершенный куб , или иногда просто куб , — это число, которое является кубом целого числа . Неотрицательные совершенные кубы до 60 ³ (последовательность A000578 в OEIS ):

Геометрически говоря, положительное целое число m является идеальным кубом тогда и только тогда, когда можно расположить m цельных единичных кубов в более крупный цельный куб. Например, 27 маленьких кубиков можно расположить в один большой с видом кубика Рубика , так как 3 × 3 × 3 = 27 .

Разницу между кубами последовательных целых чисел можно выразить следующим образом:

п ³ − ( п − 1) ³ = 3( п − 1) п + 1 .

или

( n + 1) ³ − n ³ = 3( n + 1) n + 1 .

Минимального совершенного куба не существует, поскольку куб отрицательного целого числа отрицателен. Например, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

В отличие от полных квадратов , полные кубы не имеют малого количества возможностей для последних двух цифр. За исключением кубов, делящихся на 5, где только 25 , 75 и 00 могут быть последними двумя цифрами, любая пара цифр с нечетной последней цифрой может встречаться как последние цифры совершенного куба. С четными кубами существует значительное ограничение, так как только 00 , o2 , e4 , o6 и e8 могут быть последними двумя цифрами совершенного куба (где o обозначает любую нечетную цифру, а e — любую четную цифру). Некоторые кубические числа также являются квадратными числами; например, 64 является квадратным числом ( 8 × 8) и кубическим числом (4 × 4 × 4) . Это происходит тогда и только тогда, когда число является полной шестой степенью (в данном случае 2 ⁶ ).

Последние цифры каждой третьей степени:

Однако легко показать, что большинство чисел не являются идеальными кубами, поскольку все идеальные кубы должны иметь цифровой корень 1 , 8 или 9. То есть их значения по модулю 9 могут быть только 0, 1 и 8. Более того, цифровой корень куба любого числа можно определить по остатку, который дает это число при делении на 3:

• Если число x делится на 3, то его куб имеет цифровой корень 9; то есть,

  ${\displaystyle {\text{если}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{тогда}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (на самом деле}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};}$

• Если при делении на 3 остаток равен 1, то его куб имеет цифровой корень 1; то есть,

  ${\displaystyle {\text{если}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{тогда}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};}$

• Если при делении на 3 остаток равен 2, то его куб имеет цифровой корень 8; то есть,

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.}$

Предполагается, что каждое целое число (положительное или отрицательное), не сравнимое с ±4 по модулю 9, можно записать в виде суммы трех (положительных или отрицательных) кубов бесконечным числом способов. ^[1] Например, . Целые числа, сравнимые с ±4 по модулю 9, исключаются, поскольку их нельзя записать в виде суммы трех кубов.${\displaystyle 6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}}$

Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, — 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число с неизвестной суммой в 3 кубах, 42, удовлетворяет этому уравнению: ^[2]

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.}$

Одно решение приведено в таблице ниже для n ≤ 78 , и n не сравнимо с 4 или 5 по модулю 9. Выбранное решение — это то, которое является примитивным ( gcd( x , y , z ) = 1 ), не имеет вида или (так как они являются бесконечными семействами решений), удовлетворяет 0 ≤ | x | ≤ | y | ≤ | z | и имеет минимальные значения для | z | и | y | (проверяются в этом порядке). ^{[3] [4] [5]}${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$${\displaystyle c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}}$${\displaystyle (n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}}$

Выбираются только примитивные решения, поскольку непримитивные решения могут быть тривиально выведены из решений для меньшего значения n . Например, для n = 24 решение получается из решения путем умножения всего на Поэтому это еще одно решение, которое выбирается. Аналогично, для n = 48 решение ( x , y , z ) = (-2, -2, 4) исключается, и это решение ( x , y , z ) = (-23, -26, 31) , которое выбирается.${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}=24}$${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3}$${\displaystyle 8=2^{3}.}$

Уравнение x ³ + y ³ = z ³ не имеет нетривиальных (т.е. xyz ≠ 0 ) решений в целых числах. Фактически, оно не имеет ни одного в целых числах Эйзенштейна . ^[6]

Оба эти утверждения верны также для уравнения ^[7] x ³ + y ³ = 3 z ³ .

Сумма первых n кубов равна n- му треугольному числу в квадрате:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Доказательства. Чарльз Уитстон  (1854) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме в набор последовательных нечетных чисел. Он начинает с того, что дает тождество

${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.}$

Это тождество связано с треугольными числами следующим образом:${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$

и, таким образом, слагаемые, формирующие , начинаются сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения до . Применяем это свойство вместе с другим хорошо известным тождеством:${\displaystyle n^{3}}$${\displaystyle 1^{3}}$${\displaystyle (n-1)^{3}}$

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$

получаем следующий вывод:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

В более поздней математической литературе Штейн (1971) использует интерпретацию этих чисел с помощью подсчета прямоугольников, чтобы сформировать геометрическое доказательство тождества (см. также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006); он замечает, что это также может быть легко доказано (но неинформативно) по индукции, и утверждает, что Теплиц (1963) дает «интересное старое арабское доказательство». Каним (2004) дает чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) дают два дополнительных доказательства, а Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.

Например, сумма первых 5 кубов равна квадрату 5-го треугольного числа,

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}}$

Аналогичный результат можно получить для суммы первых y нечетных кубов:

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}}$

но x , y должны удовлетворять отрицательному уравнению Пелля x ² − 2 y ² = −1 . Например, для y = 5 и 29 , тогда,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}}$

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}}$

и т. д. Кроме того, каждое четное совершенное число , кроме наименьшего, является суммой первых 2^{⁠ п −1 / 2 ⁠}
нечетные кубы ( p = 3, 5, 7, ...):

${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}$

${\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}}$

Существуют примеры кубов чисел в арифметической прогрессии , сумма которых является кубом:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

${\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}}$

${\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}}$

с первым иногда идентифицируемым как таинственное число Платона . Формула F для нахождения суммы n кубов чисел в арифметической прогрессии с разностью d и начальным кубом a ³ ,

${\displaystyle F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}}$

дается

${\displaystyle F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})}$

Параметрическое решение

${\displaystyle F(d,a,n)=y^{3}}$

известен для частного случая d = 1 , или последовательных кубов, как было обнаружено Паглиани в 1829 году. ^[8]

В последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ... первое число является кубом ( 1 = 1 ³ ); сумма следующих двух чисел является следующим кубом ( 3 + 5 = 2 ³ ); сумма следующих трех чисел является следующим кубом ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ); и так далее.

Каждое положительное целое число можно записать как сумму девяти (или меньшего количества) положительных кубов. Этот верхний предел в девять кубов не может быть уменьшен, поскольку, например, 23 не может быть записано как сумма менее девяти положительных кубов:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ^{3 + 1 3} + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ .

Каждое положительное рациональное число является суммой трех положительных рациональных кубов, ^[9] и существуют рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов. ^[10]

В действительных числах функция куба сохраняет порядок: большие числа имеют большие кубы. Другими словами, кубы (строго) монотонно возрастают . Кроме того, ее областью значений является вся вещественная прямая : функция x ↦ x ³  : R → R является сюръекцией (принимает все возможные значения). Только три числа равны своим собственным кубам: −1 , 0 и 1 . Если −1 < x < 0 или 1 < x , то x ³ > x . Если x < −1 или 0 < x < 1 , то x ³ < x . Все вышеупомянутые свойства относятся также к любой более высокой нечетной степени ( x ⁵ , x ⁷ , ...) действительных чисел. Равенства и неравенства также верны в любом упорядоченном кольце .

Объемы подобных евклидовых тел относятся как кубы их линейных размеров.

В комплексных числах куб чисто мнимого числа также является чисто мнимым. Например, i ³ = − i .

Производная x ³ равна 3 x ² .​​

Кубы иногда обладают сюръективным свойством в других полях , например, в F _p для таких простых p , что p ≠ 1 (mod 3) , ^[11] , но не обязательно: см. контрпример с рациональными числами выше. Также в F ₇ только три элемента 0, ±1 являются совершенными кубами из семи в общей сложности. −1, 0 и 1 являются совершенными кубами в любом месте и единственными элементами поля, равными своим собственным кубам: x ³ − x = x ( x − 1)( x + 1) .

Определение кубов больших чисел было очень распространено во многих древних цивилизациях . Месопотамские математики создали клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней к старовавилонскому периоду (20-16 вв. до н. э.). ^{[12] [13]} Кубические уравнения были известны древнегреческому математику Диофанту . [ ^14] Герон Александрийский разработал метод вычисления кубических корней в I в. н. э. ^[15] Методы решения кубических уравнений и извлечения кубических корней появляются в «Девяти главах о математическом искусстве» , китайском математическом тексте, составленном около II в. до н. э. и прокомментированном Лю Хуэем в III в. н. э. ^[16]