Байесовская модель вычислительной анатомии

Основной автор этой статьи, по-видимому, тесно связан с ее темой. Возможно, потребуется очистка для соответствия политике Википедии в отношении контента, в частности нейтральной точки зрения . Пожалуйста, обсудите подробнее на странице обсуждения . ( Декабрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Вычислительная анатомия (CA) — это дисциплина в медицинской визуализации, фокусирующаяся на изучении анатомической формы и очертаний в видимом или грубом анатомическом масштабе морфологии . Область широко определена и включает в себя основы анатомии , прикладной математики и чистой математики , включая медицинскую визуализацию , нейронауку , физику , вероятность и статистику . Она фокусируется на визуализируемых анатомических структурах, а не на медицинских устройствах визуализации. Центральным направлением подобласти вычислительной анатомии в медицинской визуализации является отображение информации в анатомических системах координат, чаще всего плотной информации, измеренной в магнитно-резонансном изображении (МРТ). Введение потоков в CA, которые сродни уравнениям движения, используемым в гидродинамике, использует представление о том, что плотные координаты в анализе изображений следуют уравнениям движения Лагранжа и Эйлера . В моделях, основанных на лагранжевых и эйлеровых потоках диффеоморфизмов, ограничение связано с топологическими свойствами, такими как сохранение открытых множеств, отсутствие пересечения координат, подразумевающее уникальность и существование обратного отображения, и сохранение связности множеств. Использование диффеоморфных методов быстро росло, чтобы доминировать в области методов отображения после оригинальной статьи Кристенсена ^[1] , с появлением быстрых и симметричных методов. ^{[2] [3]}

Центральной статистической моделью вычислительной анатомии в контексте медицинской визуализации была модель источника-канала теории Шеннона ; источник - это деформируемый шаблон изображений , выходы каналов - это датчики изображений с наблюдаемыми (см. рисунок). Важность модели источника-канала заключается в том, что вариации анатомической конфигурации моделируются отдельно от вариаций датчиков медицинских изображений. Теория Байеса гласит, что модель характеризуется априорной вероятностью на источнике, на и условной плотностью на наблюдаемой${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle p(\cdot \mid I){\text{ on }}I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

обусловлено .${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

В теории деформируемых шаблонов изображения связаны с шаблонами, при этом деформации образуют группу, которая действует на шаблон; см. групповое действие в вычислительной анатомии. Для действия изображения априорное распределение на группе индуцирует априорное распределение на изображениях , записанное в виде плотностей, логарифм-апостериор принимает вид${\displaystyle I(g)\doteq g\cdot I_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {G}}(\cdot )}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$

${\displaystyle \log p(I(g)\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid I(g))+\log \pi _{\mathcal {G}}(g).}$

Представленная ниже модель случайной орбиты определяет, как генерировать элементы группы и, следовательно, случайное распыление объектов, которые формируют априорное распределение.

Модель случайной орбиты вычислительной анатомии впервые появилась в ^{[4] [5] [6],} моделируя изменение координат, связанное со случайностью группы, действующей на шаблоны, которая вызывает случайность в источнике изображений в анатомической орбите форм и образов и результирующих наблюдениях через медицинские устройства визуализации. Такая модель случайной орбиты , в которой случайность в группе вызывает случайность в изображениях, была исследована для специальной евклидовой группы для распознавания объектов, в которой элементом группы была специальная евклидова группа в. ^[7]${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$

Для изучения деформируемой формы в КА группы многомерных диффеоморфизмов, используемые в вычислительной анатомии, генерируются с помощью гладких потоков , которые удовлетворяют лагранжевой и эйлеровой спецификации полей потоков, удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению:${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}=\operatorname {id} \ ;}$

Лагранжев поток

с векторными полями на называемыми эйлеровой скоростью частиц в положении потока. Векторные поля являются функциями в функциональном пространстве, смоделированном как гладкое гильбертово пространство с векторными полями, имеющими 1-непрерывную производную . Для обратная функция потока задается как${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}=-(D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{0}^{-1}=\operatorname {id} ,}$

Eulerianflow

и матрица Якоби для потоков задана как${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Для обеспечения гладких потоков диффеоморфизмов с обратными, векторные поля должны быть по крайней мере 1-временно непрерывно дифференцируемыми в пространстве ^{[8] [9]} , которые моделируются как элементы гильбертова пространства с использованием теорем вложения Соболева , так что каждый элемент имеет 3-квадратно-интегрируемые производные. Таким образом, вкладывают гладко в 1-временно непрерывно дифференцируемые функции. ^{[8] [9]} Группа диффеоморфизмов — это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в норме Соболева:${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}\doteq \left\{\varphi =\varphi _{1}:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}=\operatorname {id} ,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \right\},}$

Группа диффеоморфизмов

где с линейным оператором, определяющим норму RKHS. Интеграл вычисляется интегрированием по частям, когда — обобщенная функция в сопряженном пространстве .${\displaystyle \|v_{t}\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$${\displaystyle Av}$${\displaystyle V^{*}}$

В модели случайных орбит вычислительной анатомии весь поток сводится к начальному условию, которое формирует координаты, кодирующие диффеоморфизм. Из начального условия геодезическое позиционирование относительно римановой метрики вычислительной анатомии решает поток уравнения Эйлера-Лагранжа. Решение геодезической из начального условия называется риманово-экспоненциальным, отображением в тождестве к группе.${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

Риманова экспонента удовлетворяет начальному условию , динамике векторного поля ,${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})=\varphi _{1}}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• для классического уравнения диффеоморфной формы импульса , , тогда${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• для обобщенного уравнения, то ,${\displaystyle Av\in V^{*}}$${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

Он распространяется на всю группу. На прилагаемом рисунке изображено изображение случайных орбит вокруг каждого образца, сгенерированных путем рандомизации потока путем генерации начального векторного поля касательного пространства в точке , а затем генерации случайного объекта .${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\circ \varphi .}$${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle v_{0}\in V}$${\displaystyle n\doteq \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$

Показанная на рисунке справа мультипликационная орбита представляет собой случайный распыл подкорковых многообразий, сгенерированных путем рандомизации векторных полей, поддерживаемых подмногообразиями. Модель случайной орбиты индуцирует априорную информацию о формах и изображениях, обусловленных определенным атласом . Для этого генеративная модель генерирует среднее поле как случайное изменение координат шаблона в соответствии с , где диффеоморфное изменение координат генерируется случайным образом через геодезические потоки.${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$

Модель случайной орбиты индуцирует априорную информацию о формах и изображениях, обусловленных определенным атласом . Для этого генеративная модель генерирует среднее поле как случайное изменение координат шаблона согласно , где диффеоморфное изменение координат генерируется случайным образом через геодезические потоки. Априорная информация о случайных преобразованиях на индуцируется потоком , с построенным как гауссовское случайное поле априорной информации . Плотность случайных наблюдаемых на выходе датчика задается как${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$${\displaystyle \pi _{\mathrm {Diff} }(d\varphi )}$${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$

${\displaystyle p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

Оценка максимальной апостериорной оценки (MAP) является центральной в современной статистической теории . Параметры интереса принимают множество форм, включая (i) тип заболевания, например, нейродегенеративные или нейроразвивающие заболевания, (ii) тип структуры, например, корковые или подкорковые структуры в задачах, связанных с сегментацией изображений, и (iii) реконструкция шаблона из популяций. Учитывая наблюдаемое изображение , оценка MAP максимизирует апостериорную:${\displaystyle \theta \in \Theta }$${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).}$

Это требует вычисления условных вероятностей . Модель орбиты множественного атласа рандомизирует счетный набор атласов . Модель изображений на орбите принимает форму многомодального распределения смеси${\displaystyle p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}}$${\displaystyle \{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}}$

${\displaystyle p(I^{D},\theta )=\sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .}$

Условная гауссова модель была тщательно исследована на предмет неточного соответствия в плотных изображениях и соответствия ориентирам.

Модель как условно гауссовское случайное поле, обусловленное, среднее поле, . Для равномерной дисперсии члены конечной точки ошибки играют роль логарифмически-условных (только функция среднего поля), давая член конечной точки:${\displaystyle I^{D}(x),x\in X}$${\displaystyle \varphi _{1}\cdot I\doteq I(\varphi _{1}^{-1}),\varphi _{1}\in Diff_{V}}$

Модель как условно гауссовская со средним полем , постоянной дисперсией шума, независимой от ориентиров. Логарифмически-условный (только функция среднего поля) можно рассматривать как термин конечной точки:${\displaystyle Y=\{y_{1},y_{2},\dots \}}$${\displaystyle \varphi _{1}(x_{i}),i=1,2,\dots ,\varphi _{1}\in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle -\log p(I^{D}\mid I(g))\simeq \operatorname {E} (\varphi _{1})\doteq {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i}\|y_{i}-\varphi _{1}(x_{i})\|^{2}.}$

Модель случайной орбиты для нескольких атласов моделирует орбиту форм как объединение нескольких анатомических орбит, полученных из группового действия диффеоморфизмов, при этом каждый атлас имеет шаблон и предопределенное поле сегментации . включение парцелляции в анатомические структуры координаты МРТ. Пары индексируются по решетке вокселей с изображением МРТ и плотной маркировкой каждой координаты вокселя. Анатомическая маркировка парцеллированных структур выполняется вручную нейроанатомами.${\displaystyle {\mathcal {I}}=\textstyle \bigcup _{a\in {\mathcal {A}}}\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}\cdot I_{a}}$${\displaystyle (I_{a},W_{a}),a=a_{1},a_{2},\ldots }$${\displaystyle I_{a}(x_{i}),W_{a}(x_{i}),x_{i}\in X\subset {\mathbb {R} }^{3}}$

Задача сегментации Байеса ^[10] задана измерением со средним полем и парцелляцией , анатомическая маркировка . должна быть оценена для измеренного изображения МРТ. Среднее поле наблюдаемого изображения моделируется как случайная деформация одного из шаблонов , который также выбирается случайным образом, ,. Оптимальный диффеоморфизм скрыт и действует на фоновое пространство координат случайно выбранного изображения шаблона . При наличии одного атласа модель правдоподобия для вывода определяется совместной вероятностью ; при наличии нескольких атласов слияние функций правдоподобия дает многомодальную смешанную модель с предварительным усреднением по моделям.${\displaystyle I^{D}}$${\displaystyle (I,W)}$${\displaystyle \theta \doteq W}$${\displaystyle I^{D}}$${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$${\displaystyle A=a}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle I_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p(I^{D},W\mid A=a)}$

Оценкой MAP сегментации является заданный максимизатор , который включает смесь по всем атласам.${\displaystyle W_{a}}$${\displaystyle \max _{W}\log p(W\mid I^{D})}$${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {W}}\doteq \arg \textstyle \max _{W}\displaystyle \log p(I^{D},W){\text{ with }}p(I^{D},W)=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}\displaystyle p(I^{D},W\mid A=a)\pi _{A}(a).}$

Величина вычисляется путем слияния вероятностей из нескольких деформируемых атласов, при этом априорная вероятность того, что наблюдаемое изображение эволюционирует из конкретного шаблонного изображения , равна .${\displaystyle p(I^{D},W)}$${\displaystyle \pi _{A}(a)}$${\displaystyle I_{a}}$

Сегментацию MAP можно итеративно решить с помощью алгоритма максимизации ожидания.

${\displaystyle W^{\text{new}}\doteq \arg \max _{W}\int \log p(W,I^{D},A,\varphi )\,dp(A,\varphi \mid W^{\text{old}},I^{D}).}$

Генерация шаблонов эмпирическим путем из популяций является фундаментальной операцией, повсеместно распространенной в этой дисциплине. Несколько методов, основанных на байесовской статистике, появились для подмногообразий и плотных объемов изображений. Для случая плотного объема изображений, учитывая наблюдаемую, проблема состоит в оценке шаблона в орбите плотных изображений . Процедура Ма берет начальный гипершаблон в качестве отправной точки и моделирует шаблон в орбите при неизвестном для оценки диффеоморфизме , с параметрами для оценки логарифмическими координатами , определяющими геодезическое отображение гипершаблона .${\displaystyle I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots }$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I\doteq \varphi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle \theta \doteq v_{0}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}}$

В байесовской модели случайных орбит вычислительной анатомии наблюдаемые изображения МРТ моделируются как условно гауссовское случайное поле со средним полем , со случайным неизвестным преобразованием шаблона. Задача оценки MAP заключается в оценке неизвестного шаблона с учетом наблюдаемых изображений МРТ.${\displaystyle I^{D_{i}}}$${\displaystyle \varphi _{i}\cdot I}$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

Процедура Ма для плотных изображений берет начальный гипершаблон в качестве отправной точки и моделирует шаблон на орбите под неизвестным для оценки диффеоморфизмом . Наблюдаемые моделируются как условные случайные поля, условно -гауссовское случайное поле со средним полем . Неизвестная переменная, которая должна быть явно оценена MAP, — это отображение гипершаблона , а другие отображения рассматриваются как помехи или скрытые переменные, которые интегрируются с помощью процедуры Байеса. Это достигается с помощью алгоритма ожидание-максимизация .${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I\doteq \varphi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle I^{D_{i}}}$${\displaystyle \varphi _{i}\cdot I\doteq \varphi _{i}\cdot \varphi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle \varphi _{0}}$

Модель орбиты используется путем связывания неизвестных потоков, которые должны быть оценены, с их логарифмическими координатами через риманов геодезический логарифм и экспоненциальный для вычислительной анатомии начальное векторное поле в касательном пространстве в тождестве так, что , с отображением гипершаблона. Задача оценки MAP становится${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \varphi _{i}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})}$

${\displaystyle \max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv}$

Алгоритм EM принимает в качестве полных данных координаты векторного поля, параметризующие отображение, и итеративно вычисляет условное ожидание${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$

${\displaystyle {\begin{cases}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-\operatorname {E} (\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\mid I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{cases}}}$

• Вычислить новый шаблон, максимизирующий Q-функцию, установив

${\displaystyle \theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta ;\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})=-\left\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\right\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}}$

• Вычислить приближение моды для ожидания, обновив ожидаемые значения для значений моды:

${\displaystyle v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots }$

${\displaystyle \beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}}$