Теорема Штарка–Хегнера

В теории чисел теорема Хегнера [ ^1] устанавливает полный список квадратичных мнимых числовых полей , кольца целых чисел которых являются областями главных идеалов. Она решает частный случай проблемы Гаусса о числе классов , заключающийся в определении числа мнимых квадратичных полей, имеющих заданное фиксированное число классов .

Пусть Q обозначает множество рациональных чисел , а d — целое число , свободное от квадратов . Поле Q ( √ d ) является квадратичным расширением Q . Число классов Q ( √ d ) равно единице тогда и только тогда, когда кольцо целых чисел Q ( √ d ) является областью главных идеалов . Тогда теорему Бейкера–Хегнера – Штарка можно сформулировать следующим образом:

Если d < 0 , то число класса Q ( √ d ) равно единице тогда и только тогда, когда${\displaystyle d\in \{\,-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\,\}.}$

Они известны как числа Хегнера .

Заменяя d дискриминантом D матрицы Q ( √ d ), этот список часто записывается как: ^[2]

${\displaystyle D\in \{-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\}.}$

Этот результат был впервые выдвинут Гауссом в разделе 303 его Disquisitiones Arithmeticae (1798). По сути, он был доказан Куртом Хегнером в 1952 году, но доказательство Хегнера не было принято, пока авторитетный математик Гарольд Старк не переписал доказательство в 1967 году, которое имело много общего с работой Хегнера, но и достаточно много различий, поэтому Старк считает доказательства разными. ^[3] Хегнер «умер до того, как кто-либо действительно понял, что он сделал». ^[4] Старк формально перефразирует доказательство Хегнера в 1969 году (другие современные работы представили различные похожие доказательства с помощью модулярных функций. ^[5]

Алан Бейкер дал совершенно иное доказательство немного раньше (1966), чем работа Старка (точнее, Бейкер свел результат к конечному количеству вычислений, а работа Старка в его диссертации 1963/4 уже предоставила это вычисление), и получил медаль Филдса за свои методы. Позже Старк указал, что доказательство Бейкера, включающее линейные формы в 3 логарифмах, можно было свести всего к 2 логарифмам, когда результат был уже известен с 1949 года Гельфондом и Линником. ^[6]

В своей статье 1969 года (Stark 1969a) Штарк также цитировал текст 1895 года Генриха Мартина Вебера и отмечал, что если бы Вебер «только сделал наблюдение, что приводимость [определенного уравнения] приведет к диофантову уравнению , то проблема класса номер один была бы решена 60 лет назад». Брайан Бирч отмечает, что книга Вебера и, по сути, вся область модулярных функций выпали из поля зрения на полвека: «К сожалению, в 1952 году не осталось никого, кто был бы достаточно экспертом в алгебре Вебера , чтобы оценить достижение Хегнера». ^[7]

Дойринг, Сигел и Чоула дали немного измененные доказательства с помощью модулярных функций сразу после Старка. ^[8] Другие версии в этом жанре также появлялись на протяжении многих лет. Например, в 1985 году Монсур Кенку дал доказательство с использованием квартики Клейна (хотя снова с использованием модулярных функций). ^[9] И снова, в 1999 году, Имин Чен дал еще один вариант доказательства с помощью модулярных функций (следуя схеме Сигела). ^[10]

Работа Гросса и Загира (1986) (Gross & Zagier 1986) в сочетании с работой Голдфельда (1976) также дает альтернативное доказательство. ^[11]

С другой стороны, неизвестно, существует ли бесконечно много d > 0, для которых Q ( √ d ) имеет класс номер 1. Результаты вычислений показывают, что таких полей много. Числовые поля с классом номер один предоставляют список некоторых из них.

• Бирч, Брайан (2004), «Точки Хегнера: Начало» (PDF) , MSRI Publications , 49 : 1–10
• Чен, Имин (1999), «О модулярной кривой Зигеля уровня 5 и проблеме класса номер один», Журнал теории чисел , 74 (2): 278– 297, doi : 10.1006/jnth.1998.2320
• Чола, С. (1970), «Теорема Хигнера-Старка-Бейкера-Дойринга-Зигеля», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 241 : 47–48 , doi :10.1515/crll.1970.241.47
• Дармон, Анри (2004), «Предисловие к Heegner Points и Rankin L-Series» (PDF) , MSRI Publications , 49 : ix– xiii
• Элкис, Ноам Д. (1999), «Квартика Клейна в теории чисел» (PDF) , в Леви, Сильвио (ред.), Восьмеричный путь: Красота кривой четвертой степени Клейна, MSRI Publications, т. 35, Cambridge University Press, стр.  51–101 , MR  1722413
• Голдфельд, Дориан (1985), «Проблема чисел классов Гаусса для мнимых квадратичных полей», Бюллетень Американского математического общества , 13 : 23–37 , doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15352-2 , MR  0788386
• Гросс, Бенедикт Х .; Загер, Дон Б. (1986), «Точки Хигнера и производные L-ряда», Inventiones Mathematicae , 84 (2): 225–320 , Bibcode : 1986InMat..84..225G, doi : 10.1007/BF01388809, MR  0833192 , S2CID  125716869.
• Хегнер, Курт (1952), «Diophantische Analysis und Modulfunktionen» [Диофантовый анализ и модульные функции], Mathematische Zeitschrift (на немецком языке), 56 (3): 227–253 , doi : 10.1007/BF01174749, MR  0053135, S2CID  120109035
• Кенку, М. К. (1985), «Заметка о целых точках модулярной кривой уровня 7», Mathematika , 32 : 45–48 , doi :10.1112/S0025579300010846, MR  0817106
• Леви, Сильвио, ред. (1999), Восьмеричный путь: Красота кривой четвертого порядка Клейна, MSRI Publications, т. 35, Cambridge University Press
• Старк, Х. М. (1969а), «О разрыве в теореме Хегнера» (PDF) , Журнал теории чисел , 1 (1): 16– 27, Bibcode : 1969JNT.....1...16S, doi : 10.1016/0022-314X(69)90023-7, hdl : 2027.42/33039
• Старк, Х. М. (1969б), «Историческая заметка о комплексных квадратичных полях с классом один», Труды Американского математического общества , 21 : 254–255 , doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0237461-X
• Старк, Х. М. (2011), Происхождение гипотез «Штарка», т., опубликованный в «Арифметике L-функций»