Тест сходимости Коши

Тест сходимости Коши — это метод, используемый для проверки бесконечных рядов на сходимость . Он основан на ограничении сумм членов ряда. Этот критерий сходимости назван в честь Огюстена-Луи Коши , который опубликовал его в своем учебнике Cours d'Analyse 1821. ^[1]

Ряд сходится тогда и только тогда, когда для каждого существует натуральное число такое, что${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

справедливо для всех и каждого . ^[2]${\displaystyle n>N}$${\displaystyle p\geq 1}$

В этом разделе не указаны источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . ( Февраль 2022 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Тест работает, потому что пространство действительных чисел и пространство комплексных чисел (с метрикой, заданной абсолютным значением ) являются полными . Отсюда ряд сходится тогда и только тогда, когда частичные суммы${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$

представляют собой последовательность Коши .

Тест сходимости Коши можно использовать только в полных метрических пространствах (таких как и ), которые являются пространствами, где все последовательности Коши сходятся. Это потому, что нам нужно только показать, что ее элементы становятся произвольно близкими друг к другу после конечной прогрессии в последовательности, чтобы доказать сходимость ряда.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Мы можем использовать результаты о сходимости последовательности частичных сумм бесконечного ряда и применить их к сходимости самого бесконечного ряда. Тест критерия Коши является одним из таких приложений. Для любой действительной последовательности приведенные выше результаты о сходимости подразумевают, что бесконечный ряд${\displaystyle а_{к}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

сходится тогда и только тогда, когда для каждого существует число N , такое, что m ≥ n ≥ N влечет${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}a_{k}\right|<\varepsilon .}$^{[3] : 188}

Вероятно, самая интересная часть этой теоремы заключается в том, что условие Коши подразумевает существование предела: это действительно связано с полнотой действительной линии. Критерий Коши можно обобщить на множество ситуаций, которые все можно в общих чертах суммировать как «условие исчезающей осцилляции эквивалентно сходимости». ^[4]

В данной статье использованы материалы из критерия сходимости Коши на PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .