Матрица Кабиббо – Кобаяши – Маскавы

В Стандартной модели физики элементарных частиц матрица Кабиббо –Кобаяши–Маскавы , матрица CKM , матрица смешивания кварков или матрица KM является унитарной матрицей , которая содержит информацию о силе слабого взаимодействия , изменяющего аромат . Технически она определяет несоответствие квантовых состояний кварков , когда они распространяются свободно и когда они принимают участие в слабых взаимодействиях . Она важна для понимания нарушения CP . Эта матрица была введена для трех поколений кварков Макото Кобаяши и Тосихидэ Маскавой , добавив одно поколение к матрице, ранее введенной Николой Кабиббо . Эта матрица также является расширением механизма GIM , который включает только два из трех текущих семейств кварков.

В 1963 году Никола Кабиббо ввел угол Кабиббо ( θ _c ) для сохранения универсальности слабого взаимодействия . ^[1] Кабиббо был вдохновлен предыдущей работой Мюррея Гелл-Манна и Мориса Леви ^[2] по эффективно вращаемым нестранным и странным векторным и аксиальным слабым токам, на которые он ссылается. ^[3]

В свете современных концепций (кварки еще не были предложены), угол Кабиббо связан с относительной вероятностью того, что нижние и странные кварки распадаются на верхние кварки ( | V _ud | ²   и | V _us | ²  , соответственно). В терминологии физики элементарных частиц объект, который связывается с верхним кварком посредством слабого взаимодействия заряженного тока, является суперпозицией кварков нижнего типа, здесь обозначенных как d′ . ^[4] Математически это выглядит так:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

или используя угол Кабиббо:

${\displaystyle d'=\cos \theta _ {\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _ {\mathrm {c} }\;s~.}$

Используя принятые в настоящее время значения для | V _ud | и | V _us | (см. ниже), угол Кабиббо можно рассчитать с помощью

${\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {c} } = {\ frac {\, | V_ {\ mathrm {us} } | \, {| V _ {\ mathrm {ud} } |}} = { \frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.}$

Когда в 1974 году был открыт очарованный кварк , было замечено, что нижний и странный кварки могут переходить либо в верхний, либо в очарованный кварк, что привело к двум наборам уравнений:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

${\displaystyle s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;}$

или используя угол Кабиббо:

${\displaystyle d'=~~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~,}$

${\displaystyle s'=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~.}$

Это также можно записать в матричной записи как:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

или используя угол Кабиббо

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

где различные | V _ij | ² представляют вероятность того, что кварк аромата j распадется на кварк аромата i . Эта  матрица вращения 2×2 называется «матрицей Кабиббо» и впоследствии была расширена до матрицы CKM 3×3.

В 1973 году, заметив, что нарушение CP-симметрии не может быть объяснено в рамках четырехкварковой модели, Кобаяши и Маскава обобщили матрицу Кабиббо в матрицу Кабиббо–Кобаяши–Маскавы (или матрицу CKM), чтобы отслеживать слабые распады трех поколений кварков: ^[5]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_{\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.}$

Слева показаны партнеры дублета слабого взаимодействия кварков нижнего типа, а справа — матрица CKM вместе с вектором массовых собственных состояний кварков нижнего типа. Матрица CKM описывает вероятность перехода от одного кварка аромата j к другому кварку аромата i . Эти переходы пропорциональны | V _ij | ² .

По состоянию на 2023 год наилучшим определением индивидуальных величин элементов матрицы CKM было: ^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97373\pm 0.00031&0.2243\pm 0.0008&0.00382\pm 0.00020\\0.221\pm 0.004&0.975\pm 0.006&0.0408\pm 0.0014\\0.0086\pm 0.0002&0.0415\pm 0.0009&1.014\pm 0.029\end{bmatrix}}.}$

Используя эти значения, можно проверить унитарность матрицы CKM. В частности, мы находим, что элементы матрицы первой строки дают:${\displaystyle |V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=0.9985\pm 0.0007~;}$

Разница с теоретическим значением 1 создает напряжение в 2,2  стандартных отклонения . Неунитарность была бы признаком физики за пределами Стандартной модели.

Выбор использования кварков нижнего типа в определении является соглашением и не представляет собой физически предпочтительную асимметрию между кварками верхнего типа и нижнего типа. Другие соглашения в равной степени действительны: массовые собственные состояния u , c , и t кварков верхнего типа могут эквивалентно определять матрицу в терминах их партнеров по слабому взаимодействию u′ , c′ , и t′ . Поскольку матрица CKM является унитарной, ее обратная матрица совпадает с ее сопряженной транспонированной матрицей , которую используют альтернативные варианты; она выглядит как та же матрица, в слегка измененной форме.

Чтобы обобщить матрицу, подсчитайте количество физически важных параметров в этой матрице V , которые появляются в экспериментах. Если есть N поколений кварков (2 N ароматов ), то

• Унитарная матрица размера N  ×  N (то есть матрица V такая, что V ^† V = I , где V ^† — сопряженная транспонированная матрица V , а I — единичная матрица) требует указания N ^{2 действительных параметров.}
• 2 N  − 1 из этих параметров не имеют физического значения, поскольку одна фаза может быть поглощена в каждое кварковое поле (как массовых собственных состояний, так и слабых собственных состояний), но матрица не зависит от общей фазы. Следовательно, общее число свободных переменных, не зависящих от выбора фаз базисных векторов, равно N ²  − (2 N  − 1) = ( N  − 1) ² .
  • Из них, ⁠1/2⁠ N ( N  − 1) — углы поворота, называемые углами смешивания кварков .
  • Оставшиеся ⁠1/2⁠ ( N  − 1)( N  − 2) — сложные фазы, вызывающие нарушение CP .

Для случая N  = 2 есть только один параметр, который является углом смешивания между двумя поколениями кварков. Исторически это была первая версия матрицы CKM, когда было известно только два поколения. Она называется углом Кабиббо в честь ее изобретателя Николы Кабиббо .

Для случая Стандартной модели ( N  = 3) существует три угла смешивания и одна сложная фаза, нарушающая CP. ^[7]

Идея Кабиббо возникла из необходимости объяснить два наблюдаемых явления:

1. переходы u ↔ d , e ↔ ν _e и µ ↔ ν _µ имели близкие амплитуды.
2. переходы с изменением странности ΔS = 1 имели амплитуды, равные ⁠  1 /4⁠ тех, у кого ΔS = 0 .

Решение Кабиббо состояло в постулировании слабой универсальности (см. ниже) для разрешения первой проблемы, а также угла смешивания θ _c , теперь называемого углом Кабиббо , между d- и s -кварками для разрешения второй проблемы.

Для двух поколений кварков не может быть фаз нарушения CP, как показывает подсчет в предыдущем разделе. Поскольку нарушения CP уже наблюдались в 1964 году в распадах нейтральных каонов , Стандартная модель , которая появилась вскоре после этого, ясно указала на существование третьего поколения кварков, как указали Кобаяши и Маскава в 1973 году. Открытие нижнего кварка в Фермилабе ( группой Леона Ледермана ) в 1976 году, таким образом, немедленно положило начало поискам верхнего кварка , недостающего кварка третьего поколения.

Однако следует отметить, что конкретные значения, которые принимают углы, не являются предсказанием стандартной модели: они являются свободными параметрами . В настоящее время не существует общепринятой теории, объясняющей, почему углы должны иметь значения, измеряемые в экспериментах.

Ограничения унитарности CKM-матрицы на диагональные члены можно записать как

${\displaystyle \sum _{k}|V_{jk}|^{2}=\sum _{k}|V_{kj}|^{2}=1}$

отдельно для каждого поколения j . Это означает, что сумма всех связей любого из кварков верхнего типа со всеми кварками нижнего типа одинакова для всех поколений. Это отношение называется слабой универсальностью и было впервые указано Николой Кабиббо в 1967 году. Теоретически это является следствием того факта, что все дублеты SU(2) с одинаковой силой связываются с векторными бозонами слабых взаимодействий. Оно подвергалось постоянным экспериментальным проверкам.

Оставшиеся ограничения унитарности CKM-матрицы можно записать в виде

${\displaystyle \sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0~.}$

Для любых фиксированных и различных i и j это ограничение на три комплексных числа, по одному для каждого k , которое говорит, что эти числа образуют стороны треугольника в комплексной плоскости . Существует шесть вариантов i и j (три независимых), и, следовательно, шесть таких треугольников, каждый из которых называется унитарным треугольником . Их формы могут быть очень разными, но все они имеют одинаковую площадь, которую можно связать с фазой нарушения CP . Площадь исчезает для определенных параметров в Стандартной модели, для которых не было бы нарушения CP . Ориентация треугольников зависит от фаз кварковых полей.

Популярная величина, равная удвоенной площади треугольника унитарности, — это инвариант Ярлског (введенный Сесилией Ярлског в 1985 году),

${\displaystyle J=c_{12}c_{13}^{2}c_{23}s_{12}s_{13}s_{23}\sin \delta \approx 3\cdot 10^{-5}~.}$

Для греческих индексов, обозначающих верхние кварки, и латинских — нижние кварки, 4-тензор дважды антисимметричен,${\displaystyle \;(\alpha ,\beta ;i,j)\equiv \operatorname {Im} (V_{\alpha i}V_{\beta j}V_{\alpha j}^{*}V_{\beta i}^{*})\;}$

${\displaystyle (\beta ,\alpha ;i,j)=-(\alpha ,\beta ;i,j)=(\alpha ,\beta ;j,i)~.}$

С точностью до антисимметрии он имеет только 9 = 3 × 3 неисчезающих компонентов, которые, что примечательно, из унитарности V можно показать, что все они одинаковы по величине , то есть,

${\displaystyle (\alpha ,\beta ;i,j)=J~{\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{\alpha \beta }\otimes {\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{ij}\;,}$

так что

${\displaystyle J=(u,c;s,b)=(u,c;d,s)=(u,c;b,d)=(c,t;s,b)=(c,t;d,s)=(c,t;b,d)=(t,u;s,b)=(t,u;b,d)=(t,u;d,s)~.}$

Поскольку три стороны треугольников открыты для прямого эксперимента, как и три угла, класс тестов Стандартной модели заключается в проверке того, что треугольник замкнут. Это цель современной серии экспериментов, проводимых в японском эксперименте BELLE и американском эксперименте BaBar , а также в LHCb в ЦЕРНе, Швейцария.

Для полного определения матрицы CKM требуются четыре независимых параметра. Было предложено много параметризаций, и три из наиболее распространенных показаны ниже.

Первоначальная параметризация Кобаяши и Маскавы использовала три угла ( θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) и CP-нарушающий фазовый угол ( δ ). ^[5] θ ₁ — это угол Кабиббо. Для краткости косинусы и синусы углов θ _k обозначаются c _k и s _k , для k = 1, 2, 3 соответственно.        

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&-s_{1}c_{3}&-s_{1}s_{3}\\s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

«Стандартная» параметризация матрицы CKM использует три угла Эйлера ( θ ₁₂ , θ ₂₃ , θ ₁₃ ) и одну фазу, нарушающую CP ( δ ₁₃ ). ^[8] θ ₁₂ — это угол Кабиббо. Связи между поколениями кварков j и k исчезают, если θ _jk = 0 . Косинусы и синусы углов обозначаются c _jk и s _jk соответственно.    

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta _{13}}&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Значения стандартных параметров в 2008 году были следующими: ^[9]

θ ₁₂ =13,04° ± 0,05° , θ ₁₃ =0,201° ± 0,011° , θ ₂₃ =2,38° ± 0,06°

и

δ ₁₃ =1,20 ± 0,08  радиан =68,8° ± 4,5° .

Третья параметризация матрицы CKM была введена Линкольном Вольфенштейном с четырьмя параметрами λ , A , ρ и η , которые все «исчезли бы» (были равны нулю), если бы не было связи. ^[10] Четыре параметра Вольфенштейна обладают тем свойством, что все они имеют порядок 1 и связаны со «стандартной» параметризацией:

${\displaystyle \lambda =s_{12}~,}$	${\displaystyle \lambda =s_{12}~,}$
${\displaystyle A\lambda ^{2}=s_{23}~,}$	${\displaystyle A={\frac {s_{23}}{\;s_{12}^{2}\;}}~,}$
${\displaystyle A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )=s_{13}e^{-i\delta }~,\quad }$	${\displaystyle \rho =\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{{\frac {\;s_{13}\,e^{-i\delta }\;}{s_{12}\,s_{23}}}\right\}~,\quad \eta =-\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{{\frac {\;s_{13}\,e^{-i\delta }\;}{s_{12}\,s_{23}}}\right\}~.}$

Хотя параметризация Вольфенштейна матрицы CKM может быть сколь угодно точной при переносе в высокий порядок, она в основном используется для генерации удобных приближений к стандартной параметризации. Приближение к порядку λ ³ , хорошее для точности лучше 0,3%, равно:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.}$

Скорости нарушения CP соответствуют параметрам ρ и η .

Используя значения предыдущего раздела для матрицы CKM, по состоянию на 2008 год наилучшее определение значений параметров Вольфенштейна выглядит следующим образом: ^[11]

λ =0,2257+0,0009
−0,0010,     А =0,814+0,021
−0,022, ρ =0,135+0,031
−0,016, и   η =0.349+0,015
−0,017.

В 2008 году Кобаяши и Маскава разделили половину Нобелевской премии по физике «за открытие происхождения нарушенной симметрии, которая предсказывает существование по крайней мере трех семейств кварков в природе». ^[12] Сообщалось, что некоторые физики испытывают горькие чувства по поводу того, что комитет Нобелевской премии не наградил работу Кабиббо , чья предыдущая работа была тесно связана с работой Кобаяши и Маскавы. ^[13] На просьбу прокомментировать премию Кабиббо предпочел не давать никаких комментариев. ^[14]

• Формулировка Стандартной модели и нарушения CP
• Квантовая хромодинамика , аромат и сильная проблема CP
• Угол Вайнберга , аналогичный угол для Z и смешивания фотонов
• Матрица Понтекорво–Маки–Накагавы–Сакаты , эквивалентная матрица смешивания для нейтрино
• формула Коиде

• DJ Griffiths (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 978-3-527-40601-2.

• Б. Повх и др. (1995). Частицы и ядра: Введение в физические концепции . Springer . ISBN 978-3-540-20168-7.

• II Bigi, AI Sanda (2000). Нарушение CP . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-44349-4.

• «Группа данных по частицам: Матрица смешивания кварков CKM» (PDF) .
• «Группа данных по частицам: нарушение CP-симметрии в распадах мезонов» (PDF) .
• «Эксперимент Бабара».в SLAC , Калифорния, и «эксперимент BELLE».в KEK , Япония.