Основная характеристика континуума

В математической дисциплине теории множеств кардинальная характеристика континуума — это бесконечное кардинальное число , которое может последовательно лежать строго между ( мощностью множества натуральных чисел ) и мощностью континуума , то есть мощностью множества всех действительных чисел . Последняя кардинальная характеристика обозначается или . Разнообразие таких кардинальных характеристик возникает естественным образом, и была проделана большая работа по определению того, какие отношения между ними доказуемы , и построению моделей теории множеств для различных их последовательных конфигураций.${\displaystyle \алеф _{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 2^{\алеф _{0}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Диагональный аргумент Кантора показывает, что строго больше , но он не уточняет, является ли он наименьшим кардиналом, большим, чем (то есть, ). Действительно, предположение, что является известной континуум-гипотезой , которая, как было показано Куртом Гёделем , согласуется со стандартными аксиомами ZFC для теории множеств , а Полом Коэном не зависит от нее . Если континуум-гипотеза неверна и поэтому по крайней мере , возникают естественные вопросы о кардиналах строго между и , например, относительно измеримости по Лебегу. Рассматривая наименьший кардинал с некоторым свойством, можно получить определение для несчетного кардинала, который последовательно меньше . Обычно рассматриваются только определения для кардиналов, которые доказуемо больше и не более как кардинальные характеристики континуума, поэтому, если континуум-гипотеза верна, они все равны .${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \алеф _{0}}$${\displaystyle \алеф _{0}}$${\displaystyle \алеф _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \алеф _{2}}$${\displaystyle \алеф _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \алеф _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \алеф _{1}}$

Как принято в теории множеств, мы обозначаем через наименьшее бесконечное порядковое число , имеющее мощность ; его можно отождествить с множеством натуральных чисел.${\displaystyle \омега}$${\displaystyle \алеф _{0}}$

Ряд кардинальных характеристик естественным образом возникает как кардинальные инварианты для идеалов , тесно связанных со структурой действительных чисел, таких как идеал нулевых множеств Лебега и идеал тощих множеств .

Кардинальная характеристика — это наименьшая мощность неизмеримого множества ; эквивалентно, это наименьшая мощность множества, которое не является нулевым множеством Лебега .${\displaystyle {\text{non}}({\mathcal {N}})}$

Обозначим множеством функций от до . Для любых двух функций и мы обозначаем утверждением, что для всех, кроме конечного числа . Ограничивающее число — это наименьшая мощность неограниченного множества в этом отношении, то есть,${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle f:\omega \to \omega }$${\displaystyle g:\omega \to \omega }$${\displaystyle f\leq ^{*}г}$${\displaystyle n\in \omega ,f(n)\leq g(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \,\exists g\in F(g\nleq ^{*}f)\}).}$

Доминирующее число — это наименьшая мощность набора функций от до такая, что каждая такая функция доминируется (то есть ) членом этого набора, то есть${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle \leq^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \,\exists g\in F(f\leq ^{*}g)\}).}$

Очевидно, что любое такое доминирующее множество неограниченно, поэтому не более , и аргумент диагонализации показывает, что . Конечно, если это подразумевает, что , но Гехлер ^[1] показал, что также непротиворечиво иметь строго меньше, чем${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}>\aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {d}}=\алеф _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}.}$

Обозначим множеством всех бесконечных подмножеств . Для любого мы говорим, что расщепляется , если и бесконечны. Число расщепления — это наименьшая мощность подмножества такого , что для всех существует такое , что расщепляется . То есть,${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle a,b\in [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle а}$ ${\displaystyle б}$${\displaystyle b\cap a}$${\displaystyle b\setminus a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle b\in [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle a\in S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathfrak {s}}=\min(\{|S|:S\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall b\in [\omega ]^{\omega }\exists a\in S(|b\cap a|=\aleph _{0}\land |b\setminus a|=\aleph _{0})\}).}$

Число жатвы — это наименьшая мощность подмножества , при которой ни один элемент не разделяет каждый элемент . То есть,${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}=\min(\{|R|:R\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall a\in [\omega ]^{\omega }\exists b\in R(|b\cap a|<\aleph _{0}\lor |b\setminus a|<\aleph _{0})\}).}$

Число ультрафильтра определяется как наименьшая мощность базы фильтра неглавного ультрафильтра на . Кюнен ^[2] дал модель теории множеств, в которой но и используя счетную итерацию поддержки форсингов Сакса , Баумгартнер и Лейвер ^[3] построили модель, в которой и .${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{\omega _{1}},}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{2}}$

Два подмножества и из называются почти непересекающимися , если конечно, а семейство подмножеств из называется почти непересекающимся, если его члены попарно почти непересекающимися. Максимальное почти непересекающееся (« безумное ») семейство подмножеств из является, таким образом, почти непересекающимся семейством, таким что для каждого подмножества из , не в , существует множество такое, что и не являются почти непересекающимися (то есть их пересечение бесконечно). Число почти непересекаемости — это наименьшая мощность бесконечного максимального почти непересекающегося семейства. Основной результат ^[4] заключается в том, что ; Шелах ^[5] показал, что непротиворечиво иметь строгое неравенство .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle |A\cap B|}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}\leq {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}<{\mathfrak {a}}}$

Хорошо известной диаграммой кардинальных характеристик является диаграмма Чихоня , показывающая все парные отношения, доказуемые в ZFC между 10 кардинальными характеристиками.

• Томек Бартошинский и Хаим Джуда. Теория множеств о структуре действительной прямой . AK Peters, 1995.
• Vaughan, Jerry E. (1990). "Глава 11: Малые несчетные кардиналы и топология" (PDF) . В van Mill, Jan; Reed, George M. (ред.). Открытые проблемы топологии . Амстердам: North-Holland Publishing Company . стр. 196–218. ISBN 0-444-88768-7. Получено 5 декабря 2011 г. .
• Бласс, Андреас (12 января 2010 г.). «Глава 6: Комбинаторные кардинальные характеристики континуума». В Формане, Мэтью ; Канамори, Акихиро (ред.). Справочник по теории множеств (PDF) . Том. 1. Спрингер . стр.  395–490 . ISBN. 978-1-4020-4843-2. Получено 5 декабря 2011 г. .
• Бартошинский, Томек (12 января 2010 г.). "Глава 7: Инварианты меры и категории". В Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (ред.). Handbook of Set Theory . Vol. 1. Springer. pp.  491–556 . arXiv : math.LO/9910015 . ISBN 978-1-4020-4843-2.
• Jech, Thomas (2003). Теория множеств . Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7. Збл  1007.03002.
• Halbeisen, Lorenz J. (2012). Комбинаторная теория множеств: с мягким введением в принуждение . Springer Monographs in Mathematics. Springer Monographs in Mathematics. London: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4471-2173-2. ISBN 978-1-4471-2172-5.