Теорема Пикара–Линделёфа

В математике , в частности, в изучении дифференциальных уравнений , теорема Пикара–Линделёфа даёт набор условий, при которых задача с начальными значениями имеет единственное решение. Она также известна как теорема существования Пикара , теорема Коши–Липшица или теорема существования и единственности .

Теорема названа в честь Эмиля Пикара , Эрнста Линделёфа , Рудольфа Липшица и Огюстена-Луи Коши .

Пусть будет замкнутым прямоугольником с , внутренностью . Пусть будет функцией, которая непрерывна в и липшицева в (с константой Липшица, не зависящей от ). Тогда существует некоторая такая, что задача начального значения${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \operatorname {int} D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0}}$

имеет единственное решение на интервале . ^{[1] [2]}${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$

Стандартное доказательство основано на преобразовании дифференциального уравнения в интегральное уравнение, последующем применении теоремы Банаха о неподвижной точке для доказательства существования решения, а затем применении леммы Гренвалля для доказательства единственности решения.

Интегрирование обеих частей дифференциального уравнения показывает, что любое решение дифференциального уравнения должно также удовлетворять интегральному уравнению${\textstyle y'(t)=f(t,y(t))}$

${\displaystyle y(t)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,ds.}$

Учитывая гипотезы, что является непрерывным в и непрерывным по Липшицу в , этот интегральный оператор является сжатием , и поэтому теорема Банаха о неподвижной точке доказывает, что решение может быть получено с помощью итерации с фиксированной точкой последовательных приближений. В этом контексте этот метод итерации с фиксированной точкой известен как итерация Пикара .${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$

Набор

${\displaystyle \varphi _{0}(t)=y_{0}}$

и

${\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi _{k}(s))\,ds.}$

Из теоремы Банаха о неподвижной точке следует, что последовательность «итераций Пикара» сходится и что ее предел является решением исходной задачи начального значения. Далее, применяя лемму Грёнвалля к , где и — любые два решения, показывает, что для любых двух решений, тем самым доказывая, что они должны быть одним и тем же решением, и тем самым доказывая глобальную уникальность решения в области, где выполняются гипотезы теоремы.${\textstyle \varphi _{k}}$${\textstyle |\varphi (t)-\psi (t)|}$${\textstyle \varphi }$${\textstyle \psi }$${\textstyle \varphi (t)=\psi (t)}$${\displaystyle D}$

Пусть решение уравнения с начальным условием Начиная с мы итерируем ${\displaystyle y(t)=\tan(t),}$${\displaystyle y'(t)=1+y(t)^{2}}$${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}=0,t_{0}=0.}$${\displaystyle \varphi _{0}(t)=0,}$

${\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=\int _{0}^{t}(1+(\varphi _{k}(s))^{2})\,ds}$

так что :${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to y(t)}$

${\displaystyle \varphi _{1}(t)=\int _{0}^{t}(1+0^{2})\,ds=t}$

${\displaystyle \varphi _{2}(t)=\int _{0}^{t}(1+s^{2})\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}}$

${\displaystyle \varphi _{3}(t)=\int _{0}^{t}\left(1+\left(s+{\frac {s^{3}}{3}}\right)^{2}\right)\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {2t^{5}}{15}}+{\frac {t^{7}}{63}}}$

и т. д. Очевидно, функции вычисляют разложение в ряд Тейлора нашего известного решения Поскольку имеет полюса в , то не является непрерывным по Липшицу в окрестности этих точек, и итерация сходится к локальному решению только для , которое не является действительным для всех .${\displaystyle y=\tan(t).}$${\displaystyle \tan }$${\displaystyle \pm {\tfrac {\pi }{2}},}$${\displaystyle |t|<{\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Чтобы понять единственность решений, сопоставьте следующие два примера обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для y ( t ) . ^[3] Оба дифференциальных уравнения будут иметь одну стационарную точку y = 0.

Во-первых, однородное линейное уравнение ⁠dy/дт⁠ = ay (), стационарное решение есть y ( t ) = 0 , которое получается при начальном условии y (0) = 0 . Начиная с любого другого начального условия y (0) = y ₀ ≠ 0 , решениестремится к стационарной точке y = 0 , но оно приближается к ней только в пределе бесконечного времени, поэтому гарантируется единственность решений за все конечные времена. ${\displaystyle a<0}$${\displaystyle y(t)=y_{0}e^{at}}$

Напротив, для уравнения, в котором стационарная точка может быть достигнута за конечное время, единственность решений не выполняется. Рассмотрим однородное нелинейное уравнение ⁠dy/дт⁠ = ау ^⁠ 2/3⁠ , которая имеет по крайней мере эти два решения, соответствующие начальному условию y (0) = 0: y ( t ) = 0и

${\displaystyle y(t)={\begin{cases}\left({\tfrac {at}{3}}\right)^{3}&t<0\\\ \ \ \ 0&t\geq 0,\end{cases}}}$

поэтому предыдущее состояние системы не определяется однозначно ее состоянием в момент времени t = 0 или после него. Теорема единственности неприменима, поскольку производная функции f  ( y ) = y ^{⁠  2/3⁠} не ограничена в окрестности y = 0и, следовательно, не является липшицевой, что нарушает условие теоремы.

Позволять

${\displaystyle C_{a,b}={\overline {I_{a}(t_{0})}}\times {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$

где:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {I_{a}(t_{0})}}&=[t_{0}-a,t_{0}+a]\\{\overline {B_{b}(y_{0})}}&=[y_{0}-b,y_{0}+b].\end{aligned}}}$

Это компактный цилиндр, в котором     определена f .

Пусть L — константа Липшица функции f относительно второй переменной.  

Позволять

${\displaystyle M=\sup _{C_{a,b}}\|f\|,}$

это супремум ( абсолютных значений ) наклонов функции.

Этот максимум существует, поскольку из условий следует, что является непрерывной функцией двух переменных, поскольку является непрерывной функцией , для любой точки и существуют такие, что при . Имеем${\displaystyle f(t,y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (t_{0},y_{0})}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(t,y_{0})-f(t_{0},y_{0})|<{\frac {\epsilon }{2}}}$${\displaystyle |t-t_{0}|<\delta }$

${\displaystyle |f(t,y)-f(t_{0},y_{0})|\leq |f(t,y)-f(t,y_{0})|+|f(t,y_{0})-f(t_{0},y_{0})|<\epsilon }$

при условии и , что показывает, что является непрерывным при .${\displaystyle |t-t_{0}|<\delta }$${\displaystyle |y-y_{0}|<{\frac {\epsilon }{2L}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (t_{0},y_{0})}$

Мы продолжим применять теорему Банаха о неподвижной точке, используя метрику , индуцированную равномерной нормой${\displaystyle {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

${\displaystyle \|\varphi \|_{\infty }=\sup _{t\in I_{a}}|\varphi (t)|.}$

Определим оператор между двумя функциональными пространствами непрерывных функций, оператор Пикара, следующим образом:

${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))\longrightarrow {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

определяется:

${\displaystyle \Gamma \varphi (t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds.}$

Мы должны показать, что этот оператор отображает полное непустое метрическое пространство X в себя и также является сжимающим отображением .

Сначала покажем, что при определенных ограничениях на , принимает в себя в пространстве непрерывных функций с равномерной нормой. Здесь — замкнутый шар в пространстве непрерывных (и ограниченных ) функций, «центрированный» на постоянной функции . Следовательно, нам нужно показать, что ${\displaystyle a}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$${\displaystyle {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle \|\varphi -y_{0}\|_{\infty }\leq b}$

подразумевает

${\displaystyle \left\|\Gamma \varphi (t)-y_{0}\right\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds\right\|\leq \int _{t_{0}}^{t'}\left\|f(s,\varphi (s))\right\|ds\leq \int _{t_{0}}^{t'}M\,ds=M\left|t'-t_{0}\right|\leq Ma\leq b}$

где — некоторое число, в котором достигается максимум. Последнее неравенство в цепочке верно, если мы накладываем требование .${\displaystyle t'}$${\displaystyle [t_{0}-a,t_{0}+a]}$${\displaystyle a<{\frac {b}{M}}}$

Теперь докажем, что этот оператор является сжимающим отображением.

Для того чтобы применить теорему Банаха о неподвижной точке , даны две функции .${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

${\displaystyle \left\|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right\|_{\infty }\leq q\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty },}$

для некоторых . Так пусть будет так, что${\displaystyle 0\leq q<1}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\|_{\infty }=\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|.}$

Тогда, используя определение ,${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|&=\left\|\int _{t_{0}}^{t}\left(f(s,\varphi _{1}(s))-f(s,\varphi _{2}(s))\right)ds\right\|\\&\leq \int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}(s)-\varphi _{2}(s)\right\|ds&&{\text{since }}f{\text{ is Lipschitz-continuous}}\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\,ds\\&\leq La\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\end{aligned}}}$

Это сокращение, если${\displaystyle a<{\tfrac {1}{L}}.}$

Мы установили, что оператор Пикара является сжатием на банаховых пространствах с метрикой, индуцированной равномерной нормой. Это позволяет нам применить теорему Банаха о неподвижной точке, чтобы заключить, что оператор имеет единственную неподвижную точку. В частности, существует единственная функция

${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

такая, что Γ φ = φ . Эта функция является единственным решением задачи начального значения, действительным на интервале I _a , где a удовлетворяет условию

${\displaystyle a<\min \left\{{\tfrac {b}{M}},{\tfrac {1}{L}}\right\}.}$

Мы хотим устранить зависимость интервала I _a от L . Для этого имеется следствие теоремы Банаха о неподвижной точке: если оператор T ⁿ является сжатием для некоторого n из N , то T имеет единственную неподвижную точку. Прежде чем применять эту теорему к оператору Пикара, напомним следующее:

Доказательство. Индукция по m . Для базы индукции ( m = 1 ) мы уже это видели, поэтому предположим, что неравенство выполняется для m − 1 , тогда имеем: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}(t)-\Gamma ^{m}\varphi _{2}(t)\right\|&=\left\|\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(t)-\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(t)\right\|\\&\leq \left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)-\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}{\frac {L^{m-1}|s-t_{0}|^{m-1}}{(m-1)!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|ds\right|\\&\leq {\frac {L^{m}|t-t_{0}|^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|.\end{aligned}}}$$

Взяв супремум, мы видим, что .${\displaystyle t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]}$${\displaystyle \left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\right\|\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|}$

Это неравенство гарантирует, что для некоторого большого m , и, следовательно, Γ ^m будет сжатием. Так что по предыдущему следствию Γ будет иметь единственную неподвижную точку. Наконец, мы смогли оптимизировать интервал решения, взяв α = min{ a , ⁠$${\displaystyle {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}<1,}$$б/М⁠ } .

В конечном итоге этот результат показывает, что интервал определения решения не зависит от константы Липшица поля, а только от интервала определения поля и его максимального абсолютного значения.

Теорема Пикара–Линделёфа показывает, что решение существует и что оно единственно. Теорема существования Пеано показывает только существование, а не единственность, но она предполагает только, что f непрерывна по y , а не непрерывна по Липшицу . Например, правая часть уравнения ⁠  dy/дт⁠ = у ^⁠ 1/3⁠ с начальным условием y (0) = 0является непрерывным, но не липшицевым. Действительно, вместо того, чтобы быть единственным, это уравнение имеет по крайней мере три решения:^[4]

${\displaystyle y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}}$.

Еще более общей является теорема о существовании Каратеодори , которая доказывает существование (в более общем смысле) при более слабых условиях на f . Хотя эти условия являются лишь достаточными, существуют также необходимые и достаточные условия для того, чтобы решение задачи начального значения было единственным, например, теорема Окамуры. [ ^5]  

Теорема Пикара–Линделёфа гарантирует, что решения задач начального значения существуют единственным образом в пределах локального интервала , возможно, в зависимости от каждого решения. Поведение решений за пределами этого локального интервала может меняться в зависимости от свойств f и области, в которой определена f . Например, если f глобально липшицева, то локальный интервал существования каждого решения может быть расширен на всю вещественную прямую, и все решения будут определены на всем R . ${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$      

Если f только локально липшицево, некоторые решения могут не быть определены для определенных значений t , даже если f гладкое. Например, дифференциальное уравнение ⁠    dy/дт⁠ = y ² с начальным условием y (0) = 1 имеет решение y ( t ) = 1/(1- t ), которое не определено при t = 1. Тем не менее, если f — дифференцируемая функция, определенная над компактным подмножеством R ⁿ , то задача начального значения имеет единственное решение, определенное над всем R . ^[6] Похожий результат существует в дифференциальной геометрии : если f — дифференцируемое векторное поле, определенное над областью, которая является компактным гладким многообразием , то все его траектории ( интегральные кривые ) существуют для всех времен. ^{[6] [7]}    

• Теорема Коши–Ковалевской
• Полные векторные поля
• Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)
• Условия интегрируемости дифференциальных систем
• Метод Ньютона
• метод Эйлера
• Правило трапеции