Безразмерность

Безразмерность — это частичное или полное удаление физических измерений из уравнения , включающего физические величины , путем подходящей замены переменных . Этот метод может упростить и параметризовать проблемы, в которых задействованы измеряемые единицы. Он тесно связан с анализом размерностей . В некоторых физических системах термин масштабирование используется взаимозаменяемо с безразмерностью , чтобы предположить, что определенные величины лучше измеряются относительно некоторой подходящей единицы. Эти единицы относятся к величинам, присущим системе, а не к единицам, таким как единицы СИ . Безразмерность — это не то же самое, что преобразование экстенсивных величин в уравнении в интенсивные величины, поскольку последняя процедура приводит к переменным, которые все еще несут единицы. ^[1]

Безразмерность также может восстановить характерные свойства системы. Например, если система имеет собственную резонансную частоту , длину или постоянную времени , безразмерность может восстановить эти значения. Этот метод особенно полезен для систем, которые можно описать дифференциальными уравнениями . Одним из важных применений является анализ систем управления . Одной из простейших характерных единиц является время удвоения системы, испытывающей экспоненциальный рост , или, наоборот, период полураспада системы, испытывающей экспоненциальный спад ; более естественной парой характерных единиц является средний возраст/ среднее время жизни , которые соответствуют основанию e, а не основанию 2.

Многие наглядные примеры безразмерности берут начало в упрощении дифференциальных уравнений. Это связано с тем, что большой объем физических проблем может быть сформулирован в терминах дифференциальных уравнений. Рассмотрим следующее:

• Список тем по динамическим системам и дифференциальным уравнениям
• Список тем по дифференциальным уравнениям в частных производных
• Дифференциальные уравнения математической физики

Хотя безразмерность хорошо подходит для этих задач, она не ограничивается ими. Примером применения недифференциальных уравнений является размерный анализ; другим примером является нормализация в статистике .

Измерительные приборы являются практическими примерами безразмерности, встречающейся в повседневной жизни. Измерительные приборы калибруются относительно некоторой известной единицы. Последующие измерения производятся относительно этого стандарта. Затем абсолютное значение измерения восстанавливается путем масштабирования относительно стандарта.

Предположим, что маятник качается с определенным периодом T. Для такой системы выгодно выполнять вычисления, касающиеся качания относительно T. В некотором смысле это нормализует измерение относительно периода.

Измерения, выполненные относительно внутреннего свойства системы, будут применяться к другим системам, которые также имеют то же внутреннее свойство. Это также позволяет сравнивать общее свойство различных реализаций одной и той же системы. Безразмерность определяет систематическим образом характерные единицы системы для использования, не полагаясь в значительной степени на предварительные знания внутренних свойств системы (не следует путать характерные единицы системы с естественными единицами природы ). Фактически, безразмерность может подсказать параметры, которые следует использовать для анализа системы. Однако необходимо начать с уравнения, которое описывает систему соответствующим образом.

Чтобы сделать систему уравнений безразмерной, необходимо сделать следующее:

1. Определить все независимые и зависимые переменные;
2. Заменить каждую из них величиной, масштабированной относительно характерной единицы измерения, подлежащей определению;
3. Разделить на коэффициент полинома наивысшего порядка или производного члена;
4. Разумно выбирайте определение характеристической единицы для каждой переменной так, чтобы коэффициенты как можно большего числа членов стали равными 1;
5. Перепишите систему уравнений через их новые безразмерные величины.

Последние три шага обычно специфичны для проблемы, где применяется безразмерность. Однако почти все системы требуют выполнения первых двух шагов.

Нет никаких ограничений на имена переменных, используемых для замены " x " и " t ". Однако они обычно выбираются так, чтобы их было удобно и интуитивно понятно использовать для рассматриваемой проблемы. Например, если " x " представляет массу, буква " m " может быть подходящим символом для представления безразмерной величины массы.

В данной статье использованы следующие условные обозначения:

• t – представляет независимую переменную – обычно величину времени. Ее безразмерный аналог – .${\displaystyle \тау}$
• x – представляет зависимую переменную – может быть массой, напряжением или любой измеримой величиной. Ее безразмерный аналог – .${\displaystyle \чи}$

Нижний индекс 'c', добавленный к имени переменной величины, используется для обозначения характеристической единицы, используемой для масштабирования этой величины. Например, если x — величина, то x _c — характеристическая единица, используемая для ее масштабирования.

В качестве наглядного примера рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами :$${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

1. В этом уравнении независимой переменной является t , а зависимой переменной — x .
2. Установите . Это приводит к уравнению${\displaystyle x=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}}}$$${\displaystyle a{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).}$$
3. Коэффициент самого высокого порядка члена находится перед первым производным членом. Деление на это дает$${\displaystyle {\frac {d\chi}{d\tau}}+{\frac {bt_{\text{c}}}{a}}\chi ={\frac {At_{\text{c}}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau).}$$
4. Коэффициент перед содержит только одну характеристическую переменную t _c , поэтому проще всего сначала приравнять его к единице:${\displaystyle \чи}$

${\displaystyle {\frac {bt_{\text{c}}}{a}}=1\Rightarrow t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}.}$

( 1 )

Впоследствии,

${\displaystyle {\frac {At_{\text{c}}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{bx_{\text{c}}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{b}}.}$

( 2 )

1. Окончательное безразмерное уравнение в этом случае становится полностью независимым от каких-либо параметров, имеющих единицы измерения:$${\displaystyle {\frac {d\chi {d\tau }}+\chi =F(\tau).}$$

Предположим для простоты, что некая система характеризуется двумя переменными – зависимой переменной x и независимой переменной t , где x является функцией t . И x, и t представляют величины с единицами. Чтобы масштабировать эти две переменные, предположим, что существуют две внутренние единицы измерения x _c и t _c с теми же единицами, что и x и t соответственно , так что выполняются следующие условия:$${\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{\text{c}}}}\Rightarrow t=\tau t_{\text{c}}}$$$${\displaystyle \chi ={\frac {x}{x_{\text{c}}}}\Rightarrow x=\chi x_{\text{c}}.}$$

Эти уравнения используются для замены x и t при обезразмеривании. Если для описания исходной системы требуются дифференциальные операторы, их масштабированные аналоги становятся безразмерными дифференциальными операторами.

Рассмотрим взаимосвязь$${\displaystyle t=\tau t_{\text{c}}\Rightarrow dt=t_{\text{c}}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}.}$$

Безразмерные дифференциальные операторы относительно независимой переменной принимают вид$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{{t_{\text{c}}}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.}$$

Если система имеет функцию принуждения , то${\displaystyle f(t)}$$${\displaystyle f(t)=f(\tau t_{\text{c}})=f(t(\tau ))=F(\tau ).}$$

Следовательно, новая функция вынуждающего воздействия становится зависимой от безразмерной величины .${\displaystyle F}$${\displaystyle \тау}$

Рассмотрим дифференциальное уравнение для системы первого порядка:$${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$$

Вывод характерных единиц для уравнения 1 и уравнения 2 для этой системы дал$${\displaystyle t_{\text{c}}={\frac {a}{b}},\ x_{\text{c}}={\frac {A}{b}}.}$$

Система второго порядка имеет вид$${\displaystyle a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).}$$

Заменить переменные x и t их масштабированными величинами. Уравнение становится

$${\displaystyle a{\frac {x_{\text{c}}}{{t_{\text{c}}}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})=AF(\tau ).}$$

Это новое уравнение не является безразмерным, хотя все переменные с единицами измерения изолированы в коэффициентах. Разделив на коэффициент члена самого высокого порядка, уравнение становится

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi}{d\tau^{2}}}+t_{\text{c}}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi}{d\tau}}+{t_{\text{c}}}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {A{t_{\text{c}}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau).}$$

Теперь необходимо определить величины x _c и t _c так, чтобы коэффициенты стали нормализованными. Поскольку имеется два свободных параметра, то максимум два коэффициента можно сделать равными единице.

Рассмотрим переменную t _c :

1. Если член первого порядка нормализован.${\displaystyle t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}}$
2. Если член нулевого порядка нормализован.${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {a}{c}}}}$

Обе замены допустимы. Однако по педагогическим причинам последняя замена используется для систем второго порядка. Выбор этой замены позволяет определить x _{c путем нормализации коэффициента вынуждающей функции:}$${\displaystyle 1={\frac {At_{\text{c}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{cx_{\text{c}}}}\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{c}}.}$$

Дифференциальное уравнение становится$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d \тау }}+\chi =F(\тау ).}$$

Коэффициент при члене первого порядка безразмерен. Определить$${\displaystyle 2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.}$$

Фактор 2 присутствует, так что решения могут быть параметризованы в терминах ζ . В контексте механических или электрических систем ζ известен как коэффициент затухания и является важным параметром, необходимым при анализе систем управления . 2 ζ также известен как ширина линии системы. Результатом определения является уравнение универсального осциллятора .$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

Общее линейное дифференциальное уравнение n- го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:$${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}x(t)+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}x(t)+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}x(t)+a_{0}x(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\big (}{\frac {d}{dt}}{\big )}^{k}x(t)=Af(t).}$$

Функция f ( t ) известна как вынуждающая функция .

Если дифференциальное уравнение содержит только действительные (не комплексные) коэффициенты, то свойства такой системы ведут себя как смесь только систем первого и второго порядка. Это происходит потому, что корни ее характеристического полинома являются либо действительными , либо комплексно сопряженными парами. Поэтому понимание того, как безразмерность применяется к системам первого и второго порядка, позволяет определять свойства систем более высокого порядка посредством суперпозиции .

Число свободных параметров в безразмерной форме системы увеличивается с ее порядком. По этой причине безразмерность редко используется для дифференциальных уравнений более высокого порядка. Необходимость в этой процедуре также уменьшилась с появлением символьных вычислений .

Множество систем можно аппроксимировать как системы первого или второго порядка. К ним относятся механические, электрические, жидкостные, тепловые и крутильные системы. Это происходит потому, что фундаментальные физические величины, задействованные в каждом из этих примеров, связаны через производные первого и второго порядка.

Предположим, что у нас есть масса, прикрепленная к пружине и амортизатору, которые в свою очередь прикреплены к стене, и сила, действующая на массу вдоль той же линии. Определить

• ${\displaystyle x}$= смещение от равновесия [м]
• ${\displaystyle t}$= время [с]
• ${\displaystyle f}$= внешняя сила или «возмущение», приложенное к системе [кг⋅м⋅с ⁻² ]
• ${\displaystyle m}$= масса блока [кг]
• ${\displaystyle B}$= постоянная затухания демпфера [кг⋅с ⁻¹ ]
• ${\displaystyle k}$= константа силы пружины [кг⋅с ⁻² ]

Предположим, что приложенная сила представляет собой синусоиду F = F ₀ cos( ωt ) , тогда дифференциальное уравнение, описывающее движение блока, имеет вид$${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$$

Обезразмеривание этого уравнения таким же образом, как описано в § Система второго порядка, дает несколько характеристик системы:

• Внутренняя единица x _c соответствует расстоянию, на которое перемещается блок за единицу силы.

$${\displaystyle x_{\text{c}}={\frac {F_{0}}{k}}.}$$

• Характерная переменная t _c равна периоду колебаний

$${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

• Безразмерная переменная 2 ζ соответствует ширине линии системы.

$${\displaystyle 2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}}$$

• ζ сам по себе является коэффициентом затухания

Для последовательной RC-цепи, подключенной к источнику напряжения с заменами$${\displaystyle R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau )}$$$${\displaystyle Q=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}},\ x_{\text{c}}=CV_{0},\ t_{\text{c}}=RC,\ F=V.}$$

Первая характеристическая единица соответствует общему заряду в цепи. Вторая характеристическая единица соответствует постоянной времени для системы.

Для последовательной конфигурации компонентов R , C , L , где Q — заряд в системе с замещениями$${\displaystyle L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )}$$$${\displaystyle Q=\chi x_{\text{c}},\ t=\tau t_{\text{c}},\ \ x_{\text{c}}=CV_{0},\ t_{\text{c}}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {\frac {C}{L}}},\ \Omega =t_{\text{c}}\omega .}$$

Первая переменная соответствует максимальному заряду, хранящемуся в контуре. Резонансная частота определяется обратной величиной характерного времени. Последнее выражение — ширина линии системы. Ω можно рассматривать как нормированную частоту функции вынуждающей силы.

Уравнение Шредингера для одномерного независимого от времени квантового гармонического осциллятора имеет вид$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

Модуль квадрата волновой функции | ψ ( x )| ² представляет собой плотность вероятности, которая при интегрировании по x дает безразмерную вероятность. Следовательно, | ψ ( x )| ² имеет единицы обратной длины. Чтобы сделать это безразмерным, его нужно переписать как функцию безразмерной переменной. Для этого мы подставляем, где x _c — некоторая характерная длина этой системы. Это дает нам безразмерную волновую функцию, определяемую с помощью$${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},}$$${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$$${\displaystyle \psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x(x_{\text{c}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

Чтобы сделать член перед безразмерным, положим${\displaystyle {\tilde {x}}^{2}}$$${\displaystyle {\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.}$$

Полностью безразмерное уравнение — это то, где мы определили Фактор перед фактически (по совпадению) является энергией основного состояния гармонического осциллятора. Обычно энергетический член не делается безразмерным, поскольку мы заинтересованы в определении энергий квантовых состояний . Переставляя первое уравнение, знакомое уравнение для гармонического осциллятора становится$${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),}$$$${\displaystyle E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.}$$${\displaystyle {\tilde {E}}}$$${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

В статистике аналогичный процесс обычно заключается в делении разницы (расстояния) на масштабный коэффициент (меру статистической дисперсии ), что дает безразмерное число, называемое нормализацией . Чаще всего это деление ошибок или остатков на стандартное отклонение или выборочное стандартное отклонение, соответственно, что дает стандартные баллы и стьюдентизированные остатки .

• Анализ моделей дифференциальных уравнений в биологии: исследование популяций меристем клевера (применение безразмерности к проблеме в биологии).
• Конспект курса «Математическое моделирование и промышленная математика» Джонатана Эванса, факультет математических наук, Университет Бата (см. Главу 3).
• Масштабирование дифференциальных уравнений Ханс Петтер Лангтанген, Гейр К. Педерсен, Центр биомедицинских вычислений, Исследовательская лаборатория Simula и кафедра информатики, Университет Осло .