проекция Кассини

Проекция Кассини ( также иногда называемая проекцией Кассини–Зольднера или проекцией Зольднера ^[1] ) — это картографическая проекция, впервые описанная в приближенной форме Сезаром-Франсуа Кассини де Тюри в 1745 году. Ее точные формулы были найдены в ходе более позднего анализа Иоганном Георгом фон Зольднером около 1810 года. ^[2] Это поперечный аспект равнопромежуточной проекции , в котором земной шар сначала поворачивается так, что центральный меридиан становится «экватором», а затем применяется нормальная равнопромежуточная проекция. Рассматривая Землю как сферу, проекция состоит из операций:

${\displaystyle x=\arcsin(\cos \varphi \sin \lambda)\qquad y=\arctan \left({\frac {\tan \varphi }{\cos \lambda }}\right).}$

где λ — долгота от центрального меридиана, а φ — широта. При программировании этих уравнений в качестве арктангенса используется функция atan2 с первым аргументом sin  φ и вторым cos φ cos λ .

Обратная операция состоит из операций:

${\displaystyle \varphi =\arcsin(\sin y\cos x)\qquad \lambda =\operatorname {atan2} (\tan x,\cos y).}$

На практике проекция всегда применялась к моделям Земли как эллипсоида , что значительно усложняет математическую разработку, но подходит для съемки. Тем не менее, использование проекции Кассини в значительной степени было заменено поперечной проекцией Меркатора , по крайней мере, в центральных картографических агентствах.

Области вдоль центрального меридиана и под прямым углом к ​​нему не искажены. В других местах искажение в основном происходит в направлении север-юг и изменяется пропорционально квадрату расстояния от центрального меридиана. Таким образом, чем больше продольная протяженность области, тем сильнее становится искажение.

Из-за этого проекция Кассини лучше всего подходит для областей с большей протяженностью с севера на юг, чем с востока на запад. Например, карты Ordnance Survey Великобритании использовали проекцию Кассини с 1924 года до введения Национальной сетки координат . ^{[3] [4]}

Проекция Кассини известна как сферическая, но ее можно обобщить до эллиптической формы.

Рассматривая Землю как эллипс, проекция состоит из следующих операций:

${\displaystyle N=(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi)^{-1/2}}$

${\displaystyle T=\tan ^{2}\varphi }$

${\displaystyle A=\lambda \cos \varphi}$

${\displaystyle C={\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\cos ^{2}\varphi }$

${\displaystyle x=N\left(AT{\frac {A^{3}}{6}}-(8-T+8C)T{\frac {A^{5}}{120}}\right)}$

${\displaystyle y=M(\varphi )-M(\varphi _{0})+(N\tan \varphi )\left({\frac {A^{2}}{2}}+(5-T+6C){\frac {A^{4}}{24}}\right)}$

а M — функция меридионального расстояния .

Обратная операция состоит из операций:

${\displaystyle \varphi '=M^{-1}(M(\varphi _{0})+y)}$

Если тогда и${\displaystyle \varphi '={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \varphi =\varphi '}$${\displaystyle \лямбда =0.}$

В противном случае вычислите T и N, как указано выше, с помощью , и${\displaystyle \varphi '}$

${\displaystyle R=(1-e^{2})(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi ')^{-3/2}}$

${\displaystyle D=x/N}$

${\displaystyle \varphi =\varphi '-{\frac {N\tan \varphi '}{R}}\left({\frac {D^{2}}{2}}-(1+3T){\frac {D^{4}}{24}}\right)}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {D-T{\frac {D^{3}}{3}}+(1+3T)T{\frac {D^{5}}{15}}}{\cos \varphi '}}}$

• Сетка Кассини

• Медиа, связанные с проекцией Кассини на Wikimedia Commons
• Таблица примеров и свойств всех распространенных проекций, взята с сайта radicalcartography.net
• Геофакты Ordnance Survey о проекции Кассини
• Кассини в proj4