Масштабирование измерения

В теоретической физике масштабная размерность , или просто размерность , локального оператора в квантовой теории поля характеризует свойства масштабирования оператора при растяжениях пространства-времени . Если квантовая теория поля масштабно-инвариантна , масштабные размерности операторов являются фиксированными числами, в противном случае они являются функциями шкалы расстояний.${\displaystyle x\to \лямбда x}$

В масштабно-инвариантной квантовой теории поля по определению каждый оператор приобретает при дилатации фактор , где — число, называемое масштабной размерностью . Это подразумевает, в частности, что двухточечная корреляционная функция зависит от расстояния как . В более общем смысле, корреляционные функции нескольких локальных операторов должны зависеть от расстояний таким образом, что${\displaystyle О}$${\displaystyle x\to \лямбда x}$${\displaystyle \lambda ^{-\Delta }}$${\displaystyle \Дельта}$${\displaystyle О}$ ${\displaystyle \langle O(x)O(0)\rangle}$${\displaystyle (x^{2})^{-\Дельта}}$${\displaystyle \langle O_{1}(\lambda x_{1})O_{2}(\lambda x_{2})\ldots \rangle =\lambda ^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}-\ldots }\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\ldots \rangle }$

Большинство масштабно-инвариантных теорий также конформно-инвариантны , что накладывает дополнительные ограничения на корреляционные функции локальных операторов. ^[1]

Свободные теории являются простейшими масштабно-инвариантными квантовыми теориями поля. В свободных теориях проводится различие между элементарными операторами, которые являются полями, появляющимися в лагранжиане , и составными операторами, которые являются произведениями элементарных. Масштабная размерность элементарного оператора определяется размерным анализом из лагранжиана (в четырех пространственно-временных измерениях она равна 1 для элементарных бозонных полей, включая векторные потенциалы, 3/2 для элементарных фермионных полей и т. д.). Эта масштабная размерность называется классической размерностью (также используются термины каноническая размерность и инженерная размерность ). Составной оператор, полученный путем взятия произведения двух операторов размерностей и , является новым оператором, размерность которого равна сумме .${\displaystyle О}$${\displaystyle \Дельта _{1}}$${\displaystyle \Дельта _{2}}$${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$

При включении взаимодействий масштабируемое измерение получает коррекцию, называемую аномальным измерением (см. ниже).

Существует много масштабно-инвариантных квантовых теорий поля, которые не являются свободными теориями; они называются взаимодействующими. Масштабные размерности операторов в таких теориях не могут быть считаны из лагранжиана ; они также не обязательно являются (полу)целыми. Например, в масштабно-инвариантной (и конформно) инвариантной теории, описывающей критические точки двумерной модели Изинга, есть оператор , размерность которого равна 1/8. ^{[2] [1]}${\displaystyle \сигма}$

Умножение операторов является тонким во взаимодействующих теориях по сравнению со свободными теориями. Расширение произведения операторов двух операторов с размерностями и обычно дает не уникальный оператор, а бесконечно много операторов, и их размерность обычно не будет равна . В приведенном выше примере двумерной модели Изинга произведение операторов дает оператор, размерность которого равна 1, а не удвоенной размерности . ^{[2] [1]}${\displaystyle \Дельта _{1}}$${\displaystyle \Дельта _{2}}$${\displaystyle \Delta _{1}+\Delta _{2}}$${\displaystyle \сигма \раз \сигма}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle \сигма}$

Существует много квантовых теорий поля, которые, хотя и не являются точно масштабно-инвариантными, остаются приблизительно масштабно-инвариантными на большом диапазоне расстояний. Такие квантовые теории поля могут быть получены путем добавления к свободным теориям поля членов взаимодействия с малыми безразмерными связями . Например, в четырех измерениях пространства-времени можно добавить четверичные скалярные связи, связи Юкавы или калибровочные связи. Масштабные размерности операторов в таких теориях можно выразить схематически как , где — размерность, когда все связи равны нулю (т. е. классическая размерность), в то время как называется аномальной размерностью и выражается в виде степенного ряда в связях, совместно обозначаемых как . ^[3] Такое разделение масштабных размерностей на классическую и аномальную часть имеет смысл только тогда, когда связи малы, так что это небольшая поправка.${\displaystyle \Delta =\Delta _{0}+\gamma (g)}$${\displaystyle \Дельта _{0}}$${\displaystyle \гамма (г)}$${\displaystyle г}$${\displaystyle \гамма (г)}$

В общем случае, из-за квантово-механических эффектов, связи не остаются постоянными, а изменяются (на жаргоне квантовой теории поля , бегают ) с масштабом расстояния в соответствии с их бета-функцией . Поэтому аномальная размерность также зависит от масштаба расстояния в таких теориях. В частности, корреляционные функции локальных операторов больше не являются простыми степенями, а имеют более сложную зависимость от расстояний, как правило, с логарифмическими поправками.${\displaystyle г}$ ${\displaystyle \гамма (г)}$

Может случиться, что эволюция связей приведет к значению, при котором бета-функция обратится в нуль. Тогда на больших расстояниях теория становится масштабно-инвариантной , и аномальные измерения перестают работать. Такое поведение называется инфракрасной фиксированной точкой .${\displaystyle g=g_{*}}$

В очень особых случаях это может произойти, когда связи и аномальные измерения вообще не работают, так что теория масштабно инвариантна на всех расстояниях и для любого значения связи. Например, это происходит в N=4 суперсимметричной теории Янга–Миллса .

Эта статья по квантовой механике — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е