Соизмеримость (теория групп)

В математике , в частности в теории групп , две группы соизмеримы , если они отличаются только на конечную величину, в точном смысле. Соизмеритель подгруппы — это другая подгруппа, связанная с нормализатором .

Этот раздел может нуждаться в реорганизации для соответствия рекомендациям Википедии по макету . Причина указана так: заголовок раздела дублирует объем самой статьи. Пожалуйста, помогите, отредактировав статью, чтобы улучшить общую структуру. ( Июль 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Две группы G ₁ и G ₂ называются ( абстрактно ) соизмеримыми _, если существуют подгруппы H ₁ ⊂ G ₁ и H ₂ ⊂ G ₂ конечного индекса такие, что H 1 изоморфна H ₂ . ^[1] Например :

• Группа конечна тогда и только тогда, когда она соизмерима с тривиальной группой.
• Любые две конечно порожденные свободные группы по крайней мере с двумя образующими соизмеримы друг с другом. ^[2] Группа SL (2, Z ) также соизмерима с этими свободными группами.
• Любые две поверхностные группы рода не менее 2 соизмеримы друг с другом .

Другое, но родственное понятие используется для подгрупп данной группы. А именно, две подгруппы Γ ₁ и Γ ₂ группы G называются соизмеримыми, если пересечение Γ ₁ ∩ Γ ₂ имеет конечный индекс как в Γ ₁ , так и в Γ ₂ . Очевидно, это означает, что Γ ₁ и Γ ₂ абстрактно соизмеримы.

Пример: для ненулевых действительных чисел a и b подгруппа R , порождённая a , соизмерима с подгруппой, порождённой b , тогда и только тогда, когда действительные числа a и b соизмеримы ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]} , что означает, что a / b принадлежит рациональным числам Q.

В геометрической теории групп конечно порождённая группа рассматривается как метрическое пространство с использованием слова метрика . Если две группы (абстрактно) соизмеримы, то они квазиизометричны . ^[3] Было плодотворно спросить, когда верно обратное.

Аналогичное понятие существует в линейной алгебре: два линейных подпространства S и T векторного пространства V соизмеримы , если пересечение S ∩ T имеет конечную коразмерность как в S, так и в T.

Два линейно-связных топологических пространства иногда называются соизмеримыми, если они имеют гомеоморфные конечнолистные накрывающие пространства . В зависимости от типа рассматриваемого пространства, может возникнуть необходимость использовать гомотопические эквивалентности или диффеоморфизмы вместо гомеоморфизмов в определении. В силу связи между накрывающими пространствами и фундаментальной группой , соизмеримые пространства имеют соизмеримые фундаментальные группы.

Пример: многообразие Гизекинга соизмеримо с дополнением узла восьмерки ; оба они являются некомпактными гиперболическими 3-многообразиями конечного объема. С другой стороны, существует бесконечно много различных классов соизмеримости компактных гиперболических 3-многообразий, а также некомпактных гиперболических 3-многообразий конечного объема. ^[4]

Соизмеритель подгруппы Γ группы G , обозначаемый Comm _G (Γ), — это множество элементов g из G , такое, что сопряженная подгруппа g Γ g ⁻¹ соизмерима с Γ. ^[5] Другими словами,

${\displaystyle \operatorname {Comm} _{G}(\Gamma )=\{g\in G:g\Gamma g^{-1}\cap \Gamma {\text{ имеет конечный индекс как в }}\Gamma {\text{, так и в }}g\Gamma g^{-1}\}.}$

Это подгруппа группы G , которая содержит нормализатор NG ( _Γ ) (и, следовательно, содержит Γ).

Например, соизмеритель специальной линейной группы SL ( n , Z ) в SL ( n , R ) содержит SL ( n , Q ). В частности, соизмеритель SL ( n , Z ) в SL ( n , R ) плотен в SL ( n , R ). В более общем случае Григорий Маргулис показал, что соизмеритель решетки Γ в полупростой группе Ли G плотен в G тогда и только тогда, когда Γ является арифметической подгруппой G . ^[6]

Абстрактный соизмеритель группы , обозначаемый Comm , — это группа классов эквивалентности изоморфизмов , где и — конечные индексные подгруппы группы , относительно композиции. ^[7] Элементы группы называются соизмерителями группы .${\displaystyle G}$${\displaystyle (G)}$${\displaystyle \phi :H\to K}$${\displaystyle H}$${\displaystyle К}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Комм}}(G)}$${\displaystyle G}$

Если — связная полупростая группа Ли , не изоморфная , с тривиальным центром и без компактных факторов, то по теореме Мостова о жесткости абстрактный соизмеритель любой неприводимой решетки линеен. Более того, если — арифметика, то Comm виртуально изоморфна плотной подгруппе , в противном случае Comm виртуально изоморфна .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{ПСЛ}}_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Гамма \leq G}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle (\Гамма)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (\Гамма)}$${\displaystyle \Гамма}$

• Друцу, Корнелия ; Капович, Майкл (2018), Геометрическая теория групп , Американское математическое общество , ISBN 9781470411046, МР  3753580
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), Арифметика гиперболических 3-многообразий , Springer Nature , ISBN 0-387-98386-4, г-н  1937957
• Маргулис, Григорий (1991), Дискретные подгруппы полупростых групп Ли , Springer Nature , ISBN 3-540-12179-X, МР  1090825