Уравнение Каллана–Симанзика

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Большая сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория Теория Янга-Миллса
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Симметрия калибровок Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Метод фонового поля BRST-квантование Корреляционная функция Пересечение Эффективное действие Эффективная теория поля Ожидаемое значение Диаграмма Фейнмана Теория решетчатого поля Формула снижения LSZ Функция разделения Формулировка интеграла по траектории Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Уайтмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна–Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера–ДеВитта Уравнения Баргмана–Вигнера Уравнение Швингера-Дайсона Уравнение ренормгруппы
Стандартная модель Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика механизм Хиггса
Неполные теории Теория струн Суперсимметрия Техниколор Теория всего Квантовая гравитация
Ученые Адлер Андерсон Ансельм Баргманн Бекки Белавин Белл Березин Бете Бьёркен Блюэр Боголюбов Бродский Браут Бухгольц Качасо Каллан Карди Коулмэн Конн Дашен ДеВитт Дирак Доплихер Дайсон Энглерт Фаддеев Фадин Файет Ферми Фейнман Фирц Фок Фрэмптон Фрицш Фрёлих Фреденхаген Пушистый Глэшоу Гелл-Манн Глимм Голдстоун Грибов Валовой Гупта Гуральник Хааг Хаген Хан Гейзенберг Хепп Хиггс 'т Хоофт Илиопулос Иваненко Джекив Джаффе Йона-Лазинио Иордания Йост Кэллен Кендалл Киносита Ким Клебанов Концевич Краймер Кураев Ландо Ли Ли Леманн Лойтвайлер Липатов Лопушанский Низкий Людерс Майани Майорана Малдасена Мацубара Мигдаль Миллс Мёллер Наймарк Намбу Невё Нисидзима Оэме Оппенгеймер Осборн Остервальдер Паризи Паули Печчеи Пескин Плефка Полчинский Поляков Померанчук Попов Прока Куинн Руэ Рубаков Руэль Сакурай Салам Шрейдер Шварц Швингер Сигал Зайберг Семенов Шифман Ширков Скирм Соммерфилд Стора Штюкельберг Сударшан Симанзик Такахаши Тирринг Томонага Тютин Вайнштейн Вельтман Венециано Вирасоро Сторожить Вайнберг Вайскопф Вентцель Весс Веттерих Вейль Фитиль Уайтман Вигнер Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Замолодчиков Замолодчиков Зи Циммерманн Зинн-Джастин Зубер Зумино
в т е

В физике уравнение Каллана –Симанзика представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию n -точечных корреляционных функций при изменении шкалы энергий, на которой определена теория, и включающее бета-функцию теории и аномальные размерности.

В качестве примера, для квантовой теории поля с одним безмассовым скалярным полем и одним членом самосвязи обозначим голую напряженность поля как , а голую константу связи как . В процессе перенормировки необходимо выбрать масштаб массы M. В зависимости от M напряженность поля масштабируется на константу: , и в результате голая константа связи соответственно сдвигается к перенормированной константе связи g .${\displaystyle \phi _{0}}$${\displaystyle g_{0}}$${\displaystyle \phi =Z\phi _{0}}$${\displaystyle g_{0}}$

Физическое значение имеют перенормированные n -точечные функции, вычисленные с помощью связанных диаграмм Фейнмана , схематически имеющих вид

${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};M,g)=\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\cdots \phi (x_{n})\rangle }$

Для данного выбора схемы перенормировки вычисление этой величины зависит от выбора M , который влияет на сдвиг в g и изменение масштаба . Если выбор немного изменен на , то произойдут следующие сдвиги:${\displaystyle \phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \delta M}$

${\displaystyle M\to M+\delta M}$

${\displaystyle g\to g+\delta g}$

${\displaystyle \phi =Z\phi _{0}\to Z'\phi _{0}=(1+\delta \eta )\phi }$

${\displaystyle G^{(n)}\to (1+n\,\delta \eta )G^{(n)}}$

Уравнение Каллана–Симанзика связывает эти сдвиги:

${\displaystyle n\,\delta \eta G^{(n)}={\frac {\partial G^{(n)}}{\partial M}}\delta M+{\frac {\partial G^{(n)}}{\partial g}}\delta g}$

После следующих определений

${\displaystyle \beta ={\frac {M}{\delta M}}\delta g}$

${\displaystyle \gamma =-{\frac {M}{\delta M}}\delta \eta }$

Уравнение Каллана–Симанзика можно записать в общепринятой форме:

${\displaystyle \left[M{\frac {\partial }{\partial M}}+\beta (g){\frac {\partial }{\partial g}}+n\gamma \right]G^{(n)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};M,g)=0}$

${\displaystyle \beta (g)}$являясь бета-функцией .

В квантовой электродинамике это уравнение принимает вид

${\displaystyle \left[M{\frac {\partial }{\partial M}}+\beta (e){\frac {\partial }{\partial e}}+n\gamma _{2}+m\gamma _{3}\right]G^{(n,m)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m};M,e)=0}$

где n и m — числа электронных и фотонных полей, соответственно, для которых определена корреляционная функция . Перенормированная константа связи теперь является перенормированным элементарным зарядом e . Электронное поле и фотонное поле масштабируются по-разному при перенормировке и, таким образом, приводят к двум отдельным функциям, и , соответственно.${\displaystyle G^{(n,m)}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{3}}$

Уравнение Каллана–Симанзика было открыто независимо Кертисом Калланом ^[1] и Куртом Симанзиком ^{[2] [3]} в 1970 году. Позднее оно использовалось для понимания асимптотической свободы .

Это уравнение возникает в рамках ренормгруппы . Можно рассматривать уравнение с помощью теории возмущений .

• Группа ренормализации
• Бета-функция

• Жан Зинн-Жюстен, Квантовая теория поля и критические явления , Oxford University Press, 2003, ISBN 0-19-850923-5 
• Джон Клементс Коллинз, Перенормировка , Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31177-2 
• Майкл Э. Пескин и Дэниел В. Шредер, Введение в квантовую теорию поля, Эддисон-Уэсли, Рединг, 1995. 2-е издание, PBK . Westview Press. 2015.^[1]