цис (математика)

cis — это математическая нотация , определяемая как cis x = cos x + i sin x , ^{[nb 1]} где cos — функция косинуса , i — мнимая единица , а sin — функция синуса . x — аргумент комплексного числа (угол между прямой и точкой и осью x в полярной форме ). Эта нотация используется в математике реже, чем формула Эйлера e ix , которая предлагает еще более короткую запись для cos x + i sin x , ноcis(x)широко используется в качестве имени для этой функции в ^{библиотеках} программного обеспечения .

Обозначение цис является сокращением для комбинации функций в правой части формулы Эйлера :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

где i ² = −1 . Итак,

${\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}$^{[1] [2] [3] [4]}

т.е. « цис » — это аббревиатура от « Cos i Sin ».

Он связывает тригонометрические функции с показательными функциями в комплексной плоскости через формулу Эйлера. Хотя область определения обычно , возможны также и комплексные значения :${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C}}$

${\displaystyle \operatorname {cis} z=\cos z+i\sin z,}$

поэтому функцию цис можно использовать для расширения формулы Эйлера до более общей комплексной версии . ^[5]

Функция в основном используется как удобная сокращенная запись для упрощения некоторых выражений, ^{[6] [7] [8],} например, в сочетании с преобразованиями Фурье и Хартли , ^{[9] [10] [11]} или когда по каким-то причинам экспоненциальные функции не должны использоваться в математическом образовании.

В области информационных технологий эта функция имеет специальную поддержку в различных высокопроизводительных математических библиотеках (таких как Intel Math Kernel Library ( MKL ) ^[12] или MathCW ^[13] ), доступных для многих компиляторов и языков программирования (включая C , C++ , ^[14] Common Lisp , ^{[15] [16]} D , ^[17] Haskell , ^[18] Julia , ^[19] и Rust ^[20] ). В зависимости от платформы объединенная операция примерно в два раза быстрее вызова функций синуса и косинуса по отдельности. ^{[17] [3]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}$^{[1] [21]}

${\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}$^[1]

Они непосредственно следуют из формулы Эйлера .

${\displaystyle \cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$

${\displaystyle \sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

${\displaystyle \operatorname {цис} (x+y)=\operatorname {цис} x\,\operatorname {цис} y}$^[22]

${\displaystyle \operatorname {цис} (xy)={\operatorname {цис} x \over \operatorname {цис} y}}$

Вышеуказанные тождества справедливы, если x и y — любые комплексные числа. Если x и y — действительные числа, то

${\displaystyle |\operatorname {цис} x-\operatorname {цис} y|\leq |xy|.}$^[22]

Обозначение цис впервые было введено Уильямом Эдвином Гамильтоном в работе «Элементы кватернионов» (1866) ^{[23] [24]} и впоследствии использовалось Ирвингом Стрингхэмом (который также называл его « сектором x ») в таких работах, как «Унипланарная алгебра» ( 1893), ^{[25] [26]} Джеймсом Харкнессом и Фрэнком Морли в их «Введении в теорию аналитических функций» (1898), ^{[26] [27]} или Джорджем Эшли Кэмпбеллом (который также называл его «цисоидальным колебанием») в своих работах о линиях передачи (1901) и интегралах Фурье (1928). ^{[28] [29] [30]}

В 1942 году, вдохновленный цис- нотацией, Ральф В. Л. Хартли ввел функцию cas (для косинуса и синуса ) для действительного ядра Хартли , которая к тому времени стала общепринятым сокращением в сочетании с преобразованиями Хартли : ^{[31] [32]}

${\displaystyle \operatorname {cas} x=\cos x+\sin x.}$

Обозначение cis иногда используется для того, чтобы подчеркнуть один метод рассмотрения и решения проблемы по сравнению с другим. ^[33] Математика тригонометрии и экспонент связана, но не совсем одно и то же; экспоненциальная запись подчеркивает целое, тогда как обозначения cis x и cos x + i sin x подчеркивают части. Это может быть риторически полезно для математиков и инженеров при обсуждении этой функции, а также служить мнемоническим знаком (для cos + i sin ). ^[30]

Обозначение cis удобно для студентов-математиков, чьи знания тригонометрии и комплексных чисел допускают это обозначение, но чьи концептуальные представления еще не допускают обозначение e ^ix . Обычное доказательство того, что cis x = e ^{ix ,} требует исчисления , которое студент мог не изучать до того, как столкнулся с выражением cos x + i sin x .

Такая запись была более распространена, когда для передачи математических выражений использовались пишущие машинки. ^{[ необходима ссылка ]}

• Формула Муавра
• Формула Эйлера
• Комплексное число
• Теорема Птолемея
• Фазор
• Версор