ядро Бергмана

В математическом исследовании нескольких комплексных переменных ядро ​​Бергмана , названное в честь Стефана Бергмана , является воспроизводящим ядром для гильбертова пространства ( RKHS ) всех квадратично интегрируемых голоморфных функций на области D в  C n .

Более подробно, пусть L 2 ( D ) — гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на D , и пусть L 2, h ( D ) обозначает подпространство, состоящее из голоморфных функций в L 2 ( D ): то есть,

Л 2 , час ( Д ) = Л 2 ( Д ) ЧАС ( Д ) {\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}

где H ( D ) — пространство голоморфных функций в D . Тогда L 2, h ( D ) — гильбертово пространство: оно является замкнутым линейным подпространством L 2 ( D ), и, следовательно, полным само по себе. Это следует из фундаментальной оценки, что для голоморфной квадратично интегрируемой функции ƒ в D

Как дела з К | ф ( з ) | С К ф Л 2 ( Д ) {\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}} ( 1 )

для любого компактного подмножества K из D. Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L 2 ( D ) влечет также компактную сходимость , и поэтому предельная функция также голоморфна.

Другим следствием ( 1 ) является то, что для каждого z  ∈  D оценка

ев з : ф ф ( з ) {\displaystyle \operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)}

является непрерывным линейным функционалом на L 2, h ( D ). По теореме о представлении Рисса этот функционал может быть представлен как скалярное произведение с элементом L 2, h ( D ), то есть

ев з ф = Д ф ( ζ ) η з ( ζ ) ¯ г μ ( ζ ) . {\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta) {\overline {\eta _{z}(\zeta)}}\,d\mu (\zeta) .}

Ядро Бергмана K определяется как

К ( з , ζ ) = η з ( ζ ) ¯ . {\displaystyle K(z,\zeta)={\overline {\eta _{z}(\zeta)}}.}

Ядро K ( z ,ζ) голоморфно по z и антиголоморфно по ζ и удовлетворяет условию

ф ( з ) = Д К ( з , ζ ) ф ( ζ ) г μ ( ζ ) . {\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta)f(\zeta)\,d\mu (\zeta).}

Одним из ключевых наблюдений относительно этой картины является то, что L 2, h ( D ) можно отождествить с пространством голоморфных (n,0)-форм на D посредством умножения на . Поскольку скалярное произведение на этом пространстве явно инвариантно относительно биголоморфизмов D, ядро ​​Бергмана и связанная с ним метрика Бергмана, следовательно, автоматически инвариантны относительно группы автоморфизмов области. Л 2 {\displaystyle L^{2}} г з 1 г з н {\displaystyle dz^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}} Л 2 {\displaystyle L^{2}}

Ядро Бергмана для единичного круга D — это функция К ( з , ζ ) = 1 π 1 ( 1 з ζ ¯ ) 2 . {\displaystyle K(z,\zeta)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-z{\bar {\zeta }})^{2}}}.}

Смотрите также

Ссылки

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bergman_kernel&oldid=1242618073"