Частота Бранта–Вяйсяля
Мера устойчивости жидкости к вертикальному смещению

В атмосферной динамике , океанографии , астросейсмологии и геофизике частота Брента -Вяйсяля , или частота плавучести , является мерой устойчивости жидкости к вертикальным смещениям, таким как вызванные конвекцией . Точнее, это частота, с которой вертикально смещенный участок будет колебаться в статически устойчивой среде. Она названа в честь Дэвида Бранта и Вилхо Вяйсяля . Она может быть использована в качестве меры атмосферной стратификации.

Вывод для общей жидкости

Рассмотрим пакет воды или газа, имеющий плотность . Этот пакет находится в среде других частиц воды или газа, где плотность среды является функцией высоты: . Если пакет смещен на небольшое вертикальное приращение и он сохраняет свою первоначальную плотность, так что его объем не изменяется, он будет подвергаться воздействию дополнительной гравитационной силы против своего окружения: ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}} ρ = ρ ( з ) {\displaystyle \rho =\rho (z)} з ′ {\displaystyle z'}

ρ 0 ∂ 2 з ′ ∂ т 2 = − г [ ρ ( з ) − ρ ( з + з ′ ) ] {\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}=-g\left[\rho (z)-\rho (z+z')\right]}

где - ускорение свободного падения, и определяется как положительное. Мы делаем линейное приближение к и переходим к правой части: г {\displaystyle г} ρ ( з + з ′ ) − ρ ( з ) = ∂ ρ ( з ) ∂ з з ′ {\displaystyle \rho (z+z')-\rho (z)={\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'} ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}

∂ 2 з ′ ∂ т 2 = г ρ 0 ∂ ρ ( з ) ∂ з з ′ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}={\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'}

Приведенное выше дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующее решение:

з ′ = з 0 ′ е я Н т {\displaystyle z'=z'_{0}e^{iNt}\!}

где частота Бранта-Вяйсяля равна: [1] Н {\displaystyle N}

Н = − г ρ 0 ∂ ρ ( з ) ∂ з {\displaystyle N={\sqrt {-{\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}}}}

При отрицательном смещение имеет осциллирующие решения (и N дает нашу угловую частоту). Если оно положительно, то имеет место неконтролируемый рост – т.е. жидкость статически неустойчива. ∂ ρ ( з ) ∂ з {\displaystyle {\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}} з ′ {\displaystyle z'}

В метеорологии и астрофизике

Для газового пакета плотность останется фиксированной, как предполагалось в предыдущем выводе, только если давление, , постоянно с высотой, что неверно в атмосфере, ограниченной гравитацией. Вместо этого пакет будет расширяться адиабатически по мере снижения давления. Поэтому более общая формулировка, используемая в метеорологии, такова: П {\displaystyle P}

Н ≡ г θ г θ г з {\displaystyle N\equiv {\sqrt {{\frac {g}{\theta }}{\frac {d\theta }{dz}}}}} , где - потенциальная температура , - локальное ускорение силы тяжести , - геометрическая высота . [2] θ {\displaystyle \тета} г {\displaystyle г} з {\displaystyle z}

Поскольку , где — постоянное опорное давление, то для идеального газа это выражение эквивалентно: θ = Т ( П 0 / П ) Р / с П {\displaystyle \theta =T(P_{0}/P)^{R/c_{P}}} П 0 {\displaystyle P_{0}}

Н 2 ≡ г { 1 Т г Т г з − Р с П 1 П г П г з } = г { 1 Т г Т г з − γ − 1 γ 1 П г П г з } {\displaystyle N^{2}\equiv g\left\{{\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dz}}-{\frac {R}{c_{P}}}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}\right\}=g\left\{{\frac {1}{T}}{\frac {dT}{dz}}-{\frac {\gamma -1}{\gamma }}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}\right\}} ,

где в последней форме , показатель адиабаты . Используя закон идеального газа , мы можем исключить температуру , чтобы выразить через давление и плотность: γ = с П / с В {\displaystyle \гамма =c_{P}/c_{V}} Н 2 {\displaystyle N^{2}}

Н 2 ≡ г { 1 γ 1 П г П г з − 1 ρ г ρ г з } = г { 1 γ г вн ⁡ П г з − г вн ⁡ ρ г з } {\displaystyle N^{2}\equiv g\left\{{\frac {1}{\gamma }}{\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dz}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dz}}\right\}=g\left\{{\frac {1}{\gamma }}{\frac {d\ln P}{dz}}-{\frac {d\ln \rho }{dz}}\right\}} .

Эта версия на самом деле более общая, чем первая, поскольку она применяется, когда химический состав газа меняется с высотой, а также для несовершенных газов с переменным показателем адиабаты, в этом случае , т.е. производная берется при постоянной энтропии , . [3] γ ≡ γ 01 = ( ∂ ln ⁡ P / ∂ ln ⁡ ρ ) S {\displaystyle \gamma \equiv \gamma _{01}=(\partial \ln P/\partial \ln \rho )_{S}} S {\displaystyle S}

Если газовый пакет выталкивается вверх и , воздушный пакет будет двигаться вверх и вниз вокруг высоты, где плотность пакета соответствует плотности окружающего воздуха. Если воздушный пакет выталкивается вверх и , воздушный пакет не будет двигаться дальше. Если воздушный пакет выталкивается вверх и , (т. е. частота Бранта–Вяйсяля мнимая), то воздушный пакет будет подниматься и подниматься, пока не станет положительным или снова нулевым выше в атмосфере. На практике это приводит к конвекции, и, следовательно, критерий Шварцшильда для устойчивости против конвекции (или критерий Леду, если есть композиционная стратификация) эквивалентен утверждению, что должно быть положительным. N 2 > 0 {\displaystyle N^{2}>0} N 2 = 0 {\displaystyle N^{2}=0} N 2 < 0 {\displaystyle N^{2}<0} N 2 {\displaystyle N^{2}} N 2 {\displaystyle N^{2}}

Частота Бранта–Вяйсяля обычно появляется в термодинамических уравнениях атмосферы и в структуре звезд.

Траектория порции жидкости, перемещенной на 1 м в нестабильно стратифицированной жидкости с частотой Брента-Вяйсяля N² = -1 /с²
Колебания порции жидкости, первоначально перемещенной на 1 м в устойчиво стратифицированной жидкости с частотой Брента-Вяйсяля N=1/с.


В океанографии

В океане , где соленость важна, или в пресноводных озерах вблизи замерзания, где плотность не является линейной функцией температуры: где , потенциальная плотность , зависит как от температуры, так и от солености. Пример колебания Бранта–Вяйсяля в жидкости с стратификацией плотности можно наблюдать в фильме «Волшебная пробка» здесь . N ≡ − g ρ d ρ d z {\displaystyle N\equiv {\sqrt {-{g \over {\rho }}{d\rho \over {dz}}}}} ρ {\displaystyle \rho }

Контекст

Концепция вытекает из Второго закона Ньютона при применении к пакету жидкости в присутствии фоновой стратификации (при которой плотность изменяется по вертикали, т.е. можно сказать, что плотность имеет несколько вертикальных слоев). Пакет, возмущенный вертикально от своего начального положения, испытывает вертикальное ускорение. Если ускорение направлено обратно к исходному положению, стратификация считается устойчивой, и пакет колеблется вертикально. В этом случае N 2 > 0 , а угловая частота колебаний задается N . Если ускорение удалено от начального положения ( N 2 < 0 ), стратификация неустойчива. В этом случае обычно происходит опрокидывание или конвекция.

Частота Бранта-Вяйсяля относится к внутренним гравитационным волнам : это частота, при которой волны распространяются горизонтально; она дает полезное описание атмосферной и океанической стабильности.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Валлис, Джеффри К. (2017). Динамика атмосферных и океанических жидкостей: основы и крупномасштабная циркуляция (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . Bibcode : 2017aofd.book.....V. doi : 10.1017/9781107588417. ISBN 9781107588417. OCLC  990033511. S2CID  115699889.
  2. ^ Эммануэль, KA (1994). Атмосферная конвекция . Oxford University Press. doi :10.1002/joc.3370150709. ISBN 0195066308.
  3. ^ Кристенсен-Далсгаард, Йорген (2014), Конспект лекций по звездным колебаниям (PDF) (5-е изд.)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Brunt–Väisälä_frequency&oldid=1231699123"