Распределение Конвея–Максвелла–биномиальное
Дискретное распределение вероятностей
Конвей–Максвелл–биномиальный
Параметры н ∈ { 1 , 2 , … } , {\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \},} 0 ≤ п ≤ 1 , {\displaystyle 0\leq p\leq 1,} − ∞ < ν < ∞ {\displaystyle -\infty <\nu <\infty }
Поддерживать х ∈ { 0 , 1 , 2 , … , н } {\displaystyle x\in \{0,1,2,\точки ,n\}}
ПМФ 1 С н , п , ν ( н х ) ν п дж ( 1 − п ) н − х {\displaystyle {\frac {1}{C_{n,p,\nu }}}{\binom {n}{x}}^{\nu }p^{j}(1-p)^{nx} }
СДФ ∑ я = 0 х Пр ( Х = я ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{x}\Pr(X=i)}
Иметь в видуНе указано
МедианаНет закрытой формы
РежимСм. текст
ДисперсияНе указано
АсимметрияНе указано
Избыточный эксцессНе указано
ЭнтропияНе указано
МГФСм. текст
CFСм. текст

В теории вероятностей и статистике распределение Конвея –Максвелла–биномиальное (CMB) представляет собой трехпараметрическое дискретное распределение вероятностей, которое обобщает биномиальное распределение аналогично тому, как распределение Конвея–Максвелла–Пуассона обобщает распределение Пуассона . Распределение CMB можно использовать для моделирования как положительной, так и отрицательной связи между слагаемыми Бернулли . [1] [2]

Распределение было введено Шумели и др. (2005) [1] , а название «биномиальное распределение Конвея–Максвелла» было введено независимо Кадане (2016) [ 2] и Дейли и Гонтом (2016) [3] .

Функция массы вероятности

Распределение Конвея–Максвелла–биномиальное (CMB) имеет функцию массы вероятности

Пр ( И = дж ) = 1 С н , п , ν ( н дж ) ν п дж ( 1 − п ) н − дж , дж ∈ { 0 , 1 , … , н } , {\displaystyle \Pr(Y=j)={\frac {1}{C_{n,p,\nu }}}{\binom {n}{j}}^{\nu }p^{j}( 1-p)^{nj}\,,\qquad j\in \{0,1,\ldots ,n\},}

где , и . Нормирующая константа определяется как н ∈ Н = { 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}} 0 ≤ п ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} − ∞ < ν < ∞ {\displaystyle -\infty <\nu <\infty } С н , п , ν {\displaystyle C_{n,p,\nu }}

С н , п , ν = ∑ я = 0 н ( н я ) ν п я ( 1 − п ) н − я . {\displaystyle C_{n,p,\nu }=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}^{\nu }p^{i}(1-p) ^{ни}.}

Если случайная величина имеет указанную выше функцию массы, то мы пишем . И {\displaystyle Y} И ∼ КМБ ⁡ ( н , п , ν ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB} (n,p,\nu )}

В данном случае имеет место обычное биномиальное распределение . ν = 1 {\displaystyle \nu =1} И ∼ Корзина ⁡ ( н , п ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {Бин} (n,p)}

Связь с распределением Конвея–Максвелла–Пуассона

Следующее соотношение между случайными величинами Конвея–Максвелла–Пуассона (CMP) и CMB [ 1] обобщает известный результат относительно случайных величин Пуассона и биномиального распределения. Если и независимы , то . Х 1 ∼ КМП ⁡ ( λ 1 , ν ) {\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {CMP} (\lambda _{1},\nu )} Х 2 ∼ КМП ⁡ ( λ 2 , ν ) {\displaystyle X_{2}\sim \operatorname {CMP} (\lambda _{2},\nu )} Х 1 | Х 1 + Х 2 = н ∼ КМБ ⁡ ( н , λ 1 / ( λ 1 + λ 2 ) , ν ) {\displaystyle X_{1}\,|\,X_{1}+X_{2}=n\sim \operatorname {CMB} (n,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2}),\nu )}

Сумма возможно связанных случайных величин Бернулли

Случайную величину можно записать [1] как сумму взаимозаменяемых случайных величин Бернулли, удовлетворяющих условию И ∼ КМБ ⁡ ( н , п , ν ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB} (n,p,\nu )} З 1 , … , З н {\displaystyle Z_{1},\ldots,Z_{n}}

Пр ( З 1 = з 1 , … , З н = з н ) = 1 С н , п , ν ( н к ) ν − 1 п к ( 1 − п ) н − к , {\displaystyle \Pr(Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})={\frac {1}{C_{n,p,\nu }}}{\ бином {n}{k}}^{\nu -1}p^{k}(1-p)^{nk},}

где . Обратите внимание, что в общем случае, если . к = з 1 + ⋯ + з н {\displaystyle k=z_{1}+\cdots +z_{n}} Э ⁡ З 1 ≠ п {\displaystyle \operatorname {E} Z_{1}\not =p} ν = 1 {\displaystyle \nu =1}

Генерация функций

Позволять

Т ( х , ν ) = ∑ к = 0 н х к ( н к ) ν . {\displaystyle T(x,\nu)=\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}^{\nu }.}

Тогда функция генерации вероятности , функция генерации момента и характеристическая функция задаются соответственно следующим образом: [2]

Г ( т ) = Т ( т п / ( 1 − п ) , ν ) Т ( п ( 1 − п ) , ν ) , {\displaystyle G(t)={\frac {T(tp/(1-p),\nu )}{T(p(1-p),\nu )}},}
М ( т ) = Т ( е т п / ( 1 − п ) , ν ) Т ( п ( 1 − п ) , ν ) , {\displaystyle M(t)={\frac {T(\mathrm {e} ^{t}p/(1-p),\nu )}{T(p(1-p),\nu )}},}
φ ( т ) = Т ( е я т п / ( 1 − п ) , ν ) Т ( п ( 1 − п ) , ν ) . {\displaystyle \varphi (t)={\frac {T(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}p/(1-p),\nu )}{T(p(1-p) ,\nu )}}.}

Моменты

Для общего случая не существует замкнутых выражений для моментов распределения CMB. При этом выполняется следующее математическое соотношение: [3] ν {\displaystyle \nu}

Пусть обозначает падающий факториал . Если , где , то ( дж ) г = дж ( дж − 1 ) ⋯ ( дж − г + 1 ) {\displaystyle (j)_{r}=j(j-1)\cdots (j-r+1)} И ∼ КМБ ⁡ ( н , п , ν ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB} (n,p,\nu )} ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

Э ⁡ [ ( ( И ) г ) ν ] = С н − г , п , ν С н , п , ν ( ( н ) г ) ν п г , {\displaystyle \operatorname {E} [((Y)_{r})^{\nu }] = {\frac {C_ {nr,p,\nu }}{C_{n,p,\nu }} }((n)_{r})^{\nu }p^{r}\,,}

для . г = 1 , … , н − 1 {\displaystyle r=1,\ldots ,n-1}

Режим

Пусть и определите И ∼ КМБ ⁡ ( н , п , ν ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB} (n,p,\nu )}

а = н + 1 1 + ( 1 − п п ) 1 / ν . {\displaystyle a={\frac {n+1}{1+\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{1/\nu }}}.}

Тогда мода равна , если не является целым числом . В противном случае модами являются и . [3] И {\displaystyle Y} ⌊ а ⌋ {\displaystyle \lfloor a\rfloor } а {\displaystyle а} И {\displaystyle Y} а {\displaystyle а} а − 1 {\displaystyle а-1}

Характеристика Стайна

Пусть , и предположим, что таково, что и . Тогда [3] И ∼ КМБ ⁡ ( н , п , ν ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB} (n,p,\nu )} ф : З + ↦ Р {\displaystyle е:\mathbb {Z} ^{+}\mapsto \mathbb {R}} Э ⁡ | ф ( И + 1 ) | < ∞ {\displaystyle \operatorname {E} |f(Y+1)|<\infty } Э ⁡ | И ν ф ( И ) | < ∞ {\displaystyle \operatorname {E} |Y^{\nu }f(Y)|<\infty }

Э ⁡ [ п ( н − И ) ν ф ( И + 1 ) − ( 1 − п ) И ν ф ( И ) ] = 0. {\displaystyle \operatorname {E} [p(nY)^{\nu }f(Y+1)-(1-p)Y^{\nu }f(Y)]=0.}

Аппроксимация распределением Конвея–Максвелла–Пуассона

Зафиксируем и и пусть Тогда сходится по распределению к распределению как . [3] Этот результат обобщает классическое приближение Пуассона биномиального распределения. λ > 0 {\displaystyle \лямбда >0} ν > 0 {\displaystyle \nu >0} И н ∼ С М Б ( н , λ / н ν , ν ) {\displaystyle Y_{n}\sim \mathrm {CMB} (n,\lambda /n^{\nu },\nu)} И н {\displaystyle Y_{n}} С М П ( λ , ν ) {\displaystyle \mathrm {CMP} (\lambda,\nu)} н → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty }

Биномиальное распределение Конвея–Максвелла–Пуассона

Пусть — случайные величины Бернулли с совместным распределением, заданным формулой Х 1 , … , Х н {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}

Пр ( Х 1 = х 1 , … , Х н = х н ) = 1 С н ′ ( н к ) ν − 1 ∏ дж = 1 н п дж х дж ( 1 − п дж ) 1 − х дж , {\displaystyle \Pr(X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n})={\frac {1}{C_{n}'}}{\binom {n} {k}}^{\nu -1}\prod _{j=1}^{n}p_{j}^{x_{j}}(1-p_{j})^{1-x_{j}},}

где и нормирующая константа определяется выражением к = х 1 + ⋯ + х н {\displaystyle k=x_{1}+\cdots +x_{n}} C n ′ {\displaystyle C_{n}^{\prime }}

C n ′ = ∑ k = 0 n ( n k ) ν − 1 ∑ A ∈ F k ∏ i ∈ A p i ∏ j ∈ A c ( 1 − p j ) , {\displaystyle C_{n}'=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\nu -1}\sum _{A\in F_{k}}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j}),}

где

F k = { A ⊆ { 1 , … , n } : | A | = k } . {\displaystyle F_{k}=\left\{A\subseteq \{1,\ldots ,n\}:|A|=k\right\}.}

Пусть . Тогда имеет массовую функцию W = X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle W=X_{1}+\cdots +X_{n}} W {\displaystyle W}

Pr ( W = k ) = 1 C n ′ ( n k ) ν − 1 ∑ A ∈ F k ∏ i ∈ A p i ∏ j ∈ A c ( 1 − p j ) , {\displaystyle \Pr(W=k)={\frac {1}{C_{n}'}}{\binom {n}{k}}^{\nu -1}\sum _{A\in F_{k}}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j}),}

для . Это распределение обобщает биномиальное распределение Пуассона способом, аналогичным обобщениям CMP и CMB распределений Пуассона и биномиального распределения. Поэтому говорят, что такая случайная величина [3] следует биномиальному распределению Конвея–Максвелла–Пуассона (CMPB). Это не следует путать с довольно неудачной терминологией Conway–Maxwell–Poisson–binomial, которая использовалась в [1] для распределения CMB. k = 0 , 1 , … , n {\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}

В данном случае имеет место обычное биномиальное распределение Пуассона, а в данном случае — распределение. ν = 1 {\displaystyle \nu =1} p 1 = ⋯ = p n = p {\displaystyle p_{1}=\cdots =p_{n}=p} CMB ⁡ ( n , p , ν ) {\displaystyle \operatorname {CMB} (n,p,\nu )}

Ссылки

  1. ^ abcde Шмуэли Г., Минка Т., Кадане Дж. Б., Борле С. и Боутрайт П. Б. «Полезное распределение для подгонки дискретных данных: возрождение распределения Конвея–Максвелла–Пуассона». Журнал Королевского статистического общества : Серия C (Прикладная статистика) 54.1 (2005): 127–142.[1]
  2. ^ abc Кадане, Дж. Б. «Суммы возможно связанных переменных Бернулли: распределение Конвея–Максвелла–Биномиальное». Байесовский анализ 11 (2016): 403–420.
  3. ^ abcdef Дейли, Ф. и Гонт, Р. Э. «Распределение Конвея–Максвелла–Пуассона: теория распределения и аппроксимация». ALEA Latin American Journal of Probabability and Mathematical Statistics 13 (2016): 635–658.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Conway–Maxwell–binomial_distribution&oldid=1269974231"