Блок LU-декомпозиции

В этой статье не указаны источники . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок на источники могут быть оспорены и удалены . Найти источники:  «Разложение блока LU» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В линейной алгебре блочное LU-разложение представляет собой матричное разложение блочной матрицы на нижнюю блочно-треугольную матрицу L и верхнюю блочно-треугольную матрицу U. Это разложение используется в численном анализе для уменьшения сложности формулы блочной матрицы.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I&0\\CA^{-1}&I\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&0\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\\0&I\end{pmatrix}}}$

Рассмотрим блочную матрицу :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\CA^{-1}\end{pmatrix}}\,A\,{\begin{pmatrix}I&A^{-1}B\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}},}$

где матрица предполагается невырожденной, является единичной матрицей с надлежащей размерностью и является матрицей, все элементы которой равны нулю.${\displaystyle {\begin{matrix}A\end{matrix}}}$${\displaystyle {\begin{matrix}I\end{matrix}}}$${\displaystyle {\begin{matrix}0\end{matrix}}}$

Мы также можем переписать приведенное выше уравнение, используя половинные матрицы:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}\\CA^{-{\frac {*}{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}},}$

где дополнение Шура в блочной матрице определяется как${\displaystyle {\begin{matrix}A\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Q=D-CA^{-1}B\end{matrix}}}$

и полуматрицы могут быть вычислены с помощью разложения Холецкого или разложения ЛПНП . Полуматрицы удовлетворяют тому, что

${\displaystyle {\begin{matrix}A^{\frac {1}{2}}\,A^{\frac {*}{2}}=A;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A^{\frac {1}{2}}\,A^{-{\frac {1}{2}}}=I;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}A^{-{\frac {*}{2}}}\,A^{\frac {*}{2}}=I;\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}Q^{\frac {1}{2}}\,Q^{\frac {*}{2}}=Q.\end{matrix}}}$

Таким образом, мы имеем

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=LU,}$

где

${\displaystyle LU={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}&0\\CA^{-{\frac {*}{2}}}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}}.}$

Матрицу можно разложить алгебраическим способом на${\displaystyle {\begin{matrix}LU\end{matrix}}}$

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A^{\frac {1}{2}}&0\\CA^{-{\frac {*}{2}}}&Q^{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\mathrm {~~и~~} U={\begin{pmatrix}A^{\frac {*}{2}}&A^{-{\frac {1}{2}}}B\\0&Q^{\frac {*}{2}}\end{pmatrix}}.}$

• Матричное разложение