Поверхность Безье

Эта статья включает список ссылок , связанных с ней материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Март 2013 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Поверхности Безье — это разновидность математических сплайнов, используемых в компьютерной графике , автоматизированном проектировании и моделировании конечных элементов . Как и кривые Безье , поверхность Безье определяется набором контрольных точек. Подобно интерполяции во многих отношениях, ключевым отличием является то, что поверхность, как правило, не проходит через центральные контрольные точки; скорее, она «растягивается» к ним, как если бы каждая была силой притяжения. Они визуально интуитивно понятны и, для многих приложений, математически удобны.

Поверхности Безье были впервые описаны в 1962 году французским инженером Пьером Безье , который использовал их для проектирования автомобильных кузовов. Поверхности Безье могут быть любой степени, но бикубические поверхности Безье обычно обеспечивают достаточно степеней свободы для большинства приложений.

Заданная поверхность Безье степени ( n ,  m ) определяется набором ( n  + 1)( m  + 1) контрольных точек k _{i , j ,} где i = 0, ..., n и j = 0, ..., m . Она отображает единичный квадрат в гладкую непрерывную поверхность, вложенную в пространство, содержащее k _{i , j}  s – например, если k _{i , j}  s являются точками в четырехмерном пространстве, то поверхность будет находиться в четырехмерном пространстве.

Двумерную поверхность Безье можно определить как параметрическую поверхность , где положение точки p как функция параметрических координат u ,  v задается формулой: ^[1]

${\ displaystyle \ mathbf {p} (u, v) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {m} B_ {i} ^ {n} (u) \ ,B_{j}^{m}(v)\,\mathbf {k} _{i,j}}$

оценивается по единичному квадрату, где

${\displaystyle B_{i}^{n}(u)={n \выберите i}u^{i}(1-u)^{ni}}$

является базисным полиномом Бернштейна , и

${\displaystyle {n \выберите i}={\frac {n!}{i!(ni)!}}}$

является биномиальным коэффициентом .

Некоторые свойства поверхностей Безье:

• Поверхность Безье будет трансформироваться так же, как и ее контрольные точки при всех линейных преобразованиях и переносах .
• Все u  = постоянные и v  = постоянные линии в пространстве ( u ,  v ) и, в частности, все четыре ребра деформированного единичного квадрата ( u ,  v ) являются кривыми Безье.
• Поверхность Безье будет полностью лежать внутри выпуклой оболочки своих контрольных точек и, следовательно, также полностью внутри ограничивающего прямоугольника своих контрольных точек в любой заданной декартовой системе координат .
• Точки на участке, соответствующие углам деформированного единичного квадрата, совпадают с четырьмя контрольными точками.
• Однако поверхность Безье, как правило, не проходит через свои другие контрольные точки.

Как правило, наиболее распространенное использование поверхностей Безье — это сети бикубических участков (где m = n = 3). Геометрия одного бикубического участка, таким образом, полностью определяется набором из 16 контрольных точек. Они обычно связаны, образуя поверхность B-сплайна , аналогично тому, как кривые Безье связаны, образуя кривую B-сплайна .

Более простые поверхности Безье образуются из биквадратных фрагментов ( m = n = 2) или треугольников Безье .

Сетки лоскутов Безье превосходят треугольные сетки в качестве представления гладких поверхностей. Они требуют меньше точек (и, следовательно, меньше памяти) для представления криволинейных поверхностей, ими легче манипулировать, и они обладают гораздо лучшими свойствами непрерывности . Кроме того, другие распространенные параметрические поверхности, такие как сферы и цилиндры, могут быть хорошо аппроксимированы относительно небольшим числом кубических лоскутов Безье.

Однако сетки лоскутных кривых Безье трудно визуализировать напрямую. Одна из проблем с лоскутными кривыми Безье заключается в том, что расчет их пересечений с линиями сложен, что делает их неудобными для чистой трассировки лучей или других прямых геометрических методов, которые не используют методы подразделения или последовательного приближения. Их также трудно комбинировать напрямую с алгоритмами перспективной проекции.

По этой причине сетки лоскутов Безье в конечном итоге обычно разлагаются на сетки плоских треугольников конвейерами 3D- рендеринга . При высококачественном рендеринге подразделение настраивается так, чтобы быть настолько мелким, что границы отдельных треугольников не видны. Чтобы избежать «пятнистого» вида, на этом этапе к поверхностям Безье обычно применяется мелкая детализация с использованием текстурных карт , карт рельефа и других методов пиксельных шейдеров .

Кривая Безье степени ( m , n ) может быть построена из двух треугольников Безье степени m  +  n или из одного треугольника Безье степени m  +  n , при этом входная область представляет собой квадрат вместо треугольника .

Треугольник Безье степени m также может быть построен из поверхности Безье степени ( m , m ), с контрольными точками, такими, что одно ребро сплющено в точку, или с входной областью в виде треугольника вместо квадрата.

• НУРБС
• Вычислительная геометрия
• Бикубическая интерполяция
• кривая Безье
• Треугольник Безье
• Бигармоническая поверхность Безье