Модель Блэк–Дерман–Той
Калибровка деревьев с короткими интервалами по BDT:

Шаг 0. Установите нейтральную к риску вероятность движения вверх, p, на уровне 50%.
Шаг 1. Для каждого входного спотового курса , итеративно :

  • отрегулировать скорость в самом верхнем узле на текущем временном шаге i;
  • найти все другие скорости на временном шаге, где они связаны с узлом, расположенным непосредственно выше (r u ; r d — рассматриваемый узел) посредством (этот интервал между узлами соответствует p = 50%; Δt — длина временного шага); вн ⁡ ( г ты / г г ) / 2 = σ я Δ т {\displaystyle \ln(r_{u}/r_{d})/2=\sigma _{i}{\sqrt {\Delta t}}}
  • дисконтировать рекурсивно по дереву, используя ставку в каждом узле, т.е. посредством «обратной индукции», от рассматриваемого временного шага до первого узла в дереве (т.е. i=0);
  • повторять до тех пор, пока дисконтированная стоимость в первом узле дерева не станет равна нулевой цене, соответствующей заданной процентной ставке спот для i-го временного шага.

Шаг 2. После решения задачи сохраните эти известные краткосрочные ставки и перейдите к следующему временному шагу (т. е. спотовой ставке на входе), «выращивая» дерево до тех пор, пока оно не включит в себя полную кривую доходности на входе.

В математических финансах модель Блэка -Дермана-Тоя ( BDT ) является популярной моделью краткосрочной ставки , используемой при ценообразовании опционов на облигации , свопционов и других производных процентных ставок ; см. Модель решетки (финансы) § Производные процентных ставок . Это однофакторная модель; то есть один стохастический фактор — краткосрочная ставка — определяет будущую эволюцию всех процентных ставок. Это была первая модель, объединившая возврат к среднему значению краткосрочной ставки с логнормальным распределением [1] и до сих пор широко используемая. [2] [3]

История

Модель была представлена ​​Фишером Блэком , Эмануэлем Дерманом и Биллом Тоем. Впервые она была разработана для внутреннего использования Goldman Sachs в 1980-х годах и опубликована в Financial Analysts Journal в 1990 году. Личный отчет о разработке модели представлен в мемуарах Эмануэля Дермана «Моя жизнь как квант» . [4]

Формулы

В рамках BDT, используя биномиальную решетку , калибруются параметры модели для соответствия как текущей временной структуре процентных ставок ( кривая доходности ), так и структуре волатильности для пределов процентных ставок (обычно как подразумевается ценами Black-76 для каждого компонента caplet); см. в стороне. Используя калиброванную решетку, можно затем оценить множество более сложных ценных бумаг, чувствительных к процентным ставкам, и производных по процентным ставкам .

Хотя изначально модель была разработана для решетчатой ​​среды, было показано, что она подразумевает следующее непрерывное стохастическое дифференциальное уравнение : [1] [5]

г вн ⁡ ( г ) = [ θ т + σ т ′ σ т вн ⁡ ( г ) ] г т + σ т г Вт т {\displaystyle d\ln(r)=\left[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)\right]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}
где,
г {\displaystyle r\,} = мгновенная краткосрочная ставка в момент времени t
θ т {\displaystyle \theta _{t}\,} = стоимость базового актива на момент истечения срока опциона
σ т {\displaystyle \сигма _{т}\,} = мгновенная краткосрочная волатильность ставки
Вт т {\displaystyle W_{t}\,} = стандартное броуновское движение при нейтральной по отношению к риску мере вероятности; его дифференциал . г Вт т {\displaystyle dW_{t}\,}

Для постоянной (не зависящей от времени) краткосрочной волатильности ставки модель имеет вид: σ {\displaystyle \сигма \,}

г вн ⁡ ( г ) = θ т г т + σ г Вт т {\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}

Одна из причин, по которой модель остается популярной, заключается в том, что «стандартные» алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона ( метод секущей ) или бисекция , очень легко применяются для калибровки. [6] Соответственно, модель изначально была описана на алгоритмическом языке, а не с использованием стохастического исчисления или мартингалов . [7]

Ссылки

Примечания

  1. ^ ab "Влияние различных моделей процентных ставок на показатели стоимости облигаций, G, Buetow et al" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2011-10-07 . Получено 2011-07-21 .
  2. ^ Анализ фиксированного дохода , стр. 410, в Google Books
  3. ^ "Society of Actuaries Professional Actuarial Specialty Guide Asset-Liability Management" (PDF) . soa.org . Получено 19 марта 2024 г. .
  4. ^ "Моя жизнь как квант: размышления о физике и финансах". Архивировано из оригинала 2010-03-28 . Получено 2010-04-26 .
  5. ^ "Black-Derman-Toy (BDT)". Архивировано из оригинала 2016-05-24 . Получено 2010-06-14 .
  6. ^ Фелим Бойл , Кен Сенг Тан и Вейдонг Тянь (2001). Калибровка модели Блэка–Дермана–Тоя: некоторые теоретические результаты, Applied Mathematical Finance 8, 27–48 (2001)
  7. ^ "Интервью один на один с Эмануэлем Дерманом (Новости финансового инжиниринга)" . Получено 09.06.2021 .

Статьи

  • Беннинга, С.; Винер, З. (1998). "Модели биномиальной терминологической структуры" (PDF) . Mathematica в образовании и исследованиях : т.7 № 3.
  • Black, F.; Derman, E.; Toy, W. (январь–февраль 1990 г.). «Однофакторная модель процентных ставок и ее применение к опционам на казначейские облигации» (PDF) . Financial Analysts Journal : 24–32. Архивировано из оригинала (PDF) 2008-09-10.
  • Boyle, P. ; Tan, K.; Tian, ​​W. (2001). "Калибровка модели Блэка–Дермана–Тоя: некоторые теоретические результаты" (PDF) . Applied Mathematical Finance : 8, 27–48. Архивировано из оригинала (PDF) 2012-04-22.
  • Халл, Дж. (2008). "Модель Блэка, Дермана и Тоя" (PDF) . Техническое примечание № 23, Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты. Архивировано из оригинала (PDF) 29-01-2011 . Получено 08-04-2011 .
  • Клозе, К.; Ли CY (2003). «Реализация модели Блэка, Дермана и Тоя» (PDF) . Семинар по финансовому инжинирингу, Венский университет.
  • Функция R для вычисления дерева коротких ставок Блэка–Дермана–Тоя, Андреа Руберто
  • Калькулятор Excel BDT и генератор деревьев, Серкан Гур
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Black–Derman–Toy_model&oldid=1246017839"