Распределение Беренса–Фишера

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Распределение Беренса–Фишера» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2022 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В статистике распределение Беренса–Фишера , названное в честь Рональда Фишера и Уолтера Беренса , представляет собой параметризованное семейство распределений вероятностей, возникающих из решения проблемы Беренса–Фишера, впервые предложенной Беренсом, а несколько лет спустя Фишером. Проблема Беренса–Фишера заключается в статистическом выводе относительно разницы между средними значениями двух нормально распределенных совокупностей , когда отношение их дисперсий неизвестно (и, в частности, неизвестно, равны ли их дисперсии). ^[1]

Распределение Беренса–Фишера — это распределение случайной величины вида

${\displaystyle T_{2}\cos \theta -T_{1}\sin \theta \,}$

где T ₁ и T ₂ — независимые случайные величины , каждая из которых имеет распределение Стьюдента с соответствующими степенями свободы ν ₁  =  n ₁  − 1 и ν ₂  =  n ₂  − 1, а θ — константа. Таким образом, семейство распределений Беренса–Фишера параметризуется ν ₁ ,  ν ₂ и  θ .

Предположим, что известно, что дисперсии двух популяций равны, и из двух популяций взяты выборки размером n ₁ и n _{2 :}

${\displaystyle {\begin{align}X_{1,1},\ldots ,X_{1,n_{1}}&\sim \operatorname {iid} N(\mu _{1},\sigma ^{2}),\\[6pt]X_{2,1},\ldots ,X_{2,n_{2}}&\sim \operatorname {iid} N(\mu _{2},\sigma ^{2}).\end{align}}}$

где "iid" — независимые и одинаково распределенные случайные величины , а N обозначает нормальное распределение . Два выборочных средних значения :

${\displaystyle {\begin{align}{\bar {X}}_{1}&=(X_{1,1}+\cdots +X_{1,n_{1}})/n_{1}\\[6pt]{\bar {X}}_{2}&=(X_{2,1}+\cdots +X_{2,n_{2}})/n_{2}\end{align}}}$

Обычная « объединенная » несмещенная оценка общей дисперсии σ ² тогда равна

${\displaystyle S_{\mathrm {pooled} }^{2}={\frac {\sum _{k=1}^{n_{1}}(X_{1,k}-{\bar {X}}_{1})^{2}+\sum _{k=1}^{n_{2}}(X_{2,k}-{\bar {X}}_{2})^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}={\frac {(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}$

где S ₁ ² и S ₂ ² — обычные несмещенные ( скорректированные по Бесселю ) оценки двух дисперсий популяции.

При этих предположениях ключевая величина

${\displaystyle {\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})-({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{\mathrm {pooled} }^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{\mathrm {pooled} }^{2}}{n_{2}}}}}}}}$

имеет t-распределение с n ₁  +  n ₂  − 2 степенями свободы . Соответственно, можно найти доверительный интервал для μ ₂  −  μ _1, конечные точки которого

${\displaystyle {\bar {X}}_{2}-{\bar {X_{1}}}\pm A\cdot S_{\mathrm {pooled} }{\sqrt {{\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}}},}$

где A — соответствующий квантиль t-распределения.

Однако в задаче Беренса–Фишера не известно, равны ли две дисперсии совокупности, и неизвестно их отношение. Фишер считал ^{[ требуется ссылка ]} основной величиной

${\displaystyle {\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})-({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}.}$

Это можно записать как

${\displaystyle T_{2}\cos \theta -T_{1}\sin \theta ,\,}$

где

${\displaystyle T_{i}={\frac {\mu _{i}-{\bar {X}}_{i}}{S_{i}/{\sqrt {n_{i}}}}}{\text{ for }}i=1,2\,}$

являются обычными одновыборочными t-статистиками и

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {S_{1}/{\sqrt {n_{1}}}}{S_{2}/{\sqrt {n_{2}}}}}}$

и θ принимается в первом квадранте. Алгебраические детали следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})-({\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1})}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}&={\frac {\mu _{2}-{\bar {X}}_{2}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}-{\frac {\mu _{1}-{\bar {X}}_{1}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}\\[10pt]&=\underbrace {\frac {\mu _{2}-{\bar {X}}_{2}}{S_{2}/{\sqrt {n_{2}}}}} _{{\text{This is }}T_{2}}\cdot \underbrace {\left({\frac {S_{2}/{\sqrt {n_{2}}}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}\right)} _{{\text{This is }}\cos \theta }-\underbrace {\frac {\mu _{1}-{\bar {X}}_{1}}{S_{1}/{\sqrt {n_{1}}}}} _{{\text{This is }}T_{1}}\cdot \underbrace {\left({\frac {S_{1}/{\sqrt {n_{1}}}}{\displaystyle {\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}\right)} _{{\text{This is }}\sin \theta }.\qquad \qquad \qquad (1)\end{aligned}}}$

Тот факт, что сумма квадратов выражений в скобках выше равна 1, означает, что они представляют собой квадрат косинуса и квадрат синуса некоторого угла.

Распределение Берена–Фишера на самом деле является условным распределением величины (1) выше, учитывая значения величин, обозначенных как cos  θ и sin  θ . По сути, условия Фишера основаны на вспомогательной информации .

Затем Фишер нашел « доверительный интервал», конечные точки которого

${\displaystyle {\bar {X}}_{2}-{\bar {X}}_{1}\pm A{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}$

где A — соответствующая процентная точка распределения Беренса–Фишера. Фишер утверждал ^{[ требуется ссылка ]} , что вероятность того, что μ ₂  −  μ ₁ находится в этом интервале, учитывая данные (в конечном счете X s), является вероятностью того, что случайная величина, распределенная по Беренсу–Фишеру, находится между − A и  A .

Бартлетт ^{[ требуется цитата ]} показал, что этот «доверительный интервал» не является доверительным интервалом, поскольку он не имеет постоянной скорости покрытия. Фишер не считал это убедительным возражением против использования доверительного интервала. ^{[ требуется цитата ]}

• Кендалл, Морис Г., Стюарт, Алан (1973) Продвинутая теория статистики, том 2: Вывод и взаимосвязь, 3-е издание , Гриффин. ISBN  0-85264-215-6 (глава 21)