Параболоидальные координаты

Параболоидальные координаты — это трехмерные ортогональные координаты , обобщающие двумерные параболические координаты . Они обладают эллиптическими параболоидами в качестве однокоординатных поверхностей. Как таковые, их следует отличать от параболических цилиндрических координат и параболических вращательных координат , которые также являются обобщениями двумерных параболических координат. Координатные поверхности первых являются параболическими цилиндрами, а координатные поверхности вторых — круговыми параболоидами. ( μ , ν , λ ) {\displaystyle (\mu,\nu,\lambda)}

В отличие от цилиндрических и вращательных параболических координат, но подобно связанным с ними эллипсоидальным координатам , координатные поверхности параболоидальной системы координат не создаются путем вращения или проецирования какой-либо двумерной ортогональной системы координат.

Основные формулы

Декартовы координаты могут быть получены из эллипсоидальных координат с помощью уравнений [1] ( х , у , з ) {\displaystyle (x,y,z)} ( μ , ν , λ ) {\displaystyle (\mu,\nu,\lambda)}

х 2 = 4 б − с ( μ − б ) ( б − ν ) ( б − λ ) {\displaystyle x^{2}={\frac {4}{bc}}(\mu -b)(b-\nu )(b-\lambda )}
у 2 = 4 б − с ( μ − с ) ( с − ν ) ( λ − с ) {\displaystyle y^{2}={\frac {4}{bc}}(\mu -c)(c-\nu )(\lambda -c)}
з = μ + ν + λ − б − с {\displaystyle z=\mu +\nu +\lambda -bc}

с

μ > б > λ > с > ν > 0 {\displaystyle \mu >b>\lambda >c>\nu >0}

Следовательно, поверхности константы представляют собой эллиптические параболоиды, раскрывающиеся вниз: μ {\displaystyle \мю}

х 2 μ − б + у 2 μ − с = − 4 ( з − μ ) {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -b}}+{\frac {y^{2}}{\mu -c}}=-4(z-\mu)}

Аналогично, поверхности константы представляют собой эллиптические параболоиды, раскрывающиеся вверх , ν {\displaystyle \nu}

х 2 б − ν + у 2 с − ν = 4 ( з − ν ) {\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\nu }}+{\frac {y^{2}}{c-\nu }}=4(z-\nu )}

тогда как поверхности константы являются гиперболическими параболоидами: λ {\displaystyle \лямбда}

х 2 б − λ − у 2 λ − с = 4 ( з − λ ) {\displaystyle {\frac {x^{2}}{b-\lambda }}-{\frac {y^{2}}{\lambda -c}}=4(z-\lambda )}

Масштабные факторы

Масштабные коэффициенты для параболоидальных координат равны [2] ( μ , ν , λ ) {\displaystyle (\mu,\nu,\lambda)}

час μ = [ ( μ − ν ) ( μ − λ ) ( μ − б ) ( μ − с ) ] 1 / 2 {\displaystyle h_{\mu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}}\right]^{1/2}}
час ν = [ ( μ − ν ) ( λ − ν ) ( б − ν ) ( с − ν ) ] 1 / 2 {\displaystyle h_{\nu }=\left[{\frac {\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}}\right]^{1/2}}
час λ = [ ( λ − ν ) ( μ − λ ) ( б − λ ) ( λ − с ) ] 1 / 2 {\displaystyle h_{\lambda }=\left[{\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}{\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}}\right]^{1/2}}

Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

г В = ( μ − ν ) ( μ − λ ) ( λ − ν ) [ ( μ − б ) ( μ − с ) ( б − ν ) ( с − ν ) ( б − λ ) ( λ − с ) ] 1 / 2   г λ г μ г ν {\displaystyle dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b- \nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }

Дифференциальные операторы

Общие дифференциальные операторы могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных множителей в общие формулы для этих операторов , которые применимы к любым трехмерным ортогональным координатам. Например, оператор градиента имеет вид ( μ , ν , λ ) {\displaystyle (\mu,\nu,\lambda)}

∇ = [ ( μ − б ) ( μ − с ) ( μ − ν ) ( μ − λ ) ] 1 / 2 е μ ∂ ∂ μ + [ ( б − ν ) ( с − ν ) ( μ − ν ) ( λ − ν ) ] 1 / 2 е ν ∂ ∂ ν + [ ( б − λ ) ( λ − с ) ( λ − ν ) ( μ − λ ) ] 1 / 2 е λ ∂ ∂ λ {\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}}

и Лапласиан - это

∇ 2 = [ ( μ − б ) ( μ − с ) ( μ − ν ) ( μ − λ ) ] 1 / 2 ∂ ∂ μ [ ( μ − б ) 1 / 2 ( μ − с ) 1 / 2 ∂ ∂ μ ] + [ ( б − ν ) ( с − ν ) ( μ − ν ) ( λ − ν ) ] 1 / 2 ∂ ∂ ν [ ( б − ν ) 1 / 2 ( с − ν ) 1 / 2 ∂ ∂ ν ] + [ ( б − λ ) ( λ − с ) ( λ − ν ) ( μ − λ ) ] 1 / 2 ∂ ∂ λ [ ( б − λ ) 1 / 2 ( λ − с ) 1 / 2 ∂ ∂ λ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}}

Приложения

Параболоидальные координаты могут быть полезны для решения некоторых частных дифференциальных уравнений . Например, уравнение Лапласа и уравнение Гельмгольца оба разделимы в параболоидальных координатах. Следовательно, координаты могут быть использованы для решения этих уравнений в геометриях с параболоидальной симметрией, т.е. с граничными условиями, заданными на сечениях параболоидов.

Уравнение Гельмгольца имеет вид . Принимая , разделенные уравнения имеют вид [3] ( ∇ 2 + k 2 ) ψ = 0 {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0} ψ = M ( μ ) N ( ν ) Λ ( λ ) {\displaystyle \psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )}

( μ − b ) ( μ − c ) d 2 M d μ 2 + 1 2 [ 2 μ − ( b + c ) ] d M d μ + [ k 2 μ 2 + α 3 μ − α 2 ] M = 0 ( b − ν ) ( c − ν ) d 2 N d ν 2 + 1 2 [ 2 ν − ( b + c ) ] d N d ν + [ k 2 ν 2 + α 3 ν − α 2 ] N = 0 ( b − λ ) ( λ − c ) d 2 Λ d λ 2 − 1 2 [ 2 λ − ( b + c ) ] d Λ d λ − [ k 2 λ 2 + α 3 λ − α 2 ] Λ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\Lambda =0\\\end{aligned}}}

где и — две константы разделения. Аналогично, разделенные уравнения для уравнения Лапласа можно получить, установив выше. α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} α 3 {\displaystyle \alpha _{3}} k = 0 {\displaystyle k=0}

Каждое из разделенных уравнений может быть представлено в виде уравнения Бэра . Прямое решение уравнений, однако, затруднено, отчасти потому, что константы разделения и появляются одновременно во всех трех уравнениях. α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} α 3 {\displaystyle \alpha _{3}}

Следуя вышеизложенному подходу, параболоидальные координаты были использованы для решения задачи об электрическом поле, окружающем проводящий параболоид. [4]

Ссылки

  1. ^ Юн, LCLY; М, Виллацен (2011), Разделимые граничные задачи в физике , Wiley-VCH, стр. 217, ISBN 978-3-527-63492-7
  2. ^ Виллатцен и Юн (2011), стр. 219
  3. ^ Виллатцен и Юн (2011), стр. 227
  4. ^ Дугген, Л.; Виллатцен, М.; Вун, Л. С. Лью Ян (2012), «Краевая задача Лапласа в параболоидальных координатах», Европейский журнал физики , 33 (3): 689– 696, Bibcode : 2012EJPh...33..689D, doi : 10.1088/0143-0807/33/3/689

Библиография

  • Лью Ян Вун LC, Виллацен М (2011). Разделимые краевые задачи в физике . Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-41020-0.
  • Морзе П.М. , Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 664. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515.
  • Маргенау Х. , Мерфи Г. М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. С. 184–185. LCCN  55010911.
  • Корн ГА, Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 180. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
  • Арфкен Г. (1970). Математические методы для физиков (2-е изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. С.  119–120 .
  • Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 98. LCCN  67025285.
  • Zwillinger D (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Jones and Bartlett. стр. 114. ISBN 0-86720-293-9. То же, что и у Морзе и Фешбаха (1953), с заменой u k на ξ k .
  • Moon P, Spencer DE (1988). "Параболоидальные координаты (μ, ν, λ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). New York: Springer-Verlag. С. 44–48 (таблица 1.11). ISBN 978-0-387-18430-2.
  • Описание MathWorld конфокальных параболоидальных координат
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Paraboloidal_coordinates&oldid=1263326781"