Континуант (математика)

В алгебре континуант — многомерный полином, представляющий определитель трехдиагональной матрицы и имеющий применение в цепных дробях .

Определение

n - й континуант определяется рекурсивно как К н ( х 1 , х 2 , … , х н ) {\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}

К 0 = 1 ; {\displaystyle K_{0}=1;\,}
К 1 ( х 1 ) = х 1 ; {\displaystyle K_{1}(x_{1})=x_{1};\,}
К н ( х 1 , х 2 , … , х н ) = х н К н − 1 ( х 1 , х 2 , … , х н − 1 ) + К н − 2 ( х 1 , х 2 , … , х н − 2 ) . {\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-2}).\,}

Характеристики

  • Континуант можно вычислить, взяв сумму всех возможных произведений x 1 ,..., x n , в которых любое количество непересекающихся пар последовательных членов удалено ( правило Эйлера ). Например, К н ( х 1 , х 2 , … , х н ) {\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}
    К 5 ( х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5 ) = х 1 х 2 х 3 х 4 х 5 + х 3 х 4 х 5 + х 1 х 4 х 5 + х 1 х 2 х 5 + х 1 х 2 х 3 + х 1 + х 3 + х 5 . {\displaystyle K_{5}(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4},\;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}\;+\;x_{3}\;+\;x_{5}.}
Отсюда следует, что континуанты инвариантны относительно изменения порядка неопределенностей на обратный: К н ( х 1 , … , х н ) = К н ( х н , … , х 1 ) . {\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=K_{n}(x_{n},\;\ldots ,\;x_{1}).}
  • Континуант можно вычислить как определитель трехдиагональной матрицы :
    К н ( х 1 , х 2 , … , х н ) = дет ( х 1 1 0 ⋯ 0 − 1 х 2 1 ⋱ ⋮ 0 − 1 ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 1 0 ⋯ 0 − 1 х н ) . {\displaystyle K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.}
  • К н ( 1 , … , 1 ) = Ф н + 1 {\displaystyle K_{n}(1,\;\ldots,\;1)=F_{n+1}} , ( n +1)-е число Фибоначчи .
  • К н ( х 1 , … , х н ) К н − 1 ( х 2 , … , х н ) = х 1 + К н − 2 ( х 3 , … , х н ) К н − 1 ( х 2 , … , х н ) . {\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots,\;x_{n})}}=x_{1}+{\frac {K_{n-2}(x_{3},\;\ldots,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots,\;x_{n})}}.}
  • Отношения континуантов представляют собой (сходящиеся) непрерывные дроби следующим образом:
    К н ( х 1 , … , х н ) К н − 1 ( х 2 , … , х н ) = [ х 1 ; х 2 , … , х н ] = х 1 + 1 х 2 + 1 х 3 + … . {\displaystyle {\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=[x_{1};\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\ldots }}}}}.}
  • Имеет место следующее матричное тождество:
    ( К н ( х 1 , … , х н ) К н − 1 ( х 1 , … , х н − 1 ) К н − 1 ( х 2 , … , х н ) К н − 2 ( х 2 , … , х н − 1 ) ) = ( х 1 1 1 0 ) × … × ( х н 1 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\\K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\times \ldots \times {\begin{pmatrix}x_{n}&1\\1&0\end{pmatrix}}} .
    • Для детерминант это означает, что
      K n ( x 1 , … , x n ) ⋅ K n − 2 ( x 2 , … , x n − 1 ) − K n − 1 ( x 1 , … , x n − 1 ) ⋅ K n − 1 ( x 2 , … , x n ) = ( − 1 ) n . {\displaystyle K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=(-1)^{n}.}
    • а также
      K n − 1 ( x 2 , … , x n ) ⋅ K n + 2 ( x 1 , … , x n + 2 ) − K n ( x 1 , … , x n ) ⋅ K n + 1 ( x 2 , … , x n + 2 ) = ( − 1 ) n + 1 x n + 2 . {\displaystyle K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.}

Обобщения

Обобщенное определение берет континуант относительно трех последовательностей a , b и c , так что K ( n ) является полиномом от a 1 ,..., an , b 1 , ... , b n −1 и c 1 ,..., c n −1 . В этом случае рекуррентное соотношение становится

K 0 = 1 ; {\displaystyle K_{0}=1;\,}
K 1 = a 1 ; {\displaystyle K_{1}=a_{1};\,}
K n = a n K n − 1 − b n − 1 c n − 1 K n − 2 . {\displaystyle K_{n}=a_{n}K_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}K_{n-2}.\,}

Поскольку b r и c r входят в K только как произведение b r c r , то без потери общности можно предположить, что все b r равны 1.

Обобщенный континуант — это в точности определитель трехдиагональной матрицы

( a 1 b 1 0 … 0 0 c 1 a 2 b 2 … 0 0 0 c 2 a 3 … 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 … a n − 1 b n − 1 0 0 0 … c n − 1 a n ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&0&\ldots &0&0\\c_{1}&a_{2}&b_{2}&\ldots &0&0\\0&c_{2}&a_{3}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &a_{n-1}&b_{n-1}\\0&0&0&\ldots &c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}.}

В книге Мьюира обобщенный континуант называется просто континуантом.

Ссылки

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Continuant_(mathematics)&oldid=1256788273"