Теорема Бернштейна–Кушниренко

Теорема Бернштейна–Кушниренко (или теорема Бернштейна–Хованского–Кушниренко (БКК) ^[1] ), доказанная Дэвидом Бернштейном ^[2] и Анатолием Кушниренко  [ru] ^[3] в 1975 году, является теоремой в алгебре . Она утверждает, что число ненулевых комплексных решений системы уравнений полиномов Лорана равно смешанному объему многогранников Ньютона полиномов , предполагая, что все ненулевые коэффициенты являются общими. Более точное утверждение выглядит следующим образом:${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=0}$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$

Пусть будет конечным подмножеством Рассмотрим подпространство алгебры многочленов Лорана, состоящее из многочленов Лорана, показатели степеней которых находятся в . То есть:${\displaystyle А}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}.}$${\displaystyle L_{A}}$${\displaystyle \mathbb {C} \left[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}\right]}$${\displaystyle А}$

${\displaystyle L_{A}=\left\{f\,\left|\,f(x)=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }x^{\alpha },c_{\alpha }\in \mathbb {C} \right\},\right.}$

где для каждого мы использовали сокращенную запись для обозначения одночлена${\displaystyle \alpha =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle x^{\альфа}}$${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}.}$

Теперь возьмем конечные подмножества с соответствующими подпространствами полиномов Лорана. Рассмотрим общую систему уравнений из этих подпространств, то есть:${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle L_{A_{1}},\ldots ,L_{A_{n}}.}$

${\displaystyle f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0,}$

где каждый является общим элементом в (конечномерном векторном пространстве)${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle L_{A_{i}}.}$

Теорема Бернштейна–Кушниренко утверждает, что число решений такой системы равно${\displaystyle x\in (\mathbb {C} \setminus 0)^{n}}$

${\displaystyle n!V(\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}),}$

где обозначает смешанный объем Минковского , а для каждого — выпуклая оболочка конечного множества точек . Очевидно, — выпуклый решетчатый многогранник ; его можно интерпретировать как многогранник Ньютона общего элемента подпространства .${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i,\Delta _{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \Дельта _{i}}$${\displaystyle L_{A_{i}}}$

В частности, если все наборы одинаковы, то число решений общей системы полиномов Лорана из равно${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A=A_{1}=\cdots =A_{n},}$${\displaystyle L_{A}}$

${\displaystyle n!\operatorname {vol} (\Delta ),}$

где — выпуклая оболочка , а vol — обычный -мерный евклидов объем. Обратите внимание, что хотя объем решетчатого многогранника не обязательно является целым числом, он становится целым числом после умножения на .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$

Имя Кушниренко также пишется как Kouchnirenko. Давид Бернштейн — брат Иосифа Бернштейна . Аскольд Хованский нашел около 15 различных доказательств этой теоремы. ^[4]

• Теорема Безу для еще одной верхней границы числа общих нулей n многочленов от n неизвестных.