функция Бэра

В математике функции Бэра — это функции, полученные из непрерывных функций путём трансфинитной итерации операции построения поточечных пределов последовательностей функций. Они были введены Рене-Луи Бэром в 1899 году. Множество Бэра — это множество, характеристическая функция которого является функцией Бэра.

Классификация функций Бэра

Функции Бэра класса α для любого счетного порядкового числа α образуют векторное пространство вещественнозначных функций , определенных на топологическом пространстве , следующим образом. [1]

  • Функции Бэра класса 0 являются непрерывными функциями .
  • Функции Бэра класса 1 — это функции, которые являются поточечным пределом последовательности функций Бэра класса 0.
  • В общем случае функциями класса Бэра α являются все функции, являющиеся поточечным пределом последовательности функций класса Бэра, меньшего α.

Некоторые авторы определяют классы немного иначе, удаляя все функции класса меньше α из функций класса α. Это означает, что каждая функция Бэра имеет хорошо определенный класс, но функции данного класса больше не образуют векторное пространство.

Анри Лебег доказал, что (для функций на единичном интервале ) каждый класс Бэра счетного порядкового числа содержит функции, не принадлежащие ни одному меньшему классу, и что существуют функции, не принадлежащие ни одному классу Бэра.

класс Бэра 1

Примеры:

  • Производная любой дифференцируемой функции принадлежит классу 1. Примером дифференцируемой функции, производная которой не является непрерывной (при x =  0), является функция, равная , когда x  ≠ 0, и 0, когда x  = 0. Бесконечная сумма подобных функций (масштабированных и смещенных на рациональные числа ) может даже дать дифференцируемую функцию, производная которой разрывна на плотном множестве. Однако она обязательно имеет точки непрерывности, что легко следует из теоремы Бэра о характеризации (ниже; возьмем K  =  X  =  R ). х 2 грех ⁡ ( 1 / х ) {\displaystyle x^{2}\sin(1/x)}
  • Характеристическая функция множества целых чисел , равная 1, если x — целое число, и 0 в противном случае. (Бесконечное число больших разрывов.)
  • Функция Томе , которая равна 0 для иррационального x и 1/ q для рационального числа p / q (в редуцированной форме). (Плотное множество разрывов, а именно множество рациональных чисел.)
  • Характеристическая функция множества Кантора , которая равна 1, если x принадлежит множеству Кантора, и 0 в противном случае. Эта функция равна 0 для несчетного множества значений x и 1 для несчетного множества. Она разрывна везде, где равна 1, и непрерывна везде, где равна 0. Она аппроксимируется непрерывными функциями , где — расстояние x от ближайшей точки множества Кантора. г н ( х ) = макс ( 0 , 1 − н г ( х , С ) ) {\displaystyle g_{n}(x)=\max(0,{1-й(x,C)})} г ( х , С ) {\displaystyle d(x,C)}

Теорема Бэра о характеризации утверждает, что вещественная функция f, определенная на банаховом пространстве X, является функцией Бэра-1 тогда и только тогда, когда для каждого непустого замкнутого подмножества K из X ограничение f на K имеет точку непрерывности относительно топологии K.

По другой теореме Бэра, для каждой функции Бэра-1 точки непрерывности представляют собой некоторое множество G δ (Кехрис 1995, теорема (24.14)).

класс Бэра 2

Примером функции Бэра класса 2 на интервале [0,1], которая не принадлежит классу 1, является характеристическая функция рациональных чисел, также известная как функция Дирихле , которая всюду разрывна . χ В {\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }}

Доказательство

Приведем два доказательства.

  1. Это можно увидеть, заметив, что для любого конечного набора рациональных чисел характеристическая функция для этого набора — это Бэр 1: а именно, функция сходится тождественно к характеристической функции , где — конечный набор рациональных чисел. Поскольку рациональные числа счетны, мы можем рассмотреть поточечный предел этих вещей по , где — перечисление рациональных чисел. Это не Бэр-1 по теореме, упомянутой выше: множество разрывов — это весь интервал (конечно, множество точек непрерывности не является комеагером). г н ( х ) = макс ( 0 , 1 − н г ( х , К ) ) {\displaystyle g_{n}(x)=\max(0,{1-й(x,K)})} К {\displaystyle К} К {\displaystyle К} К н = { г 1 , г 2 , … , г н } {\displaystyle K_{n}=\{r_{1},r_{2},\точки ,r_{n}\}} г н {\displaystyle r_{n}}
  2. Функция Дирихле может быть построена как двойной поточечный предел последовательности непрерывных функций следующим образом:
∀ х ∈ Р , χ В ( х ) = лим к → ∞ ( лим дж → ∞ ( потому что ⁡ ( к ! π х ) ) 2 дж ) {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \chi _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)}
для целых чисел j и k .

Смотрите также

Ссылки

В соответствии

  1. ^ Джех, Томас (ноябрь 1981 г.). «О дивный новый мир определенности». Бюллетень Американского математического общества . 5 (3): 339–349 .

Общий

  • Бэр, Рене-Луи (1899). Sur les fonctions devariables réelles (доктор философии) (на французском языке). Высшая нормальная школа.
  • Бэр, Рене-Луи (1905), «Leçons sur les fonctions» прекращает свое существование, преподаватели колледжа Франции (на французском языке), Готье-Виллар
  • Кехрис, Александр С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Graduate Texts in Mathematics, т. 156, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-8692-9
  • Статья в математической энциклопедии Springer о классах Бэра
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Baire_function&oldid=1238059877"