Модель передачи сигнала через клетку

Модель передачи сигнала по ячейке ( CTM ) — популярный численный метод , предложенный Карлосом Даганзо ^[1] для решения кинематического волнового уравнения . ^{[2] [3]} Позднее Лебак ^[4] показал, что CTM — это дискретное приближение Годунова первого порядка . ^[5]

CTM прогнозирует макроскопическое поведение трафика на заданном коридоре, оценивая поток и плотность в конечном числе промежуточных точек на разных временных шагах. Это делается путем деления коридора на однородные секции (далее называемые ячейками) и их нумерации i=1, 2… n, начиная вниз по течению. Длина ячейки выбирается так, чтобы она была равна расстоянию, пройденному свободным потоком трафика за один временной шаг оценки. Поведение трафика оценивается на каждом временном шаге, начиная с t=1,2…m. Для итеративной оценки каждой ячейки требуются начальные и граничные условия.

Поток через ячейки определяется на основе μ(k) и λ(k), двух монотонных функций , которые однозначно определяют фундаментальную диаграмму, как показано на рисунке 1. Плотность ячеек обновляется на основе сохранения притоков и оттоков. Таким образом, поток и плотность выводятся как:

Где:

и представляют плотность и поток в ячейке i в момент времени t. Аналогично $f_k$, , , и представляют плотность пробки, емкость, скорость волны и скорость свободного потока соответственно фундаментальной диаграммы .

• 
  Рисунок 1. Функции спроса и предложения (Рисунок получен из Laval ^[6])

CTM дает результаты, соответствующие непрерывному уравнению кинематической волны, когда плотность, указанная в начальном условии, изменяется постепенно. Однако CTM воспроизводит разрывы и удары, которые занимают промежуток в несколько ячеек пространства, но движутся с правильной скоростью, предсказанной уравнением кинематической волны .

Было замечено, что с течением времени приближения CTM приводят к распространению шока на все большее число ячеек. Чтобы устранить распространение определенных шоков, Даганзо (1994) предложил модификацию CTM, которая гарантирует, что шоки, разделяющие более низкую плотность вверх по течению и более высокую плотность вниз по течению, не распространяются.

CTM является надежным, и результаты моделирования не зависят от порядка, в котором оцениваются ячейки, поскольку поток, входящий в ячейку, зависит только от текущих условий внутри ячейки и не связан с потоком, выходящим из ячейки. Таким образом, CTM может применяться для анализа сложных сетей и невогнутых фундаментальных диаграмм.

Рассмотрим однородный артериальный сегмент длиной 2,5 км, который следует треугольной фундаментальной диаграмме, как показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Фундаментальная схема для примера

Этот коридор разделен на 30 ячеек и моделируется в течение 480 секунд с шагом по времени 6 секунд. Начальные и граничные условия задаются следующим образом: K(x,0)=48 x K(0,t)=48 t K(2.5,t)=0 t

Коридор имеет два сигнала, расположенных на милевых столбах 1 и 2, начинающихся вверх по течению. Сигналы имеют разделение в 30 секунд и длину цикла в 60 секунд. С этой информацией это простой вопрос итерации уравнений ( 1) для всех ячеек и временных шагов. Рисунок 3 и таблица 1 показывают пространственное и временное распределение плотности для случая смещения = 0 секунд.

• 
  Рисунок 3. График плотности для примера со смещением 0 секунд

Таблица 1: Значения плотности для примера со смещением 0 секунд

В настоящее время некоторые программные инструменты (например, TRANSYT-14 и SIGMIX), оценивающие трафик или оптимизирующие настройки светофоров, используют CTM в качестве макроскопического симулятора трафика. Например, в TRANSYT-14 (не путать с выпусками TRANSYT-7F) пользователю разрешено выбирать модели трафика, включая CTM, Platoon Dispersion и т. д. для моделирования динамики трафика. ^[7] В SIGMIX по умолчанию используется CTM в качестве симулятора. ^[8]

Поскольку исходная модель передачи клеток является приближением первого порядка, Даганзо ^[9] предложил модель передачи клеток с задержкой (LCTM), которая точнее предыдущей. Эта улучшенная модель использует задержку плотности нисходящего потока (p временных шагов раньше текущего времени) для функции приема. Если используется треугольная фундаментальная диаграмма и задержка выбрана соответствующим образом, этот улучшенный метод имеет точность второго порядка.

когда шоссе дискритизировано с переменной длиной ячеек, то следует ввести прямую задержку для функции отправки, чтобы сохранить хорошие свойства LCTM. Выбор обратной задержки и прямой задержки задается следующим образом:

отставание назад отставание вперед

где d и ε — пространственные и временные шаги ячейки, — максимальная скорость свободного течения, w — максимальная скорость распространяющейся назад волны.

Ньюэлл ^[10] предложил точный метод решения кинематического волнового уравнения, основанный только на кумулятивных кривых на обоих концах коридора, без оценки каких-либо промежуточных точек.

Поскольку плотность постоянна вдоль характеристик, если известны кумулятивные кривые A(x0,t0) и поток q(x0,t0) на границе, можно построить трехмерную поверхность (A,x,t). Однако, если характеристики пересекаются, поверхность является многозначной функцией x,t на основе начальных и граничных условий, из которых она выведена. В таком случае получается единственное и непрерывное решение путем взятия нижней огибающей многозначного решения, выведенного на основе различных граничных и начальных условий.

Однако ограничением этого метода является то, что его нельзя использовать для невогнутых фундаментальных диаграмм.

Ньюэлл предложил метод, но Даганзо ^[11] с помощью вариационной теории доказал, что нижняя огибающая является единственным решением.