Блочная матрица

В математике блочная матрица или секционированная матрица — это матрица , которая интерпретируется как разбитая на разделы, называемые блоками или подматрицами . ^{[1] [2]}

Интуитивно матрицу, интерпретируемую как блочную матрицу, можно визуализировать как исходную матрицу с набором горизонтальных и вертикальных линий, которые разбивают ее или разделяют на набор меньших матриц. ^{[3] [2]} Например, матрица 3x4, представленная ниже, разделена горизонтальными и вертикальными линиями на четыре блока: верхний левый блок 2x3, верхний правый блок 2x1, нижний левый блок 1x3 и нижний правый блок 1x1.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]}$

Любую матрицу можно интерпретировать как блочную матрицу одним или несколькими способами, причем каждая интерпретация определяется тем, как разделены ее строки и столбцы.

Это понятие можно сделать более точным для матрицы by , разделив ее на коллекцию , а затем разделив ее на коллекцию . Исходная матрица затем рассматривается как «сумма» этих групп, в том смысле, что запись исходной матрицы соответствует один к одному некоторому смещенному элементу некоторого , где и . ^[4]${\displaystyle n}$${\displaystyle м}$${\displaystyle М}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{rowgroups}}}$${\displaystyle м}$${\displaystyle {\text{colgroups}}}$${\displaystyle (я,j)}$${\displaystyle (с,т)}$ ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}}$${\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}$

Алгебра блочных матриц возникает в общем случае из бипроизведений в категориях матриц. ^[5]

Матрица

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}$

можно визуализировать как разделенный на четыре блока, как

${\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right]}$.

Горизонтальные и вертикальные линии не имеют особого математического значения, ^{[6] [7],} но являются обычным способом визуализации разбиения. ^{[6] [7]} С помощью этого разбиения, разбивается на четыре блока 2×2, как${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}$

Тогда разделенную матрицу можно записать как

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$^[8]

Пусть . Разбиение — это представление в виде${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$,

где — смежные подматрицы, и . ^[9] Элементы разбиения называются блоками . ^[9]${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}m_{i}=m}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{q}n_{j}=n}$${\displaystyle A_{ij}}$

По этому определению блоки в любом столбце должны иметь одинаковое количество столбцов. ^[9] Аналогично, блоки в любой строке должны иметь одинаковое количество строк. ^[9]

Матрицу можно разбить на разделы многими способами. ^[9] Например, говорят, что матрица разбита на разделы по столбцам, если она записана как${\displaystyle А}$

${\displaystyle A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n})}$,

где - й столбец . ^[9] Матрицу также можно разбить по строкам :${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle А}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}}}$,

где - th строка . ^[9]${\displaystyle a_{i}^{T}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle А}$

Часто ^[9] мы сталкиваемся с разбиением 2x2

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$, ^[9]

в частности, в форме, где — скаляр:${\displaystyle A_{11}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Позволять

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$

где . (Эта матрица будет повторно использована в § Сложение и § Умножение.) Тогда ее транспонирование равно${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}}$${\displaystyle А}$

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}}}$, ^{[9] [10]}

и то же самое уравнение справедливо при замене транспонирования сопряженным транспонированием. ^[9]

Специальная форма транспонирования матрицы может быть также определена для блочных матриц, где отдельные блоки переупорядочиваются, но не транспонируются. Пусть будет блочной матрицей с блоками , блочное транспонирование является блочной матрицей с блоками . ^[11] Как и в случае с обычным оператором трассировки, блочное транспонирование является линейным отображением таким, что . ^[10] Однако в общем случае свойство не выполняется, если блоки и не коммутируют.${\displaystyle A=(B_{ij})}$${\displaystyle k\times l}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle B_{ij}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle l\times k}$${\displaystyle A^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}}$${\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle С}$

Позволять

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}}}$,

где , и пусть будет матрицей, определенной в § Транспонирование. (Эта матрица будет повторно использована в § Умножение.) Тогда если , , , и , то${\displaystyle B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p=r}$${\displaystyle q=s}$${\displaystyle k_{i}=m_{i}}$${\displaystyle \ell _{j}=n_{j}}$

${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Можно использовать блочно-разделенное матричное произведение, которое включает только алгебру на подматрицах факторов. Однако разбиение факторов не является произвольным и требует « согласованных разбиений» ^[12] между двумя матрицами и таких, что все подматричные произведения, которые будут использоваться, определены. ^[13]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Говорят, что две матрицы и разделены конформно относительно произведения , когда и разделены на подматрицы и если умножение выполняется с обработкой подматриц так, как если бы они были скалярами, но с сохранением порядка, и когда определены все произведения и суммы задействованных подматриц.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$

—  Арак М. Матай и Ханс Дж. Хаубольд, Линейная алгебра: курс для физиков и инженеров ^[14]

Пусть будет матрицей, определенной в § Транспонирование, и пусть будет матрицей, определенной в § Сложение. Тогда произведение матриц${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle C=AB}$

может быть выполнено поблочно, что даст в результате матрицу. Матрицы в результирующей матрице вычисляются путем умножения:${\displaystyle C}$${\displaystyle (p\times s)}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.}$^[6]

Или, используя обозначение Эйнштейна , которое неявно суммирует по повторяющимся индексам:

${\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}$

Изображая в виде матрицы, имеем${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

Если матрица разделена на четыре блока, ее можно инвертировать поблочно следующим образом:

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&-{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\\-\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

где A и D — квадратные блоки произвольного размера, а B и C — соответствующие им для разбиения. Кроме того, A и дополнение Шура для A в P : P / A = D − CA ⁻¹ B должны быть обратимы. ^[15]

Эквивалентно, переставляя блоки:

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&-\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\\-{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&\quad {D}^{-1}+{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[16]

Здесь D и дополнение Шура к D в P : P / D = A − BD ⁻¹ C должны быть обратимы.

Если A и D оба обратимы, то:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{B}{D}^{-1}{C}\right)^{-1}&{0}\\{0}&\left({D}-{C}{A}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{I}&-{B}{D}^{-1}\\-{C}{A}^{-1}&{I}\end{bmatrix}}.}$

По тождеству Вайнштейна–Ароншайна одна из двух матриц в блочно-диагональной матрице обратима точно тогда, когда обратима другая.

Формула для определителя -матрицы выше продолжает выполняться, при соответствующих дальнейших предположениях, для матрицы, состоящей из четырех подматриц . Самая простая такая формула, которая может быть доказана с использованием либо формулы Лейбница, либо факторизации с использованием дополнения Шура , это${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle A,B,C,D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.}$^[16]

Используя эту формулу, мы можем вывести, что характеристические многочлены и одинаковы и равны произведению характеристических многочленов и . Более того, если или диагонализируемо , то и диагонализируемы тоже. Обратное неверно; просто проверьте .${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

Если обратимо , то имеем${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),}$^[16]

и если обратимо, то имеем${\displaystyle D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$^{[17] [16]}

Если блоки являются квадратными матрицами одинакового размера, то дальнейшие формулы остаются в силе. Например, если и коммутируют (т.е. ), то ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle CD=DC}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).}$^[18]

Эта формула была обобщена на матрицы, состоящие из более чем блоков, снова при соблюдении соответствующих условий коммутативности между отдельными блоками. ^[19]${\displaystyle 2\times 2}$

Для и справедлива следующая формула (даже если и не коммутируют)${\displaystyle A=D}$${\displaystyle B=C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).}$^[16]

Для любых произвольных матриц A (размера m  ×  n ) и B (размера p  ×  q ) мы имеем прямую сумму A и B , обозначаемую как A  B и определяемую как ${\displaystyle \oplus }$ 

${\displaystyle {A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}$^[10]

Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Эта операция естественным образом обобщается на массивы произвольной размерности (при условии, что A и B имеют одинаковое число измерений).

Обратите внимание, что любой элемент прямой суммы двух векторных пространств матриц может быть представлен как прямая сумма двух матриц.

Блочно -диагональная матрица — это блочная матрица, которая является квадратной матрицей , такой, что блоки главной диагонали являются квадратными матрицами, а все недиагональные блоки являются нулевыми матрицами. ^[16] То есть, блочно-диагональная матрица A имеет вид

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}}$

где A _k — квадратная матрица для всех k = 1, ..., n . Другими словами, матрица A является прямой суммой A 1 _, ..., A _n . ^[16] Она также может быть обозначена как A ₁  ⊕  A ₂  ⊕ ... ⊕  A _n ^[10] или diag( A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) ^[10]  (последний является тем же формализмом, который используется для диагональной матрицы ). Любая квадратная матрица может тривиально рассматриваться как блочно-диагональная матрица с единственным блоком.

Для определителя и следа справедливы следующие свойства:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}}$^{[20] [21]} и

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}}$^{[16] [21]}

Блочно-диагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда каждый из ее главных диагональных блоков обратим, и в этом случае ее обратная матрица — это другая блочно-диагональная матрица, заданная формулой

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[22]

Собственные значения [ ^23] и собственные векторы являются просто собственными значениями s, объединенными вместе. ^[21]${\displaystyle {A}}$${\displaystyle {A}_{k}}$

Блочно -трехдиагональная матрица — это еще одна специальная блочная матрица, которая, как и блочно-диагональная матрица, является квадратной матрицей , имеющей квадратные матрицы (блоки) на нижней диагонали, главной диагонали и верхней диагонали, а все остальные блоки являются нулевыми матрицами. По сути, это трехдиагональная матрица , но имеющая подматрицы на местах скаляров. Блочно-трехдиагональная матрица имеет вид${\displaystyle A}$

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{B}_{1}&{C}_{1}&&&\cdots &&{0}\\{A}_{2}&{B}_{2}&{C}_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&{A}_{k}&{B}_{k}&{C}_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&{A}_{n-1}&{B}_{n-1}&{C}_{n-1}\\{0}&&\cdots &&&{A}_{n}&{B}_{n}\end{bmatrix}}}$

где , и — квадратные подматрицы нижней, главной и верхней диагонали соответственно. ^{[24] [25]}${\displaystyle {A}_{k}}$${\displaystyle {B}_{k}}$${\displaystyle {C}_{k}}$

Блочно-трехдиагональные матрицы часто встречаются в численных решениях инженерных задач (например, вычислительной гидродинамики ). Доступны оптимизированные численные методы для факторизации LU ^[26] и, следовательно, эффективные алгоритмы решения для систем уравнений с блочно-трехдиагональной матрицей в качестве матрицы коэффициентов. Алгоритм Томаса , используемый для эффективного решения систем уравнений, включающих трехдиагональную матрицу, также может быть применен с использованием матричных операций для блочно-трехдиагональных матриц (см. также Блочное разложение LU ).

Матрица является верхней блочно-треугольной (или блочно-верхней треугольной ^[27] ), если${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

где для всех . ^{[23] [27]}${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Матрица является нижнеблочно-треугольной, если${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

где для всех . ^[23]${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Блочная матрица Тёплица — это ещё одна специальная блочная матрица, которая содержит блоки, повторяющиеся по диагоналям матрицы, так как матрица Тёплица имеет элементы, повторяющиеся по диагонали.

Матрица является блочно-тёплицевой, если для всех , то есть${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$${\displaystyle k-i=l-j}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$,

где . ^[23]${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

Матрица является блочно-ганкелевой, если для всех , то есть${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$${\displaystyle i+j=k+l}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$,

где . ^[23]${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

• Произведение Кронекера (прямое произведение матриц, приводящее к блочной матрице)
• Жорданова нормальная форма (каноническая форма линейного оператора в конечномерном комплексном векторном пространстве)
• Алгоритм Штрассена (алгоритм умножения матриц, который быстрее обычного алгоритма умножения матриц)

• Стрэнг, Гилберт (1999). «Лекция 3: Умножение и обратные матрицы». MIT Open Course ware. 18:30–21:10.