Параметр комплексного пучка

В оптике комплексный параметр пучка — это комплексное число , которое определяет свойства гауссова пучка в определенной точке z вдоль оси пучка. Обычно обозначается как q . Его можно рассчитать из длины волны вакуума пучка λ ₀ , радиуса кривизны R фазового фронта, показателя преломления n ( n =1 для воздуха) и радиуса пучка w (определенного при интенсивности 1/ e ² ), согласно: ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{q(z)}}={\frac {1}{R(z)}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw(z)^{2}}}}$.

В качестве альтернативы q можно рассчитать по формуле

${\displaystyle q(z)=z+{\frac {i\pi nw_{0}^{2}}{\lambda _{0}}}=z+z_{\mathrm {R} }i\,}$^[1]

где z — местоположение относительно местоположения перетяжки пучка , в котором вычисляется q , z _R — диапазон Рэлея , а i — мнимая единица .

Параметр комплексного пучка обычно используется в анализе матрицы переноса лучей , который позволяет рассчитать свойства пучка в любой заданной точке при его распространении через оптическую систему, если известны матрица луча и начальный параметр комплексного пучка. Этот же метод можно использовать для нахождения размера основной моды устойчивого оптического резонатора .

Учитывая начальный параметр луча, q _i , можно использовать матрицу переноса луча оптической системы, , чтобы найти результирующий параметр луча, q _f , после того, как луч прошел через систему: ^[1]${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle q_{f}={\frac {Aq_{i}+B}{Cq_{i}+D}}}$.

Часто бывает удобно выразить это уравнение через величины, обратные q : ^[1]

${\displaystyle {1 \over q_{f}}={\frac {C+D/q_{i}}{A+B/q_{i}}}}$.

Эффект распространения в свободном пространстве заключается лишь в добавлении пройденного осевого расстояния Δ z к комплексному параметру пучка: ^[2]

${\displaystyle q_{f}=q_{i}+\Delta z}$.

Для простых астигматических фундаментальных гауссовых пучков ^[3] параметры q для тангенциальной и сагиттальной плоскостей независимы . Это уже не так, если эти плоскости не совпадают с главным направлением поверхности, на которую падает луч; этот случай называется общим астигматизмом . ^[3] Формулы для угла падения θ _i были выведены в статье Мэсси и Сигмана 1969 года. ^[4]

Для размышления, матрицы ABCD выглядят следующим образом: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {2}{R_{I}\cos \theta _{i}}}&1\end{pmatrix}},&M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {2\cos \theta _{i}}{R_{S}}}&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Для рефракции это: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{t}&={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}{n_{r}\cos \theta _{i}}}&0\\{\frac {\cos \theta _{i}-{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}{R_{I}\cos \theta _{i}{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}}&{\frac {\cos \theta _{i}}{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}\end{pmatrix}},&M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {\cos \theta _{i}-{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}{R_{S}n_{r}}}&{1 \over n_{r}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Чтобы найти комплексный параметр пучка устойчивого оптического резонатора , нужно найти лучевую матрицу полости. Это делается путем отслеживания пути пучка в полости. Предполагая начальную точку, найдите матрицу, которая проходит через полость и возвращайтесь, пока пучок не окажется в том же положении и направлении, что и начальная точка. С этой матрицей и сделав q _i = q _f , квадратное уравнение формируется как:

${\displaystyle C{q_{f}}^{2}+(DA)q_{f}-B=0}$.

Решение этого уравнения дает параметр пучка для выбранного начального положения в полости, а путем распространения можно найти параметр пучка для любого другого места в полости.

• Кочкина, Евгения (2013). Стигматические и астигматические гауссовы пучки в фундаментальной моде: влияние выбора модели пучка на оценки интерферометрической длины пути сигнала (PhD). Университет имени Готфрида Вильгельма Лейбница в Ганновере.