полиномы Чебышева

Полиномы Чебышева — это две последовательности полиномов, связанных с функциями косинуса и синуса , обозначаемые как и . Их можно определить несколькими эквивалентными способами, один из которых начинается с тригонометрических функций :${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle U_{n}(x)}$

Полиномы Чебышева первого рода определяются следующим образом:${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).}$$

Аналогично определяются полиномы Чебышева второго рода : ${\displaystyle U_{n}}$$${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}.}$$

То, что эти выражения определяют многочлены в , может быть неочевидно на первый взгляд, но следует из переписывания и использования формулы де Муавра или многократного использования формул суммы углов для и . Например, формулы двойного угла , которые непосредственно следуют из формул суммы углов, могут быть использованы для получения и , которые являются соответственно многочленом в и многочленом в , умноженными на . Следовательно, и .${\displaystyle \cos \theta}$${\displaystyle \cos(n\theta )}$${\displaystyle \sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}$${\displaystyle \cos}$${\displaystyle \грех}$${\displaystyle T_{2}(\cos \theta )=\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1}$${\displaystyle U_{1}(\cos \theta)\sin \theta =\sin(2\theta)=2\cos \theta \sin \theta }$${\displaystyle \cos \theta}$${\displaystyle \cos \theta}$${\displaystyle \sin \theta}$${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}$${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$

Важным и удобным свойством T _n ( x ) является то, что они ортогональны относительно скалярного произведения : и U _n ( x ) ортогональны относительно другого, аналогичного скалярного произведения, приведенного ниже.$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$$

Полиномы Чебышева T _n — это полиномы с максимально возможным старшим коэффициентом, абсолютное значение которого на интервале [−1, 1] ограничено 1. Они также являются «экстремальными» полиномами для многих других свойств. ^[1]

В 1952 году Корнелиус Ланцош показал, что полиномы Чебышёва важны в теории приближений для решения линейных систем; ^[2] корни T _n ( x ) , которые также называются узлами Чебышёва , используются в качестве точек соответствия для оптимизации полиномиальной интерполяции . Полученный интерполяционный полином минимизирует проблему явления Рунге и обеспечивает приближение, близкое к наилучшему полиномиальному приближению к непрерывной функции при максимальной норме , также называемому критерием « минимакса ». Это приближение приводит непосредственно к методу квадратур Кленшоу–Кертиса .

Эти многочлены были названы в честь Пафнутия Чебышева . ^[3] Буква T используется из-за альтернативных транслитераций имени Чебышев как Tchebycheff , Tchebyshev (французский) или Tschebyschow (немецкий).

Полиномы Чебышева первого рода получаются из рекуррентного соотношения :

$${\displaystyle {\begin{align}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{align}}}$$Рекуррентность также позволяет представить их явно как определитель трехдиагональной матрицы размера :${\displaystyle k\times k}$

$${\displaystyle T_{k}(x)=\det {\begin{bmatrix}x&1&0&\cdots &0\\1&2x&1&\ddots &\vdots \\0&1&2x&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&1&2x\end{bmatrix}}}$$

Обычная производящая функция для T _n имеет вид: Существует несколько других производящих функций для полиномов Чебышева; экспоненциальная производящая функция имеет вид:$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\!\left(e^{t\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+e^{t\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)=e^{tx}\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$$

Производящая функция, соответствующая двумерной теории потенциала и мультипольному разложению, имеет вид:$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).}$$

Полиномы Чебышева второго рода определяются рекуррентным соотношением: Обратите внимание, что два набора рекуррентных соотношений идентичны, за исключением vs. Обычная производящая функция для U _n имеет вид: а экспоненциальная производящая функция имеет вид:$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$${\displaystyle T_{1}(x)=x}$${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}\!\left(\!\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\!\right).}$$

Как описано во введении, многочлены Чебышёва первого рода можно определить как уникальные многочлены, удовлетворяющие: или, другими словами, как уникальные многочлены, удовлетворяющие: для n = 0, 1, 2, 3, … .$${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ if }}~|x|\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)&{\text{ if }}~x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\operatorname {arcosh} (-x))&{\text{ if }}~x\leq -1\end{cases}}}$$$${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )}$$

Полиномы второго рода удовлетворяют: или что структурно весьма похоже на ядро ​​Дирихле D _n ( x ) : (Ядро Дирихле, по сути, совпадает с тем, что сейчас известно как полином Чебышёва четвертого рода.)$${\displaystyle U_{n-1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(n\theta ),}$$$${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\,\theta {\big )}}{\sin \theta }},}$$ $${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\,\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\!\!\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).}$$

Эквивалентный способ сформулировать это — через возведение в степень комплексного числа : дано комплексное число z = a + bi с абсолютным значением, равным единице: Полиномы Чебышёва можно определить в этой форме при изучении тригонометрических полиномов . ^[4]$${\displaystyle z^{n}=T_{n}(a)+ibU_{n-1}(a).}$$

То, что cos nx является многочленом n- й степени относительно cos x, можно увидеть, заметив, что cos nx является действительной частью одной стороны формулы Муавра : Действительная часть другой стороны является многочленом относительно cos x и sin x , в котором все степени sin x четные и , таким образом, заменяемые посредством тождества cos ² x + sin ² x = 1. По тем же соображениям, sin nx является мнимой частью многочлена, в котором все степени sin x нечетные и, таким образом , если один множитель sin x вынести за скобки, оставшиеся множители можно заменить, чтобы создать многочлен ( n −1) -й степени относительно cos x .$${\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.}$$

Полиномы Чебышева можно также охарактеризовать следующей теоремой: ^[5]

Если — семейство монических многочленов с коэффициентами в поле характеристики, такое что и для всех и , то с точностью до простой замены переменных либо для всех , либо для всех .${\displaystyle F_{n}(x)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \deg F_{n}(x)=n}$${\displaystyle F_{m}(F_{n}(x))=F_{n}(F_{m}(x))}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{n}(x)=x^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{n}(x)=2\cdot T_{n}(x/2)}$${\displaystyle n}$

Полиномы Чебышева также могут быть определены как решения уравнения Пелля : в кольце R [ x ] . ^[6] Таким образом, их можно сгенерировать стандартным для уравнений Пелля методом взятия степеней фундаментального решения:$${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-\left(x^{2}-1\right)U_{n-1}(x)^{2}=1}$$ $${\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}~.}$$

Полиномы Чебышева первого и второго рода соответствуют дополнительной паре последовательностей Люка Ṽ _n ( P , Q ) и × _n ( P , Q ) с параметрами P = 2 x и Q = 1 : Отсюда следует, что они также удовлетворяют паре уравнений взаимной рекуррентности: ^[7]$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}}$$

Второе из них можно переставить, используя определение рекуррентности для полиномов Чебышева второго рода, и получить:$${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.}$$

Итеративное использование этой формулы дает формулу суммы: в то время как замена и использование формулы производной для дает рекуррентное соотношение для производной от :$${\displaystyle U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j}^{n}T_{j}(x)+1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}}$$${\displaystyle U_{n}(x)}$${\displaystyle U_{n-2}(x)}$${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle T_{n}}$

$${\displaystyle 2\,T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),\qquad n=2,3,\ldots }$$

Это соотношение используется в спектральном методе Чебышева решения дифференциальных уравнений.

Неравенства Турана для полиномов Чебышева следующие: ^[8]$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0~.\end{aligned}}}$$

Интегральные соотношения имеют вид [ ^{7] : 187(47)(48)  [9]} , где интегралы рассматриваются как главные значения.$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{y-x}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}&=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\[1.5ex]\int _{-1}^{1}{\frac {U_{n-1}(y)}{y-x}}\,{\sqrt {1-y^{2}}}\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}}$$

Различные подходы к определению полиномов Чебышева приводят к различным явным выражениям. Тригонометрическое определение дает следующую явную формулу: Из этой тригонометрической формы определение рекуррентности может быть восстановлено путем непосредственного вычисления того, что базовые случаи выполняются: и и что выполняется тождество произведения в сумму :$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad \quad &{\text{ for }}~-1\leq x\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)\qquad \quad &{\text{ for }}~1\leq x\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}\qquad \quad &{\text{ for }}~x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle T_{0}(\cos \theta )=\cos(0\theta )=1}$$$${\displaystyle T_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,}$$$${\displaystyle 2\cos n\theta \cos \theta =\cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos \lbrack (n-1)\theta \rbrack .}$$

Используя определение возведения в степень комплексного числа многочлена Чебышева, можно вывести следующее выражение: Они эквивалентны, поскольку .$${\displaystyle T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R} }$$$${\displaystyle T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{-n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle (x+{\sqrt {x^{2}-1}})(x-{\sqrt {x^{2}-1}})=1}$

Явная форма полинома Чебышева в терминах мономов x ^k следует из формулы Муавра : где Re обозначает действительную часть комплексного числа. Раскрывая формулу, получаем: Действительная часть выражения получается из слагаемых, соответствующих четным индексам. Отмечая и , получаем явную формулу: что в свою очередь означает, что: Это можно записать в виде гипергеометрической функции ₂ F ₁ : с обратной: ^{[10] [11]}$${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\operatorname {Re} (\cos n\theta +i\sin n\theta )=\operatorname {Re} ((\cos \theta +i\sin \theta )^{n}),}$$$${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\sum \limits _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}i^{j}\sin ^{j}\theta \cos ^{n-j}\theta .}$$${\displaystyle i^{2j}=(-1)^{j}}$${\displaystyle \sin ^{2j}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{j}}$$${\displaystyle \cos n\theta =\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(\cos ^{2}\theta -1)^{j}\cos ^{n-2j}\theta ,}$$$${\displaystyle T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(x^{2}-1)^{j}x^{n-2j}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad \qquad {\text{ for }}~n>0\\\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad \qquad ~{\text{ for }}~n>0\\\\&={}_{2}F_{1}\!\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0 \atop j\,\equiv \,n{\pmod {2}}}^{n}\!\!{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}\!\;T_{j}(x),}$$где штрих у символа суммы указывает на то, что вклад j = 0 необходимо уменьшить вдвое, если он появляется.

Связанное выражение для T _n как суммы одночленов с биномиальными коэффициентами и степенями двойки имеет вид$${\displaystyle T_{n}\left(x\right)=\sum \limits _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\left(-1\right)^{m}\left({\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.}$$

Аналогично, U _n можно выразить через гипергеометрические функции:$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}~n>0\\&=(n+1)\ {}_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right).\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,T_{n}(x)={\begin{cases}T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\\\\U_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,U_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

То есть, многочлены Чебышева четного порядка имеют четную симметрию и поэтому содержат только четные степени x . Многочлены Чебышева нечетного порядка имеют нечетную симметрию и поэтому содержат только нечетные степени x .

Многочлен Чебышева любого вида со степенью n имеет n различных простых корней , называемых корнями Чебышева , в интервале [−1, 1] . Корни многочлена Чебышева первого рода иногда называют узлами Чебышева , поскольку они используются в качестве узлов в полиномиальной интерполяции. Используя тригонометрическое определение и тот факт, что: можно показать, что корни T _{n равны} : Аналогично, корни U _n равны: Экстремумы T n на интервале −1 ≤ x ≤ 1 расположены в:$${\displaystyle \cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0}$$$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n}}\right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$$$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.}$$

Одно уникальное свойство многочленов Чебышёва первого рода заключается в том, что на интервале −1 ≤ x ≤ 1 все экстремумы имеют значения, равные либо −1, либо 1. Таким образом, эти многочлены имеют только два конечных критических значения , определяющее свойство многочленов Шабата . Как первый, так и второй вид многочленов Чебышёва имеют экстремумы в конечных точках, заданные как:$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}}$$

Экстремумы на интервале , где расположены при значениях . Они равны , или где , , и , т. е. и являются взаимно простыми числами.${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi k}{d}}\right)}$${\displaystyle d>2}$${\displaystyle d\;|\;2n}$${\displaystyle 0<k<d/2}$${\displaystyle (k,d)=1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$

В частности, ^{[12] [13]} когда четно: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$если , или и четно. Существуют такие значения .${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle d>2}$${\displaystyle 2n/d}$${\displaystyle n/2+1}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$если и нечетно. Существуют такие значения .${\displaystyle d>2}$${\displaystyle 2n/d}$${\displaystyle n/2}$${\displaystyle x}$

Когда нечетное: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$если , или и четно. Существуют такие значения .${\displaystyle x=1}$${\displaystyle d>2}$${\displaystyle 2n/d}$${\displaystyle (n+1)/2}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$если , или и нечетно. Существуют такие значения .${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle d>2}$${\displaystyle 2n/d}$${\displaystyle (n+1)/2}$${\displaystyle x}$

Этот результат был обобщен на решения , ^[13] и на и для полиномов Чебышева третьего и четвертого рода соответственно. ^[14]${\displaystyle U_{n}(x)\pm 1=0}$${\displaystyle V_{n}(x)\pm 1=0}$${\displaystyle W_{n}(x)\pm 1=0}$

Производные полиномов могут быть не совсем простыми. Дифференцируя полиномы в их тригонометрических формах, можно показать, что:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n\,{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n\,{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}}$$

Последние две формулы могут быть численно сложными из-за деления на ноль ( ⁠0/0⁠ неопределенная форма , в частности) при x = 1 и x = −1 . По правилу Лопиталя :$${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}}$$

В более общем плане это весьма полезно при численном решении задач на собственные значения .$${\displaystyle \left.{\frac {d^{p}T_{n}}{dx^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}~,}$$

Кроме того, имеем: где штрих у знаков суммирования означает, что член, вносимый k = 0, должен быть уменьшен вдвое, если он появляется.$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}\,T_{n}(x)=2^{p}\,n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\,\equiv \,n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}\,T_{k}(x),~\qquad p\geq 1,}$$

Что касается интегрирования, первая производная T _n подразумевает, что: и рекуррентное соотношение для полиномов первого рода, включающих производные, устанавливает, что для n ≥ 2 :$${\displaystyle \int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}}$$$${\displaystyle \int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {x\,T_{n}}{n-1}}.}$$

Последнюю формулу можно дополнительно преобразовать, чтобы выразить интеграл T _n как функцию только полиномов Чебышева первого рода:$${\displaystyle {\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,T_{n-1}.\end{aligned}}}$$

Кроме того, у нас есть:$${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}~n\neq 1\\0&{\text{ if }}~n=1.\end{cases}}}$$

Многочлены Чебышева первого рода удовлетворяют соотношению: которое легко доказывается из формулы произведения в сумму для косинуса: При n = 1 это приводит к уже известной рекуррентной формуле, просто упорядоченной по-другому, а при n = 2 она образует рекуррентное соотношение для всех четных или всех нечетных индексированных многочленов Чебышева (в зависимости от четности наименьшего m ), которое подразумевает четность или нечетность этих многочленов. Еще три полезные формулы для оценки многочленов Чебышева можно вывести из этого разложения произведения:$${\displaystyle T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}\!\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n\geq 0,}$$$${\displaystyle 2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2\,T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\T_{2n+1}(x)&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\T_{2n-1}(x)&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}}$$

Многочлены второго рода удовлетворяют аналогичному соотношению: (с определением U ₋₁ ≡ 0 по соглашению). Они также удовлетворяют: для m ≥ n . Для n = 2 эта рекуррентность сводится к: что устанавливает четность или нечетность четных или нечетных индексированных многочленов Чебышёва второго рода в зависимости от того, начинается ли m с 2 или 3.$${\displaystyle T_{m}(x)\,U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\geq m-1,\\\\{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\leq m-2.\end{cases}}}$$$${\displaystyle U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\,U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x)~.}$$$${\displaystyle U_{m+2}(x)=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)=U_{m}(x)\,{\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x)~,}$$

Тригонометрические определения T _n и U _n подразумевают свойства композиции или вложенности: ^[15] Для T _mn порядок композиции может быть обратным, что делает семейство полиномиальных функций T _n коммутативной полугруппой относительно композиции.$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}(T_{n}(x)),\\U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}(T_{n}(x))U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Так как T _m ( x ) делится на x , если m нечетно, то T _mn ( x ) делится на T _n ( x ) , если m нечетно. Кроме того, U _{mn −1} ( x ) делится на U _{n −1} ( x ) , а в случае, если m четно, делится на T _n ( x ) U _{n −1} ( x ) .

Оба T _n и U _n образуют последовательность ортогональных многочленов . Многочлены первого рода T _n ортогональны относительно веса: на интервале [−1, 1] , т.е. имеем:$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$$$${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]\pi &~{\text{ if }}~n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m\neq 0.\end{cases}}}$$

Это можно доказать, положив x = cos θ и используя определяющее тождество T _n (cos θ ) = cos( nθ ) .

Аналогично, многочлены второго рода U _n ортогональны относительно веса: на интервале [−1, 1] , т.е. имеем:$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$$$${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m.\end{cases}}}$$

(Мера √ 1 − x ² d x с точностью до нормирующей константы представляет собой полукруговое распределение Вигнера .)

Эти свойства ортогональности следуют из того факта, что полиномы Чебышева решают дифференциальные уравнения Чебышева : которые являются дифференциальными уравнениями Штурма–Лиувилля . Общей чертой таких дифференциальных уравнений является то, что существует выделенный ортонормированный набор решений. (Другой способ определить полиномы Чебышева — как решения этих уравнений .)$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}}$$

T _n также удовлетворяет дискретному условию ортогональности: где N — любое целое число, большее max( i , j ) , ^[9] а x _k — N узлов Чебышева (см . выше) T _N ( x ) :$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]N&~{\text{ if }}~i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&~{\text{ if }}~i=j\neq 0,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle x_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1.}$$

Для многочленов второго рода и любого целого числа N > i + j с одинаковыми узлами Чебышёва x _k имеют место аналогичные суммы: и без весовой функции:$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}~i=j,\end{cases}}}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

Для любого целого числа N > i + j , на основе N нулей U _N ( x ) : можно получить сумму: и снова без весовой функции:$${\displaystyle y_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1,}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&~{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

Для любого заданного n ≥ 1 среди многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 ( монических многочленов): — это тот, максимальное абсолютное значение которого на интервале [−1, 1] является минимальным.$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)}$$

Это максимальное абсолютное значение равно: и | f ( x ) | достигает этого максимума ровно n + 1 раз при:$${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$$$${\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.}$$

По теореме о равноколебаниях среди всех многочленов степени ≤  n многочлен f минимизирует ‖ f ‖ _∞   на [−1, 1] тогда и только тогда, когда существует n + 2 точки −1 ≤ x ₀ < x ₁ < ⋯ < x _{n + 1} ≤ 1 такие, что | f ( x _i ) | = ‖ f ‖ _∞    .

Конечно, нулевой полином на интервале [−1, 1] может быть аппроксимирован самим собой и минимизирует ∞ -норму.

Однако выше | f |   достигает своего максимума только n + 1 раз, поскольку мы ищем наилучший многочлен степени n ≥ 1 (поэтому приведенная ранее теорема не может быть использована).

Полиномы Чебышева являются частным случаем ультрасферических или полиномов Гегенбауэра , которые, в свою очередь, являются частным случаем полиномов Якоби :${\displaystyle C_{n}^{(\lambda )}(x)}$ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {n}{2}}\lim _{q\to 0}{\frac {1}{q}}\,C_{n}^{(q)}(x)\qquad ~{\text{ if }}~n\geq 1,\\&={\frac {1}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n}}{\binom {2n}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)~,\\[2ex]U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)\\&={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n+1}}{\binom {2n+2}{n+1}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)~.\end{aligned}}}$$