Вычислимость в анализе и физике

Вычислимость в анализе и физике

Первое издание
Автор	Мэриан Пур-Эль , Дж. Ян Ричардс
Язык	Английский
Ряд	Перспективы математической логики
Издатель	Springer-Verlag
Дата публикации	1989

Computability in Analysis and Physics — монография о вычислимом анализе , написанная Мариан Пур-Эл и Дж. Яном Ричардсом. Она была опубликована издательством Springer-Verlag в серии Perspectives in Mathematical Logic в 1989 году и переиздана Association for Symbolic Logic и Cambridge University Press в серии Perspectives in Logic в 2016 году.

Книга посвящена вычислимому анализу , разделу математического анализа, основанному Аланом Тьюрингом и занимающемуся вычислимостью конструкций в анализе . Эта область связана с конструктивным анализом , обратной математикой и численным анализом , но отличается от них . Раннее развитие этой области было обобщено в книге Оливера Аберта « Вычислимый анализ» (1980), а «Вычислимость в анализе и физике» представляет собой обновление, включающее существенные разработки в этой области ее авторов. ^[1] В отличие от русской школы вычислимого анализа во главе с Андреем Марковым-младшим , она рассматривает вычислимость как отличительное свойство математических объектов среди других, а не как теорию, которая касается только вычислимых объектов. ^[2]

После начального раздела книги, вводящего вычислимый анализ и приводящего к примеру Джона Майхилла вычислимой непрерывно дифференцируемой функции, производная которой не вычислима, ^[1] оставшиеся две части книги посвящены результатам авторов. ^[3] К ним относятся результаты о том, что для вычислимого самосопряженного оператора собственные значения индивидуально вычислимы, но их последовательность (в общем случае) не вычислима; существование вычислимого самосопряженного оператора, для которого 0 является собственным значением кратности один без вычислимых собственных векторов ; и эквивалентность вычислимости и ограниченности для операторов. ^[1] Основные инструменты авторов включают понятия структуры вычислимости , пары банахова пространства и аксиоматически характеризованного множества его последовательностей, и эффективного порождающего множества , члена множества последовательностей, линейная оболочка которого плотна в пространстве. ^{[3] [4]}

Авторы мотивированы частично вычислимостью решений дифференциальных уравнений . Они приводят пример вычислимых и непрерывных начальных условий для волнового уравнения (однако с невычислимым градиентом ), которые приводят к непрерывному, но невычислимому решению в более позднее время. ^{[3] [4]} Однако они показывают, что это явление не может иметь место для уравнения теплопроводности или для уравнения Лапласа . ^[2]

В книгу также включен сборник открытых проблем ^{[2] [4],} который, вероятно, вдохновит читателей на дальнейшие исследования в этой области. ^[3]

Книга самодостаточна и ориентирована на исследователей в области математического анализа и вычислимости; ^[1] рецензенты Дуглас Бриджес и Робин Ганди не пришли к единому мнению о том, на какую из этих двух групп она больше рассчитана. ^{[3] [4]} Хотя соавтор Мэриан Пур-Эл имела опыт работы в области математической логики , а обе серии, в которых была опубликована книга, содержат слово «логика» в названии, от читателей не ожидается знакомства с логикой. ^[2]

Несмотря на жалобы на формальность изложения и на то, что авторы не стремились включить все последние разработки в области вычислительного анализа, рецензент Род Дауни пишет, что эта книга «явно обязательна для всех, кто занимается исследованиями в этой области» ^[1], а Ганди называет ее «интересной, легко читаемой и очень хорошо написанной книгой» ^{[4] .}