Уравнение Коши–Эйлера

В математике уравнение Эйлера–Коши , или уравнение Коши–Эйлера , или просто уравнение Эйлера — это линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами . Иногда его называют равноразмерным уравнением. Благодаря своей особенно простой равноразмерной структуре дифференциальное уравнение может быть решено явно.

Пусть y ^{( n )} ( x ) — n-я производная неизвестной функции  y ( x ) . Тогда уравнение Коши–Эйлера порядка n имеет вид$${\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ точки +a_{0}y(x)=0.}$$

Подстановка (то есть, ; для , в которой можно заменить все экземпляры на , расширяя область решения до ) может быть использована для сведения этого уравнения к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. В качестве альтернативы, пробное решение может быть использовано для непосредственного решения уравнения, что даст основные решения. ^[1]${\displaystyle x=e^{u}}$${\displaystyle u=\ln(x)}$${\displaystyle х<0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle y=x^{м}}$

Наиболее распространенным уравнением Коши–Эйлера является уравнение второго порядка, которое появляется в ряде физических и инженерных приложений, например, при решении уравнения Лапласа в полярных координатах. Уравнение Коши–Эйлера второго порядка — ^{[1] [2]}

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.}$$

Мы предполагаем пробное решение ^[1] $${\displaystyle y=x^{m}.}$$

Дифференциация дает и$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m\left(m-1\right)x^{m-2}.}$$

Подстановка в исходное уравнение приводит к требованию, что$${\displaystyle x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)+ax\left(mx^{m-1}\right)+b\left(x^{m}\right)=0}$$

Перестановка и разложение на множители дает основное уравнение$${\displaystyle m^{2}+\left(a-1\right)m+b=0.}$$

Затем мы решаем для m . Есть три случая, представляющих интерес:

• Случай 1 двух различных корней, m ₁ и m ₂ ;
• Случай 2 одного действительного кратного корня, m ;
• Случай 3 комплексных корней, α ± βi .

В случае 1 решение следующее:$${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}}$$

В случае 2 решение такое:$${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}}$$

Чтобы прийти к этому решению, необходимо применить метод понижения порядка , предварительно найдя одно решение y = x ^m .

В случае 3 решение такое: $${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))}$$$${\displaystyle \alpha =\operatorname {Re} (m)}$$$${\displaystyle \beta =\operatorname {Im} (m)}$$

Для .${\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} }$

Эта форма решения получается путем подстановки x = e ^t и использования формулы Эйлера .

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0}$$

Мы выполняем замену переменных, определенную как

$${\displaystyle t=\ln(x).}$$$${\displaystyle y(x)=\varphi (\ln(x))=\varphi (t).}$$

Дифференциация дает$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {d\varphi }{dt}}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {d\varphi }{dt}}\right).}$$

Подставляя дифференциальное уравнение, получаем${\displaystyle \varphi (t)}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d\varphi }{dt}}+b\varphi =0.}$$

Это уравнение решается с помощью его характеристического полинома${\displaystyle \varphi (t)}$$${\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}$$

Теперь пусть и обозначают два корня этого многочлена. Разберем случай, когда есть различные корни, и случай, когда есть повторяющийся корень:${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

Если корни различны, то общее решение будет таким, что экспоненты могут быть комплексными.$${\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t},}$$

Если корни равны, то общее решение имеет вид$${\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}$$

В обоих случаях решение можно найти, установив .${\displaystyle y(x)}$${\displaystyle t=\ln(x)}$

Следовательно, и в первом случае, и во втором случае,$${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}},}$$$${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}$$

Заметим, что мы можем записать уравнение Коши-Эйлера второго порядка в терминах линейного дифференциального оператора как, где и — тождественный оператор.${\displaystyle L}$$${\displaystyle Ly=(x^{2}D^{2}+axD+bI)y=0,}$$${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle I}$

Мы выражаем указанный выше оператор как полином по , а не . По правилу произведения, Итак,${\displaystyle xD}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle (xD)^{2}=xD(xD)=x(D+xD^{2})=x^{2}D^{2}+xD.}$$$${\displaystyle L=(xD)^{2}+(a-1)(xD)+bI.}$$

Затем мы можем использовать квадратичную формулу для разложения этого оператора на линейные члены. Более конкретно, пусть обозначают (возможно, равные) значения Тогда,${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$$${\displaystyle -{\frac {a-1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}.}$$$${\displaystyle L=(xD-\lambda _{1}I)(xD-\lambda _{2}I).}$$

Видно, что эти факторы коммутируют, то есть . Следовательно, если , то решение представляет собой линейную комбинацию решений каждого из и , которую можно решить путем разделения переменных .${\displaystyle (xD-\lambda _{1}I)(xD-\lambda _{2}I)=(xD-\lambda _{2}I)(xD-\lambda _{1}I)}$${\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}$${\displaystyle Ly=0}$${\displaystyle (xD-\lambda _{1}I)y=0}$${\displaystyle (xD-\lambda _{2}I)y=0}$

Действительно, при , имеем . Итак, Таким образом, общее решение .${\displaystyle i\in \{1,2\}}$${\displaystyle (xD-\lambda _{i}I)y=x{\frac {dy}{dx}}-\lambda _{i}y=0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x{\frac {dy}{dx}}&=\lambda _{i}y\\\int {\frac {1}{y}}\,dy&=\lambda _{i}\int {\frac {1}{x}}\,dx\\\ln y&=\lambda _{i}\ln x+C\\y&=c_{i}e^{\lambda _{i}\ln x}=c_{i}x^{\lambda _{i}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle y=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}}$

Если , то вместо этого нам нужно рассмотреть решение . Пусть , так что мы можем записать Как и прежде, решение имеет вид . Итак, нам осталось решить Затем мы переписываем уравнение как , которое можно распознать как поддающееся решению с помощью интегрирующего множителя .${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}=\lambda _{2}}$${\displaystyle (xD-\lambda I)^{2}y=0}$${\displaystyle z=(xD-\lambda I)y}$$${\displaystyle (xD-\lambda I)^{2}y=(xD-\lambda I)z=0.}$$${\displaystyle (xD-\lambda I)z=0}$${\displaystyle z=c_{1}x^{\lambda }}$$${\displaystyle (xD-\lambda I)y=x{\frac {dy}{dx}}-\lambda y=c_{1}x^{\lambda }.}$$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}-{\frac {\lambda }{x}}y=c_{1}x^{\lambda -1},}$$

Выбираем в качестве интегрирующего множителя. Умножая наше уравнение на и распознавая левую часть как производную произведения, мы получаем${\displaystyle M(x)=x^{-\lambda }}$${\displaystyle M(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{-\lambda }y)&=c_{1}x^{-1}\\x^{-\lambda }y&=\int c_{1}x^{-1}\,dx\\y&=x^{\lambda }(c_{1}\ln(x)+c_{2})\\&=c_{1}\ln(x)x^{\lambda }+c_{2}x^{\lambda }.\end{aligned}}}$$

При этом мы подставляем простое решение x ^m :$${\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}$$$${\displaystyle x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)-3x\left(mx^{m-1}\right)+3x^{m}=m\left(m-1\right)x^{m}-3mx^{m}+3x^{m}=\left(m^{2}-4m+3\right)x^{m}=0\,.}$$

Для того, чтобы x ^m было решением, либо x = 0 , что дает тривиальное решение, либо коэффициент при x ^m равен нулю. Решая квадратное уравнение, получаем  m = 1, 3. Общее решение, таким образом,

${\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}$

Существует разностное уравнение, аналогичное уравнению Коши–Эйлера. Для фиксированного m > 0 определим последовательность f _m ( n ) как$${\displaystyle f_{m}(n):=n(n+1)\cdots (n+m-1).}$$

Применяя оператор разности к , находим, что${\displaystyle f_{m}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}Df_{m}(n)&=f_{m}(n+1)-f_{m}(n)\\&=m(n+1)(n+2)\cdots (n+m-1)={\frac {m}{n}}f_{m}(n).\end{aligned}}}$$

Если мы сделаем это k раз, то обнаружим, что$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{m}^{(k)}(n)&={\frac {m(m-1)\cdots (m-k+1)}{n(n+1)\cdots (n+k-1)}}f_{m}(n)\\&=m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {f_{m}(n)}{f_{k}(n)}},\end{aligned}}}$$

где верхний индекс ^{( k )} обозначает применение оператора разности k раз. Сравнение этого с тем фактом, что k -я производная x ^m равна, предполагает, что мы можем решить разностное уравнение N -го порядка аналогично случаю дифференциального уравнения. Действительно, подстановка пробного решения приводит нас к той же ситуации, что и случай дифференциального уравнения,$${\displaystyle m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {x^{m}}{x^{k}}}}$$$${\displaystyle f_{N}(n)y^{(N)}(n)+a_{N-1}f_{N-1}(n)y^{(N-1)}(n)+\cdots +a_{0}y(n)=0,}$$$${\displaystyle y(n)=f_{m}(n)}$$$${\displaystyle m(m-1)\cdots (m-N+1)+a_{N-1}m(m-1)\cdots (m-N+2)+\dots +a_{1}m+a_{0}=0.}$$

Теперь можно действовать так же, как в случае дифференциального уравнения, поскольку общее решение линейного разностного уравнения N -го порядка также является линейной комбинацией N линейно независимых решений. Применение понижения порядка в случае кратного корня m ₁ даст выражения, включающие дискретную версию  ln ,$${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k-m_{1}}}.}$$

(Сравните с :)${\textstyle \ln(x-m_{1})=\int _{1+m_{1}}^{x}{\frac {dt}{t-m_{1}}}.}$

В случаях, когда используются дроби, вместо этого можно использовать (или просто использовать его во всех случаях), что совпадает с определением, данным ранее для целого числа  m .$${\displaystyle f_{m}(n):={\frac {\Gamma (n+m)}{\Gamma (n)}}}$$

• Гипергеометрическое дифференциальное уравнение
• Оператор Коши–Эйлера

• Вайсштейн, Эрик В. "Уравнение Коши–Эйлера". MathWorld .