Аксиома бесконечности

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Аксиома бесконечности» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В аксиоматической теории множеств и разделах математики и философии , которые ее используют, аксиома бесконечности является одной из аксиом теории множеств Цермело–Френкеля . Она гарантирует существование по крайней мере одного бесконечного множества , а именно множества, содержащего натуральные числа . Впервые она была опубликована Эрнстом Цермело как часть его теории множеств в 1908 году. ^[1]

Используя примитивные символы логики первого порядка , аксиому можно выразить следующим образом: ^[2]

${\displaystyle \exists \mathrm {I} \ (\exists o\ (o\in \mathrm {I} \ \land \lnot \exists n\ (n\in o))\ \land \ \forall x\ (x\in \mathrm {I} \Rightarrow \exists y\ (y\in \mathrm {I} \ \land \ \forall a\ (a\in y\Leftrightarrow (a\in x\ \lor \ a=x))))).}$

На английском языке это предложение означает: « существует множество 𝐈 такое, что пустое множество является его элементом, и для каждого элемента 𝐈 существует элемент 𝐈 такой , что является элементом , элементы также являются элементами , и ничто иное не является элементом ».${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

Это предложение можно сократить в нотации конструктора множеств следующим образом:

${\displaystyle \exists \mathrm {I} \,(\varnothing \in \mathrm {I} \,\land \,\forall x\,(x\in \mathrm {I} \Rightarrow \,(x\cup \{x\})\in \mathrm {I} )).}$

Некоторые математики могут назвать множество, построенное таким образом, индуктивным множеством .

Эта аксиома тесно связана с конструкцией фон Неймана натуральных чисел в теории множеств, в которой последующее значение x определяется как x ∪ { x }. Если x — множество, то из других аксиом теории множеств следует, что это последующее значение также является однозначно определенным множеством. Последующие значения используются для определения обычного теоретико-множественного кодирования натуральных чисел . В этом кодировании ноль — это пустое множество:

0 = {}.

Число 1 является преемником числа 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

Аналогично, 2 является преемником 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} = { {}, {{}} },

и так далее:

3 = {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };

4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

Следствием этого определения является то, что каждое натуральное число равно множеству всех предыдущих натуральных чисел. Количество элементов в каждом множестве на верхнем уровне совпадает с представленным натуральным числом, а глубина вложенности наиболее глубоко вложенного пустого множества {}, включая его вложенность в множество, представляющее число, частью которого оно является, также равна натуральному числу, которое представляет множество.

Эта конструкция образует натуральные числа. Однако других аксиом недостаточно для доказательства существования множества всех натуральных чисел, . Поэтому его существование принимается как аксиома — аксиома бесконечности. Эта аксиома утверждает, что существует множество I , содержащее 0 и замкнутое относительно операции взятия последующего элемента; то есть для каждого элемента I , последовавший за этим элементом элемент также находится в I .${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

Таким образом, суть аксиомы такова:

Существует множество I , включающее в себя все натуральные числа.

Аксиома бесконечности также является одной из аксиом фон Неймана–Бернайса–Гёделя .

Бесконечное множество I является надмножеством натуральных чисел. Чтобы показать, что сами натуральные числа составляют множество, можно применить схему аксиом спецификации для удаления нежелательных элементов, оставив множество N всех натуральных чисел. Это множество уникально по аксиоме экстенсиональности .

Чтобы извлечь натуральные числа, нам нужно определение того, какие множества являются натуральными числами. Натуральные числа можно определить таким образом, чтобы не предполагать никаких аксиом, кроме аксиомы экстенсиональности и аксиомы индукции — натуральное число является либо нулем, либо последующим элементом, и каждый из его элементов является либо нулем, либо последующим элементом другого его элемента. На формальном языке определение гласит:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).}$

Или, еще более формально:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\;\land }$

${\displaystyle \forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).}$

Альтернативный метод заключается в следующем. Пусть будет формулой, которая говорит "x является индуктивным"; т.е. . Неформально, то, что мы сделаем, это возьмем пересечение всех индуктивных множеств. Более формально, мы хотим доказать существование уникального множества такого, что${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi (x)=(\emptyset \in x\wedge \forall y(y\in x\to (y\cup \{y\}\in x)))}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \forall x(x\in W\leftrightarrow \forall I(\Phi (I)\to x\in I)).}$ (*)

Для существования мы будем использовать Аксиому Бесконечности в сочетании со схемой Аксиом спецификации . Пусть будет индуктивным множеством, гарантированным Аксиомой Бесконечности. Затем мы используем схему аксиом спецификации для определения нашего множества – т.е. является множеством всех элементов , которые также являются элементами любого другого индуктивного множества. Это явно удовлетворяет гипотезе (*), поскольку если , то находится в каждом индуктивном множестве, а если находится в каждом индуктивном множестве, то он находится, в частности , в , поэтому он также должен находиться в .${\displaystyle I}$${\displaystyle W=\{x\in I:\forall J(\Phi (J)\to x\in J)\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x\in W}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$${\displaystyle W}$

Для уникальности, во-первых, отметим, что любое множество, которое удовлетворяет (*), само по себе индуктивно, поскольку 0 есть во всех индуктивных множествах, и если элемент есть во всех индуктивных множествах, то по свойству индуктивности таковым является и его преемник. Таким образом, если бы было другое множество , которое удовлетворяет (*), мы бы имели, что поскольку является индуктивным, и поскольку является индуктивным. Таким образом , . Пусть обозначает этот уникальный элемент.${\displaystyle x}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W'\subseteq W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W\subseteq W'}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W=W'}$${\displaystyle \omega }$

Это определение удобно, поскольку из него сразу следует принцип индукции : если является индуктивным, то также , так что .${\displaystyle I\subseteq \omega }$${\displaystyle \omega \subseteq I}$${\displaystyle I=\omega }$

Оба эти метода производят системы, которые удовлетворяют аксиомам арифметики второго порядка , поскольку аксиома набора мощности позволяет нам квантифицировать по набору мощности , как в логике второго порядка . Таким образом, они оба полностью определяют изоморфные системы, и поскольку они изоморфны относительно отображения тождества , они должны быть фактически равны .${\displaystyle \omega }$

В некоторых старых текстах используется, по-видимому, более слабая версия аксиомы бесконечности, а именно:

${\displaystyle \exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subsetneq z)))\,.}$

Это говорит о том, что x непусто и для каждого элемента y из x существует другой элемент z из x такой, что y является подмножеством z и y не равен z . Это подразумевает, что x является бесконечным множеством, не говоря много о его структуре. Однако с помощью других аксиом ZF мы можем показать, что это подразумевает существование ω. Во-первых, если мы возьмем множество любого бесконечного множества x , то это множество будет содержать элементы, которые являются подмножествами x каждой конечной мощности (среди других подмножеств x ). Доказательство существования этих конечных подмножеств может потребовать либо аксиому разделения, либо аксиомы спаривания и объединения. Затем мы можем применить аксиому замены, чтобы заменить каждый элемент этого множества x начальным порядковым числом той же мощности ( или нулем, если такого порядкового числа нет). Результатом будет бесконечное множество порядковых чисел. Затем мы можем применить к этому аксиому объединения, чтобы получить порядковый номер, больший или равный ω.

Аксиому бесконечности нельзя доказать из других аксиом ZFC, если они непротиворечивы. (Чтобы понять почему, отметим, что ZFC Con(ZFC − Infinity) и воспользуемся второй теоремой Гёделя о неполноте .)${\displaystyle \vdash }$

Отрицание аксиомы бесконечности не может быть выведено из остальных аксиом ZFC, если они непротиворечивы. (Это равносильно утверждению, что ZFC непротиворечива, если непротиворечивы и другие аксиомы.) Таким образом, ZFC не подразумевает ни аксиому бесконечности, ни ее отрицание и совместима ни с одной из них.

Действительно, используя вселенную фон Неймана , мы можем построить модель ZFC − Infinity + (¬Infinity). Это , класс наследственно конечных множеств , с наследуемым отношением принадлежности. Обратите внимание, что если аксиома пустого множества не взята как часть этой системы (поскольку она может быть выведена из ZF + Infinity), то пустая область также удовлетворяет ZFC − Infinity + ¬Infinity, поскольку все ее аксиомы универсально квантифицированы и, таким образом, тривиально удовлетворяются, если не существует множества.${\displaystyle V_{\omega }\!}$

Мощность множества натуральных чисел, алеф нуль ( ), имеет многие свойства большого кардинала . Таким образом, аксиома бесконечности иногда рассматривается как первая большая кардинальная аксиома , и наоборот, большие кардинальные аксиомы иногда называются ^{[ кем? ]} более сильными аксиомами бесконечности.${\displaystyle \aleph _{0}}$

• Аксиомы Пеано
• Финитизм