Характеристика (математика)

Термин в математике

В математике характеристика объекта — это набор условий, которые, хотя и могут отличаться от определения объекта, логически эквивалентны ему. ^[1] Сказать, что «Свойство P характеризует объект X », означает сказать, что не только X имеет свойство P , но и что X — единственное , что имеет свойство P (т. е. P — определяющее свойство X ). Аналогично, говорят, что набор свойств P характеризует X , когда эти свойства отличают X от всех других объектов. Даже если характеристика идентифицирует объект уникальным образом, для одного объекта может существовать несколько характеристик. Общие математические выражения для характеристики X в терминах P включают « P необходимо и достаточно для X » и « X выполняется тогда и только тогда, когда P ».

Также часто встречаются утверждения типа «Свойство Q характеризует Y с точностью до изоморфизма ». Первый тип утверждений говорит другими словами, что расширение P — это одноэлементное множество, тогда как второй говорит, что расширение Q — это один класс эквивалентности (для изоморфизма в данном примере — в зависимости от того, как используется свойство с точностью до , может быть задействовано некоторое другое отношение эквивалентности ).

В справочнике по математической терминологии отмечается, что характеристика происходит от греческого термина kharax , «острый кол»:

От греческого kharax произошло kharakhter , инструмент, используемый для маркировки или гравировки объекта. Как только объект был отмечен, он становился отличительным, поэтому характер чего-либо стал означать его отличительную природу. Позднегреческий суффикс -istikos преобразовал существительное character в прилагательное characteristics , которое, в дополнение к сохранению своего адъективного значения, позже также стало существительным. ^[2]

Так же, как в химии характерное свойство материала будет служить для идентификации образца, или в изучении материалов, структур и свойств будет определять характеристику , в математике есть постоянные усилия по выражению свойств, которые будут отличать желаемую особенность в теории или системе. Характеризация не является уникальной для математики, но поскольку наука абстрактна, большую часть деятельности можно описать как «характеризация». Например, в Mathematical Reviews по состоянию на 2018 год более 24 000 статей содержат это слово в названии статьи и 93 600 где-то в обзоре.

В произвольном контексте объектов и признаков характеристики были выражены через гетерогенное отношение aRb , означающее, что объект a имеет признак b . Например, b может означать абстрактный или конкретный . Объекты можно считать расширениями мира, в то время как признаки являются выражениями интенций . Продолжающаяся программа характеристики различных объектов приводит к их категоризации .

Примеры

Рациональное число , обычно определяемое как отношение двух целых чисел, можно охарактеризовать как число с конечным или повторяющимся десятичным представлением . ^[1]
Параллелограмм — это четырёхугольник , противолежащие стороны которого параллельны. Одной из его характеристик является то, что его диагонали делят друг друга пополам. Это означает, что диагонали во всех параллелограммах делят друг друга пополам, и наоборот, что любой четырёхугольник, диагонали которого делят друг друга пополам, должен быть параллелограммом.
«Среди распределений вероятностей на интервале от 0 до ∞ на действительной прямой отсутствие памяти характеризует экспоненциальные распределения ». Это утверждение означает, что экспоненциальные распределения являются единственными распределениями вероятностей, которые не обладают памятью, при условии, что распределение непрерывно, как определено выше (см. Характеристика распределений вероятностей для получения дополнительной информации).
«Согласно теореме Бора–Моллерупа , среди всех функций f, таких что f (1) = 1 и xf ( x ) = f ( x + 1) для x > 0, логарифмическая выпуклость характеризует гамма-функцию ». Это означает, что среди всех таких функций гамма-функция является единственной , которая является логарифмической выпуклостью . ^[3]
Окружность характеризуется как многообразие тем, что она одномерна, компактна и связна ; здесь характеристика, как гладкого многообразия, дается с точностью до диффеоморфизма .

Смотрите также

Характеристика категории топологических пространств
Характеристика показательной функции – Математическая концепция
Характеристика (алгебра) – Наименьшее целое число n, для которого n равно 0 в кольце
Характеристика (экспоненциальная запись) – Математическая функцияСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
Теорема классификации – описывает объекты заданного типа с точностью до некоторой эквивалентности.
Эйлерова характеристика – Топологический инвариант в математике
Характер (математика)

Ссылки

^ ab Weisstein, Eric W. "Характеристика". mathworld.wolfram.com . Получено 21.11.2019 .
^ Стивен Шварцман (1994) Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке , стр. 43, Математическая ассоциация Америки ISBN 0-88385-511-9
^ Функция f является логарифмически выпуклой тогда и только тогда, когда log( f ) является выпуклой функцией . Основание логарифма не имеет значения, если оно больше 1, но математики обычно используют слово «log» без индекса для обозначения натурального логарифма , основание которого равно e .

[:0-1] Weisstein, Eric W. "Характеристика". mathworld.wolfram.com . Получено 21.11.2019 .

[2] Стивен Шварцман (1994) Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке , стр. 43, Математическая ассоциация Америки ISBN 0-88385-511-9

[3] Функция f является логарифмически выпуклой тогда и только тогда, когда log( f ) является выпуклой функцией . Основание логарифма не имеет значения, если оно больше 1, но математики обычно используют слово «log» без индекса для обозначения натурального логарифма , основание которого равно e .