Функция, непрерывная по Коши

В математике функция Коши-непрерывная или Коши-регулярная — это особый вид непрерывной функции между метрическими пространствами (или более общими пространствами). Функции Коши-непрерывные обладают полезным свойством, заключающимся в том, что они всегда могут быть (единственно) расширены до завершения Коши своей области определения.

Пусть и будут метрическими пространствами , и пусть будет функцией из в Тогда является непрерывным по Коши тогда и только тогда, когда любая заданная последовательность Коши в последовательности является последовательностью Коши в${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),\ldots \right)}$${\displaystyle Y.}$

Каждая равномерно непрерывная функция также является непрерывным по Коши. Наоборот, если область полностью ограничена , то каждая непрерывная по Коши функция является равномерно непрерывной. В более общем случае, даже если не является полностью ограниченным, функция на является непрерывным по Коши тогда и только тогда, когда она равномерно непрерывна на каждом полностью ограниченном подмножестве${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Каждая непрерывная по Коши функция является непрерывной . Наоборот, если область является полной , то каждая непрерывная функция является непрерывной по Коши. В более общем случае, даже если не является полной, при условии, что является полной, то любая непрерывная по Коши функция от до может быть расширена до непрерывной (и, следовательно, непрерывная по Коши) функции, определенной на завершении Коши этого расширения, обязательно уникальна.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X;}$

Объединяя эти факты, если компактно , то непрерывные отображения, отображения , непрерывные по Коши, и равномерно непрерывные отображения на — все это одно и то же.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Так как вещественная прямая является полной, непрерывные функции на являются непрерывными по Коши. Однако в подпространстве рациональных чисел дела обстоят иначе. Например, определим двузначную функцию так, что есть когда меньше чем , но когда больше чем (Обратите внимание, что никогда не равно ни для какого рационального числа ) Эта функция непрерывна на , но не непрерывна по Коши, поскольку ее нельзя непрерывно продолжить до С другой стороны, любая равномерно непрерывная функция на должна быть непрерывна по Коши. Для неравномерного примера на пусть будет ; это не равномерно непрерывно (на всех ), но это непрерывно по Коши. (Этот пример одинаково хорошо работает на )${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 2.}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle х.}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle 2^{x}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Последовательность Коши в можно отождествить с непрерывной по Коши функцией от до , определяемой соотношением Если является полной, то ее можно расширить до , что будет пределом последовательности Коши.${\displaystyle \left(y_{1},y_{2},\ldots \right)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f\left(1/n\right)=y_{n}.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\};}$ ${\displaystyle f(x)}$

Непрерывность по Коши имеет смысл в ситуациях более общих, чем метрические пространства, но тогда нужно перейти от последовательностей к сетям (или, что эквивалентно, фильтрам ). Определение выше применимо, пока последовательность Коши заменяется произвольной сетью Коши . Эквивалентно, функция непрерывна по Коши тогда и только тогда, когда для любого фильтра Коши на , то есть базис фильтра Коши на Это определение согласуется с приведенным выше для метрических пространств, но оно также работает для равномерных пространств и, в самом общем случае, для пространств Коши .${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$${\displaystyle Y.}$

Любое направленное множество может быть преобразовано в пространство Коши. Тогда для любого пространства сети Коши в индексированы по будут такими же, как функции Коши-непрерывные от до Если является полным, то расширение функции до даст значение предела сети. (Это обобщает пример последовательностей выше, где 0 следует интерпретировать как )${\displaystyle А}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A\чашка \{\infty \}}$${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}.}$

• Пространство Коши  – Понятие в общей топологии и анализе
• Теорема Гейне–Кантора

• Ева Лоуэн-Колебандерс (1989). Классы функций непрерывных отображений Коши . Деккер, Нью-Йорк.