Характеристика вероятностных распределений

В математике вообще характеристическая теорема утверждает, что конкретный объект – функция, пространство и т. п. – является единственным, обладающим свойствами, указанными в теореме. Характеристика распределения вероятностей соответственно утверждает, что это единственное распределение вероятностей , удовлетворяющее указанным условиям. Точнее, модель характеризации распределения вероятностей была описана В. М. Золотаревым  ^{[ru] [1]} таким образом. На вероятностном пространстве определяются пространство случайных величин со значениями в измеримом метрическом пространстве и пространство случайных величин со значениями в измеримом метрическом пространстве . Под характеризациями распределений вероятностей понимаются общие задачи описания некоторого множества в пространстве путем извлечения множеств и , которые описывают свойства случайных величин и их образов , полученных с помощью специально выбранного отображения . Описание свойств случайных величин и их образов эквивалентно указанию множества , из которого должно быть взято , и множества , в которое должно попасть его изображение. Итак, интересующее нас множество представляется, таким образом, в следующем виде:${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{X\}}$${\displaystyle (U,d_{u})}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}=\{Y\}}$${\displaystyle (V,d_{v})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {Y}}}$${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle Y=\mathbf {F} X\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mathbf {F} :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$
${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=\mathbf {F} X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {Y}}}$

${\displaystyle X\in {\mathcal {A}},\mathbf {F} X\in {\mathcal {B}}\Leftrightarrow X\in {\mathcal {C}},ie {\mathcal {C}} =\mathbf {F} ^{-1}{\mathcal {B}},}$

где обозначает полный обратный образ в . Это общая модель характеризации распределения вероятностей. Некоторые примеры теорем характеризации:${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Предположение о том, что две линейные (или нелинейные) статистики одинаково распределены (или независимы, или имеют регрессию постоянства и т. д.), можно использовать для характеристики различных популяций. ^[2] Например, согласно теореме Джорджа Полиа ^[3] , если и являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с конечной дисперсией , то статистики и одинаково распределены тогда и только тогда, когда и имеют нормальное распределение с нулевым средним. В этом случае${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}=X_{1}}$${\displaystyle S_{2}={\cfrac {X_{1}+X_{2}}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&0\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$представляет собой набор случайных двумерных векторов-столбцов с независимыми одинаково распределенными компонентами, представляет собой набор случайных двумерных векторов-столбцов с одинаково распределенными компонентами и представляет собой набор двумерных векторов-столбцов с независимыми одинаково распределенными нормальными компонентами.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Согласно обобщенной теореме Джорджа Полиа (без условия конечности дисперсии ^[2] ), если — невырожденные независимые одинаково распределенные случайные величины, статистики и одинаково распределены и , то — нормальная случайная величина для любого . В этом случае${\displaystyle X_{1},X_{2},\точки ,X_{n}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\dots +a_{n}X_{n}}$${\displaystyle \left|a_{j}\right\vert <1,a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots +a_{n}^{2}=1}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle j,j=1,2,\точки ,n}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$представляет собой набор случайных n -мерных векторов-столбцов с независимыми одинаково распределенными компонентами, представляет собой набор случайных двумерных векторов-столбцов с одинаково распределенными компонентами и представляет собой набор n -мерных векторов-столбцов с независимыми одинаково распределенными нормальными компонентами. ^[4]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Все распределения вероятностей на полупрямой, которые не имеют памяти , являются экспоненциальными распределениями . «Без памяти» означает, что если — случайная величина с таким распределением, то для любых чисел ,${\displaystyle \left[0,\infty \right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0<y<x}$

${\displaystyle \Pr(X>x\mid X>y)=\Pr(X>xy)}$.

Проверка условий характеристических теорем на практике возможна лишь с некоторой погрешностью , т. е. лишь с определенной степенью точности. ^[5] Такая ситуация наблюдается, например, в случаях, когда рассматривается выборка конечного объема. Поэтому возникает следующий естественный вопрос. Предположим, что условия характеристической теоремы выполняются не точно, а лишь приближенно. Можно ли утверждать, что заключение теоремы также выполняется приближенно? Теоремы, в которых рассматриваются задачи такого рода, называются характеристиками устойчивости вероятностных распределений.${\displaystyle \epsilon}$

• Характеристика (математика)