Изменение переменных

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Изменение переменных» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , тангенс половинного угла , Эйлера ) Формула Эйлера Простейшие дроби ( метод Хевисайда ) Изменение порядка Формулы редукции Дифференцируем под знаком интеграла алгоритм Риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Переменный Власть Биномиальный Тейлор Тесты на сходимость Предел слагаемого (тест термина) Соотношение Корень Интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Переменный ряд Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Дивергенция Завиток Лапласиан Направленная производная Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Дивергенция обобщенный Стокса Разложение Гельмгольца
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Экстерьер Геометрический Определения Частичная производная Множественный интеграл Интеграл линии Поверхностный интеграл Интеграл объема якобианский Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

В математике замена переменных — это базовый метод, используемый для упрощения задач, в котором исходные переменные заменяются функциями других переменных. Цель состоит в том, что при выражении в новых переменных задача может стать проще или эквивалентной более понятной задаче.

Замена переменных — это операция, которая связана с подстановкой . Однако это разные операции, как можно увидеть при рассмотрении дифференциации ( цепное правило ) или интегрирования ( интегрирование путем подстановки ).

Очень простой пример полезной замены переменной можно увидеть в задаче нахождения корней многочлена шестой степени:

${\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8=0.}$

Уравнения полиномов шестой степени, как правило, невозможно решить в терминах радикалов (см. теорему Абеля–Руффини ). Однако это конкретное уравнение можно записать

${\displaystyle (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0}$

(это простой случай полиномиального разложения ). Таким образом, уравнение можно упростить, определив новую переменную . Подстановка x в полином дает${\displaystyle u=x^{3}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{u}}}$

${\displaystyle u^{2}-9u+8=0,}$

что представляет собой просто квадратное уравнение с двумя решениями:

${\displaystyle u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.}$

Решения в терминах исходной переменной получаются путем подстановки x ³ обратно вместо u , что дает

${\displaystyle x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.}$

Тогда, предполагая, что интересуют только действительные решения, решения исходного уравнения будут такими:

${\displaystyle x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.}$

Рассмотрим систему уравнений

${\displaystyle xy+x+y=71}$

${\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880}$

где и — положительные целые числа с . (Источник: 1991 AIME )${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x>y}$

Решить это обычно не очень сложно, но может быть немного утомительно. Однако мы можем переписать второе уравнение как . Выполнение подстановок и сводит систему к . Решение этого дает и . Обратная подстановка первой упорядоченной пары дает нам , что дает решение Обратная подстановка второй упорядоченной пары дает нам , что не дает решений. Следовательно, решение, которое решает систему, — .${\displaystyle xy(x+y)=880}$${\displaystyle s=x+y}$${\displaystyle t=xy}$${\displaystyle s+t=71,st=880}$${\displaystyle (s,t)=(16,55)}$${\displaystyle (s,t)=(55,16)}$${\displaystyle x+y=16,xy=55,x>y}$${\displaystyle (x,y)=(11,5).}$${\displaystyle x+y=55,xy=16,x>y}$${\displaystyle (x,y)=(11,5)}$

Пусть , будут гладкими многообразиями и пусть будет - диффеоморфизмом между ними, то есть: является раз непрерывно дифференцируемым, биективным отображением из в с раз непрерывно дифференцируемым обратным из в . Здесь может быть любое натуральное число (или ноль), ( гладкое ) или ( аналитическое ).${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Phi :A\rightarrow B}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle r}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \omega }$

Карта называется регулярным преобразованием координат или регулярной заменой переменных , где регулярность относится к -ности . Обычно для обозначения замены переменной переменной записывают значение в для каждого вхождения .${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle x=\Phi (y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Некоторые системы можно решить проще, перейдя к полярным координатам . Рассмотрим, например, уравнение

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}$

Это может быть функция потенциальной энергии для некоторой физической проблемы. Если вы не видите решения немедленно, вы можете попробовать замену

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}$предоставлено${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).}$

Обратите внимание, что если выполняется за пределами интервала длины, например, , отображение больше не является биективным. Следовательно, должно быть ограничено, например , . Обратите внимание, как исключается, поскольку не является биективным в начале координат ( может принимать любое значение, точка будет отображена в (0, 0)). Затем, заменяя все вхождения исходных переменных новыми выражениями , предписанными и используя тождество , мы получаем${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle [0,2\pi ]}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$

${\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}$

Теперь решения можно легко найти: , так или . Применение обратного к показывает, что это эквивалентно пока . Действительно, мы видим, что для функция обращается в нуль, за исключением начала координат.${\displaystyle \sin(\theta )=0}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle x\not =0}$${\displaystyle y=0}$

Обратите внимание, что если бы мы допустили , начало координат также было бы решением, хотя это не решение исходной задачи. Здесь биективность имеет решающее значение. Функция всегда положительна (для ), отсюда и абсолютные значения.${\displaystyle r=0}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Правило цепочки используется для упрощения сложной дифференциации. Например, рассмотрим задачу вычисления производной

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).}$

Пусть с Тогда:${\displaystyle y=\sin u}$${\displaystyle u=x^{2}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}}$

Сложные интегралы часто можно вычислить, заменив переменные; это возможно благодаря правилу подстановки и аналогично использованию правила цепочки выше. Сложные интегралы также можно решить, упростив интеграл с помощью замены переменных, заданной соответствующей матрицей Якоби и определителем . ^[1] Использование определителя Якоби и соответствующей замены переменной, которую он дает, является основой систем координат, таких как полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.

Следующая теорема позволяет нам связать интегралы по мере Лебега с эквивалентным интегралом по мере обратного хода при параметризации G. ^[2] Доказательство основано на приближениях жорданового содержания.

Предположим, что является открытым подмножеством и является диффеоморфизмом.${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle G:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{1}}$

• Если — измеримая по Лебегу функция на , то измерима по Лебегу на . Если или , то .${\displaystyle f}$${\displaystyle G(\Omega )}$${\displaystyle f\circ G}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle f\in L^{1}(G(\Omega ),m),}$${\displaystyle \int _{G(\Omega )}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x)|{\text{det}}D_{x}G|dx}$
• Если и измеримо по Лебегу, то измеримо по Лебегу, тогда .${\displaystyle E\subset \Omega }$${\displaystyle E}$${\displaystyle G(E)}$${\displaystyle m(G(E))=\int _{E}|{\text{det}}D_{x}G|dx}$

В качестве следствия этой теоремы мы можем вычислить производные Радона–Никодима как мер обратного хода, так и мер прямого хода при .${\displaystyle m}$${\displaystyle T}$

Мера отката в терминах преобразования определяется как . Формула замены переменных для мер отката имеет вид${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{*}\mu :=\mu (T(A))}$

${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu }$.

Формула измерения и преобразования продвинутой меры

Мера продвижения вперед в терминах преобразования определяется как . Формула замены переменных для мер продвижения вперед имеет вид${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{*}\mu :=\mu (T^{-1}(A))}$

${\displaystyle \int _{\Omega }g\circ Td\mu =\int _{T(\Omega )}gdT_{*}\mu }$.

Как следствие формулы замены переменных для меры Лебега, имеем, что

• Производная Радона-Никодима от обратного хода относительно меры Лебега:${\displaystyle {\frac {dT^{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T|}$
• Производная Радона-Никодима прямого перехода относительно меры Лебега:${\displaystyle {\frac {dT_{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|}$

Из чего мы можем получить

• Формула замены переменных для меры отката:${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gdm=\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}m=\int _{\Omega }g\circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)}$
• Формула замены переменных для измерения продвижения вперед:${\displaystyle \int _{\Omega }gdm=\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}dT_{*}m=\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)}$

Изменения переменных для дифференциации и интегрирования изучаются на элементарном курсе исчисления , и эти шаги редко выполняются полностью.

Очень широкое использование изменений переменных очевидно при рассмотрении дифференциальных уравнений, где независимые переменные могут быть изменены с использованием цепного правила или зависимые переменные изменяются, что приводит к выполнению некоторой дифференциации. Экзотические изменения, такие как смешивание зависимых и независимых переменных в точечных и контактных преобразованиях , могут быть очень сложными, но предоставляют большую свободу.

Очень часто в задачу подставляется общая форма изменения, а параметры подбираются по ходу дела, чтобы максимально упростить задачу.

Вероятно, самое простое изменение — это масштабирование и сдвиг переменных, то есть замена их новыми переменными, которые «растягиваются» и «перемещаются» на постоянные величины. Это очень распространено в практических приложениях для получения физических параметров из задач. Для производной n- ^го порядка изменение просто приводит к

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}}$

где

${\displaystyle x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}}$

${\displaystyle y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.}$

Это можно легко показать с помощью цепного правила и линейности дифференциации. Это изменение очень распространено в практических приложениях для получения физических параметров из задач, например, краевой задачи

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0}$

описывает параллельный поток жидкости между плоскими твердыми стенками, разделенными расстоянием δ; μ — вязкость и градиент давления , оба константы. Масштабируя переменные, задача становится${\displaystyle dp/dx}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0}$

где

${\displaystyle y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.}$

Масштабирование полезно по многим причинам. Оно упрощает анализ как за счет сокращения числа параметров, так и просто за счет того, что делает задачу более аккуратной. Правильное масштабирование может нормализовать переменные, то есть сделать их имеющими разумный безразмерный диапазон, например от 0 до 1. Наконец, если задача требует численного решения, то чем меньше параметров, тем меньше вычислений.

Рассмотрим систему уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}$

для заданной функции . Масса может быть устранена (тривиальной) заменой . Очевидно, что это биективное отображение из в . При замене система становится${\displaystyle H(x,v)}$${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle v=\Phi (p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}$

При наличии силового поля уравнения движения Ньютона имеют вид${\displaystyle \varphi (t,x,v)}$

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).}$

Лагранж исследовал, как изменяются эти уравнения движения при произвольной замене переменных ,${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.}$

Он обнаружил, что уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}}$

эквивалентны уравнениям Ньютона для функции , где T — кинетическая, а V — потенциальная энергия.${\displaystyle L=T-V}$

На самом деле, если подстановка выбрана правильно (например, с использованием симметрии и ограничений системы), эти уравнения гораздо проще решить, чем уравнения Ньютона в декартовых координатах.

• Изменение переменных (PDE)
• Изменение переменных для плотностей вероятности
• Свойство подстановки равенства
• Универсальная реализация