Синусные и косинусные преобразования
Вариант преобразования Фурье
Синусоидальное и косинусоидальное преобразования преобразуют функцию в представление частотной области как сумму синусоидальных и косинусоидальных волн . Обратное преобразование преобразует обратно во временную или пространственную область.

В математике синусное и косинусное преобразования Фурье являются интегральными уравнениями , которые разлагают произвольные функции на сумму синусоидальных волн, представляющих нечетную составляющую функции, и косинусоидальных волн, представляющих четную составляющую функции. Современное преобразование Фурье кратко содержит как синусоидальное, так и косинусоидальное преобразования. Поскольку синусоидальное и косинусоидальное преобразования используют синусоидальные и косинусоидальные волны вместо комплексных экспонент и не требуют комплексных чисел или отрицательной частоты , они более точно соответствуют исходным уравнениям преобразования Джозефа Фурье и по-прежнему предпочтительны в некоторых приложениях обработки сигналов и статистики и могут лучше подходить в качестве введения в анализ Фурье .

Определение

Преобразования Фурье связывают функцию временной области (красную) с функцией частотной области (синюю). Синусоидальные или косинусоидальные волны, составляющие исходную функцию, будут появляться как пики в функциях частотной области, полученных с помощью синусоидального или косинусоидального преобразования соответственно.

Синус-преобразование Фурье имеет вид : [примечание 1] ф ( т ) {\displaystyle f(t)}

Синусоидальное преобразование Фурье

ф ^ с ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ ф ( т ) грех ⁡ ( 2 π ξ т ) г т . {\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.}

Если означает время , то — частота в циклах за единицу времени, [примечание 2], но в абстракции это может быть любая двойственная пара переменных (например, положение и пространственная частота ). т {\displaystyle т} ξ {\displaystyle \xi}

Синусоидальное преобразование обязательно является нечетной функцией частоты, т.е. для всех : ξ {\displaystyle \xi}

ф ^ с ( − ξ ) = − ф ^ с ( ξ ) . {\displaystyle {\hat {f}}^{s}(-\xi )=-{\hat {f}}^{s}(\xi ).}

Косинусное преобразование простой прямоугольной функции (высоты и ширины ) представляет собой нормализованный sinc, изображенный выше. 1 а {\displaystyle {\tfrac {1}{a}}} а {\displaystyle а} ( а ξ ) {\displaystyle (a\xi)}


Косинусное преобразование Фурье имеет вид : [примечание 3] ф ( т ) {\displaystyle f(t)}

Косинусное преобразование Фурье

ф ^ с ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ ф ( т ) потому что ⁡ ( 2 π ξ т ) г т . {\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}

Косинусное преобразование обязательно является четной функцией частоты, т.е. для всех : ξ {\displaystyle \xi}

ф ^ с ( − ξ ) = ф ^ с ( ξ ) . {\displaystyle {\hat {f}}^{c}(-\xi )={\hat {f}}^{c}(\xi ).}

Четное и нечетное упрощение

Как и все четные функции, левая половина гауссовой функции является зеркальным отражением ее правой половины, а ее синусное преобразование равно нулю. Гауссианы имеют вид и их косинусное преобразование: также является гауссовой функцией. Построенная гауссиана использует α = π и является своим собственным косинусным преобразованием. е − α т 2 {\displaystyle e^{-\альфа т^{2}}}
ф ^ с ( ξ ) = π α е − ( π ξ ) 2 α {\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi)={\sqrt {\tfrac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\альфа }}}}

Правила умножения для четных и нечетных функций, показанные в верхних скобках в следующих уравнениях, значительно упрощают подынтегральные выражения при преобразовании четных и нечетных функций . Некоторые авторы [1] определяют косинусное преобразование только для четных функций . Поскольку косинус является четной функцией и поскольку интеграл четной функции от до в два раза больше ее интеграла от до , косинусное преобразование любой четной функции можно упростить, чтобы избежать отрицательного : ф даже ( т ) {\displaystyle f_{\text{даже}}(t)} − ∞ {\displaystyle {-}\infty } ∞ {\displaystyle \infty} 0 {\displaystyle 0} ∞ {\displaystyle \infty} т {\displaystyle т}

ф ^ с ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ ф даже ( т ) ⋅ потому что ⁡ ( 2 π ξ т ) ⏞ даже·даже=даже г т = 2 ∫ 0 ∞ ф даже ( т ) потому что ⁡ ( 2 π ξ т ) г т . {\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{четный}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{четный·четный=четный}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{четный}}(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}

А поскольку интеграл от до любой нечетной функции равен нулю , косинусное преобразование любой нечетной функции просто равно нулю: − ∞ {\displaystyle {-}\infty } ∞ {\displaystyle \infty}

ф ^ с ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ ф странный ( т ) ⋅ потому что ⁡ ( 2 π ξ т ) ⏞ нечетный·четный=нечетный г т = 0. {\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{нечетный}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{нечетный·четный=нечетный}}\,dt=0.}

Нечетные функции не меняются, если повернуть их на 180 градусов вокруг начала координат . Их косинусное преобразование полностью равно нулю. Вышеуказанная нечетная функция содержит две сдвинутые во времени дельта-функции Дирака половинного размера . Ее синусное преобразование просто Аналогично, синусное преобразование — это приведенный выше график. Таким образом, синусоидальная функция и сдвинутая во времени дельта-функция Дирака образуют пару преобразований . грех ⁡ ( а ξ ) . {\displaystyle \sin(a\xi).} грех ⁡ ( а ξ ) {\displaystyle \sin(a\xi )}

Аналогично, поскольку sin нечетен, синусное преобразование любой нечетной функции также упрощается, чтобы избежать отрицательности : ф странный ( т ) {\displaystyle f_{\text{нечетный}}(t)} т {\displaystyle т}

ф ^ с ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ ф странный ( т ) ⋅ грех ⁡ ( 2 π ξ т ) ⏞ нечетный·нечетный=четный г т = 2 ∫ 0 ∞ ф странный ( т ) грех ⁡ ( 2 π ξ т ) г т {\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{нечет}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{нечет·нечет=чет}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{нечет}}(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt}

а синусное преобразование любой четной функции просто равно нулю:

ф ^ с ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ ф даже ( т ) ⋅ грех ⁡ ( 2 π ξ т ) ⏞ четный·нечетный=нечетный г т = 0. {\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{четный}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{четный·нечетный=нечетный}}\,dt=0.}

Синусное преобразование представляет нечетную часть функции , а косинусное преобразование представляет четную часть функции.

Другие конвенции

Подобно тому, как преобразование Фурье принимает форму различных уравнений с различными постоянными коэффициентами (см. преобразование Фурье § Унитарность и определение для квадратично интегрируемых функций для обсуждения), другие авторы также определяют косинусное преобразование как [2] и синусное преобразование как Другое соглашение определяет косинусное преобразование как [3] и синусное преобразование как используя в качестве переменной преобразования. И в то время как обычно используется для представления временной области, часто вместо этого используется для представления пространственной области при преобразовании в пространственные частоты. ф ^ с ( ξ ) = 2 π ∫ 0 ∞ ф ( т ) потому что ⁡ ( 2 π ξ т ) г т {\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt} ф ^ с ( ξ ) = 2 π ∫ 0 ∞ ф ( т ) грех ⁡ ( 2 π ξ т ) г т . {\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.} Ф с ( α ) = 2 π ∫ 0 ∞ ф ( х ) потому что ⁡ ( α х ) г х {\displaystyle F_{c}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\cos(\alpha x)\,dx} Ф с ( α ) = 2 π ∫ 0 ∞ ф ( х ) грех ⁡ ( α х ) г х {\displaystyle F_{s}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\sin(\alpha x)\,dx} α {\displaystyle \альфа} т {\displaystyle т} х {\displaystyle x}

инверсия Фурье

Исходную функцию можно восстановить из ее синусных и косинусных преобразований при обычных гипотезах [примечание 4], используя формулу обращения: [4] ф {\displaystyle f}

Обращение Фурье (из синусного и косинусного преобразований)

ф ( т ) = ∫ − ∞ ∞ ф ^ с ( ξ ) грех ⁡ ( 2 π ξ т ) г ξ ⏟ нечетный компонент  ф ( т ) + ∫ − ∞ ∞ ф ^ с ( ξ ) потому что ⁡ ( 2 π ξ т ) г ξ ⏟ даже компонент  ф ( т ) . {\displaystyle f(t)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi } _{{\text{нечетная составляющая }}f(t)}\,+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi } _{{\text{четная составляющая }}f(t)}\,.}

Упрощения

Обратите внимание, что поскольку оба подынтегральных выражения являются четными функциями , концепцию отрицательной частоты можно обойти, удвоив результат интегрирования по неотрицательным частотам: ξ {\displaystyle \xi}

ф ( т ) = 2 ∫ 0 ∞ ф ^ с ( ξ ) грех ⁡ ( 2 π ξ т ) г ξ + 2 ∫ 0 ∞ ф ^ с ( ξ ) потому что ⁡ ( 2 π ξ т ) г ξ . {\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi)\sin(2\pi \xi t)\,d\xi \,+2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi \,.}

Кроме того, если — нечетная функция , то косинусное преобразование равно нулю, поэтому его инверсия упрощается до: ф {\displaystyle f} ф ( т ) = ∫ − ∞ ∞ ф ^ с ( ξ ) грех ⁡ ( 2 π ξ т ) г ξ ,  только если  ф ( т )  странно. {\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is odd.}}}

Аналогично, если исходная функция является четной функцией , то синусное преобразование равно нулю, поэтому его инверсия также упрощается до: f {\displaystyle f}

f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ^ c ( ξ ) cos ⁡ ( 2 π ξ t ) d ξ ,  only if  f ( t )  is even. {\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is even.}}}

Примечательно, что эти последние две упрощенные формулы инверсии выглядят идентично исходным синусоидальным и косинусоидальным преобразованиям, соответственно, хотя и с переставленными местами с (и с переставленными местами с или ). Следствием этой симметрии является то, что их процессы инверсии и преобразования продолжают работать, когда две функции меняются местами. Две такие функции называются парами преобразований . [примечание 5] t {\displaystyle t} ξ {\displaystyle \xi } f {\displaystyle f} f ^ s {\displaystyle {\hat {f}}^{s}} f ^ c {\displaystyle {\hat {f}}^{c}}

Обзор доказательства инверсии

Используя формулу сложения для косинуса , полную формулу обращения можно также переписать как интегральную формулу Фурье : [5] [6] Эта теорема часто формулируется при различных гипотезах, что она интегрируема и имеет ограниченную вариацию на открытом интервале, содержащем точку , в этом случае f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ) cos ⁡ ( 2 π ξ ( x − t ) ) d x d ξ . {\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .} f {\displaystyle f} t {\displaystyle t} 1 2 lim h → 0 ( f ( t + h ) + f ( t − h ) ) = 2 ∫ 0 ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ) cos ⁡ ( 2 π ξ ( x − t ) ) d x d ξ . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left(f(t+h)+f(t-h)\right)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}

Эта последняя форма является полезным промежуточным шагом в доказательстве обратных формул для преобразований since и cosine. Один из методов его вывода, согласно Коши, заключается в подстановке a в интеграл, где фиксировано. Тогда Теперь, когда , подынтегральное выражение стремится к нулю, за исключением , так что формально вышесказанное имеет вид e − δ ξ {\displaystyle e^{-\delta \xi }} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ 0 ∞ e − δ ξ cos ⁡ ( 2 π ξ ( x − t ) ) d ξ f ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) 2 δ δ 2 + 4 π 2 ( x − t ) 2 d x . {\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\delta \xi }\cos(2\pi \xi (x-t))\,d\xi \,f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx.} δ → 0 {\displaystyle \delta \to 0} x = t {\displaystyle x=t} f ( t ) ∫ − ∞ ∞ 2 δ δ 2 + 4 π 2 ( x − t ) 2 d x = f ( t ) . {\displaystyle f(t)\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx=f(t).}

Связь с комплексными экспонентами

Комплексная экспоненциальная форма преобразования Фурье, используемая сегодня чаще всего, имеет вид [7] где — квадратный корень из отрицательной единицы . Применяя формулу Эйлера , можно показать (для вещественных функций), что вещественная составляющая преобразования Фурье — это косинусное преобразование (представляющее четную составляющую исходной функции), а мнимая составляющая преобразования Фурье — это отрицательная часть синусного преобразования (представляющая нечетную составляющую исходной функции): [8] Из-за этой связи косинусное преобразование функций, преобразование Фурье которых известно (например, в преобразовании Фурье § Таблицы важных преобразований Фурье ), можно просто найти, взяв действительную часть преобразования Фурье: в то время как синусное преобразование — это просто отрицательная часть мнимой части преобразования Фурье: f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − 2 π i ξ t d t {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\xi t}\,dt\\\end{aligned}}\,} i {\displaystyle i} ( e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) , {\textstyle (e^{ix}=\cos x+i\sin x),} f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ( cos ⁡ ( 2 π ξ t ) − i sin ⁡ ( 2 π ξ t ) ) d t Euler's Formula = ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) cos ⁡ ( 2 π ξ t ) d t ) − i ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) sin ⁡ ( 2 π ξ t ) d t ) = f ^ c ( ξ ) − i f ^ s ( ξ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\left(\cos(2\pi \xi t)-i\,\sin(2\pi \xi t)\right)dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt\right)\\&={\hat {f}}^{c}(\xi )-i\,{\hat {f}}^{s}(\xi )\,.\end{aligned}}} f ^ c ( ξ ) = R e [ f ^ ( ξ ) ] {\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\mathrm {Re} {[\;{\hat {f}}(\xi )\;]}} f ^ s ( ξ ) = − I m [ f ^ ( ξ ) ] . {\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=-\mathrm {Im} {[\;{\hat {f}}(\xi )\;]}\,.}

Плюсы и минусы

Сложение синусоидальной волны (красной) и косинусоидальной волны (синей) той же частоты приводит к сдвинутой по фазе синусоидальной волне (зеленой) той же частоты, но амплитуда и фаза которой зависят от амплитуд исходной синусоидальной и косинусоидальной волн . Следовательно, на определенной частоте синусоидальное преобразование и косинусоидальное преобразование вместе по сути представляют собой только одну синусоидальную волну, которая может иметь любой сдвиг фазы.

Преимущество современного преобразования Фурье заключается в том, что в то время как синусное и косинусное преобразования вместе требуются для извлечения фазовой информации частоты, современное преобразование Фурье вместо этого компактно упаковывает как фазовую , так и амплитудную информацию внутри своего комплекснозначного результата. Но недостатком является его требование понимания комплексных чисел, комплексных экспонент и отрицательной частоты.

Синусоидальные и косинусоидальные преобразования, тем временем, имеют то преимущество, что все величины являются действительными. Поскольку положительные частоты могут полностью их выразить, нетривиальное понятие отрицательной частоты, необходимое в обычном преобразовании Фурье, можно избежать. Они также могут быть удобны, когда исходная функция уже четная или нечетная или может быть сделана четной или нечетной, в этом случае требуется только косинусоидальное или синусоидальное преобразование соответственно. Например, даже если вход может не быть четным или нечетным, дискретное косинусоидальное преобразование может начинаться с предположения четного расширения своего входа, в то время как дискретное синусоидальное преобразование может начинаться с предположения нечетного расширения своего входа, чтобы избежать необходимости вычислять все дискретное преобразование Фурье .

Численная оценка

Использование стандартных методов численной оценки для интегралов Фурье, таких как квадратуры Гаусса или tanh-sinh, скорее всего, приведет к совершенно неверным результатам, поскольку квадратурная сумма (для большинства интересующих интегрантов) крайне плохо обусловлена. Требуются специальные численные методы, которые используют структуру колебания, примером которых является метод Оуры для интегралов Фурье [9]. Этот метод пытается оценить подынтегральное выражение в местах, которые асимптотически приближаются к нулям колебания (либо к синусу, либо к косинусу), быстро уменьшая величину положительных и отрицательных членов, которые суммируются.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Синусоидальное преобразование иногда обозначается символом вместо . F s ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}(f)} f ^ s {\displaystyle {\hat {f}}^{s}}
  2. ^ Хотя в этой статье используется обычная частота в циклах за единицу времени, которая обычно использует герц и секунду в качестве единиц, эти преобразования иногда выражаются с использованием угловой частоты в угловых единицах (например, радианах ) за единицу времени, где радиан в секунду равен . ξ {\displaystyle \xi } ω {\displaystyle \omega }   2 π ξ {\displaystyle 2\pi \xi }
  3. ^ Косинусное преобразование иногда обозначается символом вместо . F c ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}(f)} f ^ c {\displaystyle {\hat {f}}^{c}}
  4. ^ Обычные гипотезы таковы, что и оба его преобразования должны быть абсолютно интегрируемыми. Для получения более подробной информации о различных гипотезах см. теорему об обращении Фурье . f {\displaystyle f}
  5. ^ Более общее современное преобразование Фурье имеет эту симметрию даже когда исходные функции не являются четными или нечетными. Обозначение для обозначения пар преобразований Фурье: f ( t )   ⟷ F   f ^ ( ξ ) . {\displaystyle f(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ).}

Ссылки

  • Уиттекер, Эдмунд и Джеймс Уотсон, Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211
  1. ^ Мэри Л. Боас , Математические методы в физических науках , 2-е изд., John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN  0-471-04409-1
  2. ^ Nyack, Cuthbert (1996). "Преобразование Фурье, косинусные и синусные преобразования". cnyack.homestead.com . Архивировано из оригинала 2023-06-07 . Получено 2018-10-08 .
  3. ^ Коулман, Мэтью П. (2013). Введение в уравнения с частными производными с помощью MATLAB (Второе изд.). Бока-Ратон. стр. 221. ISBN 978-1-4398-9846-8. OCLC  822959644.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  4. ^ Пуанкаре, Анри (1895). Аналитическая теория распространения таланта. Париж: Г. Карре. стр. 108 и далее.
  5. ^ Эдвин Титчмарш (1948), Введение в теорию интеграла Фурье , Оксфорд, Clarendon Press, стр. 1
  6. ^ Уиттекер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (1927-01-02). Курс современного анализа: Введение в общую теорию бесконечных процессов и аналитических функций; с учетом главных трансцендентных функций (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 189. ISBN 0-521-06794-4. ISBN 978-0-521-06794-2 . 
  7. ^ Valentinuzzi, Max E. (2016-01-25). "Highlights in the History of the Fourier Transform". IEEE Pulse . Архивировано из оригинала 2024-05-15 . Получено 2024-09-09 .
  8. ^ Уильямс, Лэнс Р. (2011-09-06). "Четные и нечетные функции" (PDF) . www.cs.unm.edu/~williams/ . Архивировано (PDF) из оригинала 2024-05-02 . Получено 2024-09-11 .
  9. ^ Такуя Оура, Масатаке Мори, Надежная двойная экспоненциальная формула для интегралов типа Фурье , Журнал вычислительной и прикладной математики 112.1-2 (1999): 229-241.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Sine_and_cosine_transforms&oldid=1270908033"