Лемма Брамбла–Гильберта

В математике , в частности численном анализе , лемма Брамбла–Гильберта , названная в честь Джеймса Х. Брамбла и Стивена Гильберта , ограничивает погрешность приближения функции полиномом порядка не выше через производные порядка . Как погрешность приближения, так и производные измеряются нормами на ограниченной области в . Это похоже на классический численный анализ, где, например, погрешность линейной интерполяции может быть ограничена с помощью второй производной . Однако лемма Брамбла–Гильберта применима в любом количестве измерений, а не только в одном измерении, а погрешность приближения и производные измеряются более общими нормами, включающими средние значения, а не только максимальную норму .${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle м-1}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle м}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle L^{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle u}$

Для выполнения леммы Брамбла–Гильберта необходимы дополнительные предположения относительно области. По сути, граница области должна быть «разумной». Например, исключаются области, имеющие пик или щель с нулевым углом на кончике. Липшицевы области достаточно разумны, что включает выпуклые области и области с непрерывно дифференцируемой границей.

Основное применение леммы Брамбла–Гильберта заключается в доказательстве границ погрешности интерполяции функции оператором, сохраняющим полиномы порядка вплоть до , в терминах производных порядка . Это существенный шаг в оценке погрешности для метода конечных элементов . Лемма Брамбла–Гильберта применяется там к области, состоящей из одного элемента (или, в некоторых результатах суперсходимости , небольшого числа элементов).${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle м-1}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle м}$

Прежде чем сформулировать лемму в полной общности, полезно рассмотреть некоторые простые частные случаи. В одном измерении и для функции , которая имеет производные на интервале , лемма сводится к${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle м}$${\displaystyle \textstyle \left(a,b\right)}$

${\displaystyle \inf _{v\in P_{m-1}}{\bigl \Vert }u^{\left(k\right)}-v^{\left(k\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}\leq C\left(m,k\right)\left(b-a\right)^{m-k}{\bigl \Vert }u^{\left(m\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}{\text{ for each integer }}k\leq m{\text{ and extended real }}p\geq 1,}$

где - пространство всех многочленов степени не выше , а - производная -й степени функции .${\displaystyle \textstyle P_{m-1}}$${\displaystyle \textstyle m-1}$${\displaystyle f^{(k)}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$

В случае, когда , , , и дважды дифференцируемо, это означает, что существует многочлен первой степени такой, что для всех ,${\displaystyle \textstyle p=\infty }$${\displaystyle \textstyle m=2}$${\displaystyle \textstyle k=0}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle v}$${\displaystyle \textstyle x\in \left(a,b\right)}$

${\displaystyle \left\vert u\left(x\right)-v\left(x\right)\right\vert \leq C\left(b-a\right)^{2}\sup _{\left(a,b\right)}\left\vert u^{\prime \prime }\right\vert .}$

Это неравенство также следует из известной оценки погрешности линейной интерполяции при выборе в качестве линейного интерполянта .${\displaystyle \textstyle v}$${\displaystyle \textstyle u}$

^{[ сомнительный – обсудить ]}

Предположим, что — ограниченная область в , , с границей и диаметром . — пространство Соболева всех функций на со слабыми производными порядка до в . Здесь — мультииндекс , а обозначает производную по , раз по и т. д. Полунорма Соболева на состоит из норм производных высшего порядка,${\displaystyle \textstyle \Omega }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle n\geq 1}$${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle W_{p}^{k}(\Omega )}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }u}$${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert }$${\displaystyle \textstyle k}$${\displaystyle \textstyle L^{p}(\Omega )}$${\displaystyle \textstyle \alpha =\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \textstyle x_{1}}$${\displaystyle \textstyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \textstyle x_{2}}$${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$${\displaystyle \textstyle L^{p}}$

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}=\left(\sum _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}{\text{ if }}1\leq p<\infty }$

и

${\displaystyle \left\vert u\right\vert _{W_{\infty }^{m}(\Omega )}=\max _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$

${\displaystyle \textstyle P_{k}}$— пространство всех многочленов порядка до на . Обратите внимание, что для всех и , поэтому имеет то же значение для любого .${\displaystyle \textstyle k}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle D^{\alpha }v=0}$${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$${\displaystyle \textstyle \left\vert \alpha \right\vert =m}$${\displaystyle \textstyle \left\vert u+v\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}}$${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$

Лемма (Брамбл и Гильберт) При дополнительных предположениях относительно области определения , указанных ниже, существует константа, не зависящая от и такая, что для любого существует многочлен такой, что для всех${\displaystyle \textstyle \Omega }$${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,\Omega \right)}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle u\in W_{p}^{m}(\Omega )}$${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$${\displaystyle \textstyle k=0,\ldots ,m,}$

${\displaystyle \left\vert u-v\right\vert _{W_{p}^{k}(\Omega )}\leq Cd^{m-k}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.}$

Лемма была доказана Брамблом и Гильбертом ^[1] в предположении, что удовлетворяет сильному свойству конуса; то есть существует конечное открытое покрытие и соответствующих конусов с вершинами в начале координат, такое, что содержится в для любого .${\displaystyle \textstyle \Omega }$${\displaystyle \textstyle \left\{O_{i}\right\}}$${\displaystyle \textstyle \partial \Omega }$${\displaystyle \textstyle \{C_{i}\}}$${\displaystyle \textstyle x+C_{i}}$${\displaystyle \textstyle \Omega }$${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \in \Omega \cap O_{i}}$

Утверждение леммы здесь является простой переписыванием правого неравенства, сформулированного в теореме 1 в ^[1] . Фактическое утверждение в ^[1] состоит в том, что норма факторпространства эквивалентна полунорме . Норма не является обычной, но члены масштабируются с таким образом, что правое неравенство в эквивалентности полунорм получается точно так же, как в утверждении здесь.${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )/P_{m-1}}$${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$${\displaystyle \textstyle d}$

В исходном результате выбор полинома не указан, а значение константы и ее зависимость от области определения не могут быть определены из доказательства.${\displaystyle \textstyle \Omega }$

Альтернативный результат был получен Дюпоном и Скоттом ^[2] при предположении, что область имеет форму звезды ; то есть существует шар такой, что для любого замкнутая выпуклая оболочка является подмножеством . Предположим, что является супремумом диаметров таких шаров. Отношение называется фрагментарностью .${\displaystyle \textstyle \Omega }$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle x\in \Omega }$${\displaystyle \textstyle \left\{x\right\}\cup B}$${\displaystyle \textstyle \Omega }$${\displaystyle \textstyle \rho _{\max }}$${\displaystyle \textstyle \gamma =d/\rho _{\max }}$${\displaystyle \textstyle \Omega }$

Тогда лемма верна с константой , то есть константа зависит от домена только через его фрагментарность и размерность пространства . Кроме того, можно выбрать как , где — усредненный полином Тейлора , определяемый как${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,n,\gamma \right)}$${\displaystyle \textstyle \Omega }$${\displaystyle \textstyle \gamma }$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v=Q^{m}u}$${\displaystyle \textstyle Q^{m}u}$

${\displaystyle Q^{m}u=\int _{B}T_{y}^{m}u\left(x\right)\psi \left(y\right)\,dx,}$

где

${\displaystyle T_{y}^{m}u\left(x\right)=\sum \limits _{k=0}^{m-1}\sum \limits _{\left\vert \alpha \right\vert =k}{\frac {1}{\alpha !}}D^{\alpha }u\left(y\right)\left(x-y\right)^{\alpha }}$

— многочлен Тейлора степени не выше центрированной в точке , вычисленной в точке , и — функция, имеющая производные всех порядков, равная нулю вне точки , и такая, что${\displaystyle \textstyle m-1}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle y}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \psi \geq 0}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \int _{B}\psi \,dx=1.}$

Такая функция всегда существует.${\displaystyle \textstyle \psi }$

Более подробную информацию и учебную трактовку см. в монографии Бреннера и Скотта. ^[3] Результат можно распространить на случай, когда область является объединением конечного числа звездообразных областей, что немного более общее, чем сильное свойство конуса, и другие полиномиальные пространства, чем пространство всех полиномов до заданной степени. ^[2]${\displaystyle \textstyle \Omega }$

Этот результат следует непосредственно из приведенной выше леммы, и иногда его также называют леммой Брамбла–Гильберта, например, по Ciarlet . ^[4] По сути, это теорема 2 из. ^[1]

Лемма Предположим, что — непрерывный линейный функционал на и его двойственная норма . Предположим, что для всех . Тогда существует константа такая, что${\displaystyle \textstyle \ell }$${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}$${\displaystyle \textstyle \left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}}$${\displaystyle \textstyle \ell \left(v\right)=0}$${\displaystyle \textstyle v\in P_{m-1}}$${\displaystyle \textstyle C=C\left(\Omega \right)}$

${\displaystyle \left\vert \ell \left(u\right)\right\vert \leq C\left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.}$

• Райчо Д. Лазаров (2001) [1994], «Лемма Брамбла–Гильберта», Энциклопедия математики , EMS Press
• https://arxiv.org/abs/0710.5148 – Ян Мандель : Лемма Брамбла–Гильберта