Уравнение Камассы–Холма

В гидродинамике уравнение Камассы –Холма является интегрируемым , безразмерным и нелинейным уравнением в частных производных.

${\displaystyle u_{t}+2\каппа u_{x}-u_{xxt}+3uu_{x}=2u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}.\,}$

Уравнение было введено Роберто Камассой и Даррилом Холмом ^[1] как бигамильтонова модель для волн на мелководье , и в этом контексте параметр κ положителен, а решения для уединенных волн представляют собой гладкие солитоны .

В частном случае, когда κ равно нулю, уравнение Камассы–Холма имеет пиконные решения: солитоны с острым пиком, то есть с разрывом на пике в наклоне волны .

Уравнение Камассы–Холма можно записать в виде системы уравнений: ^[2]

${\displaystyle {\begin{align}u_{t}+uu_{x}+p_{x}&=0,\\p-p_{xx}&=2\каппа u+u^{2}+{\frac {1}{2}}\left(u_{x}\right)^{2},\end{align}}}$

где p — (безразмерное) давление или высота поверхности. Это показывает, что уравнение Камассы–Холма является моделью для волн на мелководье с негидростатическим давлением и слоем воды на горизонтальном дне.

Линейные дисперсионные характеристики уравнения Камассы–Холма следующие:

${\displaystyle \omega =2\kappa {\frac {k}{1+k^{2}}},}$

где ω — угловая частота , а k — волновое число . Неудивительно, что это имеет форму, похожую на форму уравнения Кортевега–де Фриза , при условии, что κ не равно нулю. При κ, равном нулю, уравнение Камассы–Холма не имеет частотной дисперсии — более того, линейная фазовая скорость равна нулю для этого случая. В результате κ — это фазовая скорость для длинноволнового предела k, приближающегося к нулю, и уравнение Камассы–Холма (если κ не равно нулю) является моделью для однонаправленного распространения волн, подобно уравнению Кортевега–де Фриза.

Представляем импульс m как

${\displaystyle m=u-u_{xx}+\каппа ,\,}$

тогда два совместимых гамильтоновых описания уравнения Камассы–Холма таковы: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{t}&=-{\mathcal {D}}_{1}{\frac {\delta {\mathcal {H}}_{1}}{\delta m}}&&{\text{ с }}&{\mathcal {D}}_{1}&=m{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}m&{\text{ и }}{\mathcal {H}}_{1}&={\frac {1}{2}}\int u^{2}+\left(u_{x}\right)^{2}\;{\text{d}}x,\\m_{t}&=-{\mathcal {D}}_{2}{\frac {\delta {\mathcal {H}}_{2}}{\delta m}}&&{\text{ с }}&{\mathcal {D}}_{2}&={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}}{\partial x^{3}}}&{\text{ и }}{\mathcal {H}}_{2}&={\frac {1}{2}}\int u^{3}+u\left(u_{x}\right)^{2}-\kappa u^{2}\;{\text{d}}x.\end{aligned}}}$

Уравнение Камассы–Холма является интегрируемой системой . Интегрируемость означает, что существует замена переменных ( переменных действие-угол ) таким образом, что уравнение эволюции в новых переменных эквивалентно линейному потоку с постоянной скоростью. Эта замена переменных достигается путем изучения связанной изоспектральной/рассеивающей задачи и напоминает тот факт, что интегрируемые классические гамильтоновы системы эквивалентны линейным потокам с постоянной скоростью на торах . Уравнение Камассы–Холма интегрируемо при условии, что импульс

${\displaystyle m=u-u_{xx}+\каппа \,}$

является положительным — см. ^[4] и ^[5] для подробного описания спектра , связанного с изоспектральной задачей, ^[4] для обратной спектральной задачи в случае пространственно периодических гладких решений и ^[6] для подхода к обратному рассеянию в случае гладких решений, затухающих на бесконечности.

Бегущие волны — это решения вида

${\displaystyle u(t,x)=f(x-ct)\,}$

представляющие волны постоянной формы f, которые распространяются с постоянной скоростью c . Эти волны называются уединенными волнами, если они являются локализованными возмущениями, то есть если профиль волны f затухает на бесконечности. Если уединенные волны сохраняют свою форму и скорость после взаимодействия с другими волнами того же типа, мы говорим, что уединенные волны являются солитонами. Существует тесная связь между интегрируемостью и солитонами. ^[7] В предельном случае, когда κ  = 0, солитоны становятся пикообразными (имеют форму графика функции f ( x ) = e ^{−| x |} ), и тогда они называются пиконами . Можно предоставить явные формулы для взаимодействий пиконов, визуализируя таким образом тот факт, что они являются солитонами. ^[8] Для гладких солитонов взаимодействия солитонов менее элегантны. ^[9] Это отчасти связано с тем, что, в отличие от пиконов, гладкие солитоны относительно легко описать качественно — они гладкие, экспоненциально быстро затухают на бесконечности, симметричны относительно гребня и имеют две точки перегиба ^[10] — но явные формулы недоступны. Обратите также внимание, что уединенные волны орбитально устойчивы, т. е. их форма устойчива при малых возмущениях, как для гладких солитонов ^[10], так и для пиконов. ^[11]

Уравнение Камассы–Холма моделирует разрушающиеся волны : гладкий начальный профиль с достаточным затуханием на бесконечности развивается либо в волну, которая существует всегда, либо в разрушающуюся волну (разрушение волны ^[12] характеризуется тем, что решение остается ограниченным, но его наклон становится неограниченным за конечное время). Тот факт, что уравнения допускают решения такого типа, был обнаружен Камассой и Холмом ^[1], и эти соображения впоследствии были поставлены на прочную математическую основу. ^[13] Известно, что единственный способ возникновения сингулярностей в решениях — это форма разрушающихся волн. ^{[14] [15]} Более того, зная гладкий начальный профиль, можно предсказать (с помощью необходимого и достаточного условия), произойдет разрушение волны или нет. ^[16] Что касается продолжения решений после разрушения волны, возможны два сценария: консервативный случай ^[17] и диссипативный случай ^[18] (первый характеризуется сохранением энергии, тогда как диссипативный сценарий учитывает потерю энергии из-за разрушения).

Можно показать, что для достаточно быстро распадающихся гладких начальных условий с положительным импульсом распадается на конечное число и солитонов плюс распадающуюся дисперсионную часть. Точнее, можно показать следующее для : ^[19] Сокращенно . В области солитонов решения распадаются на конечную линейную комбинацию солитонов. В области решение асимптотически задается модулированной синусоидальной функцией, амплитуда которой затухает как . В области решение асимптотически задается суммой двух модулированных синусоидальных функций, как и в предыдущем случае. В области решение быстро распадается. В случае решение распадается на бесконечную линейную комбинацию пиконов ^[20] (как ранее предполагалось ^[21] ).${\displaystyle \каппа >0}$${\displaystyle c=x/(\каппа t)}$${\displaystyle с>2}$${\displaystyle 0<c<2}$${\displaystyle т^{-1/2}}$${\displaystyle -1/4<c<0}$${\displaystyle с<-1/4}$${\displaystyle \каппа =0}$

В пространственно-периодическом случае уравнению Камассы–Холма можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Группа диффеоморфизмов единичной окружности является бесконечномерной группой Ли , алгебра Ли которой состоит из гладких векторных полей на . ^[22] Скалярное произведение на ,${\displaystyle \mathrm {Диф} (S^{1})}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {Vect} (S^{1})}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {Vect} (S^{1})}$

${\displaystyle \left\langle u{\frac {\partial }{\partial x}},v{\frac {\partial }{\partial x}}\right\rangle _{H^{1}}=\int _{S^{1}}(uv+u_{x}v_{x})dx,}$

индуцирует правоинвариантную риманову метрику на . Здесь — стандартная координата на . Пусть ${\displaystyle \mathrm {Diff} (S^{1})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S^{1}}$

${\displaystyle U(x,t)=u(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}}$

будет векторным полем , зависящим от времени, на , и пусть будет потоком , т.е. решением ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \{\varphi _{t}\}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}(x)=u(\varphi _{t}(x),t).}$

Тогда является решением уравнения Камассы–Холма с , если и только если путь является геодезическим на относительно правоинвариантной метрики. ^[23]${\displaystyle u}$${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle t\mapsto \varphi _{t}\in \mathrm {Diff} (S^{1})}$${\displaystyle \mathrm {Diff} (S^{1})}$${\displaystyle H^{1}}$

Для общего случая уравнение Камассы–Холма соответствует геодезическому уравнению аналогичной правоинвариантной метрики на универсальном центральном расширении группы Вирасоро .${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mathrm {Diff} (S^{1})}$

• Уравнение Дегаспериса–Просеси
• Уравнение Хантера–Сакстона