Теорема Атьи–Ботта о неподвижной точке

В математике теорема Атьи–Ботта о неподвижной точке , доказанная Майклом Атьей и Раулем Боттом в 1960-х годах, является общей формой теоремы Лефшеца о неподвижной точке для гладких многообразий M , которая использует эллиптический комплекс на M. Это система эллиптических дифференциальных операторов на векторных расслоениях , обобщающая комплекс де Рама, построенный из гладких дифференциальных форм , который появляется в исходной теореме Лефшеца о неподвижной точке.

Идея состоит в том, чтобы найти правильную замену для числа Лефшеца , которое в классическом результате является целым числом, учитывающим правильный вклад неподвижной точки гладкого отображения.

${\displaystyle f\двоеточие M\до M.}$

Интуитивно, неподвижные точки являются точками пересечения графика функции f с диагональю (графиком тождественного отображения) в , и число Лефшеца, таким образом, становится числом пересечения . Теорема Атьи–Ботта представляет собой уравнение, в котором левая ветвь должна быть результатом глобального топологического (гомологического) вычисления, а правая ветвь — суммой локальных вкладов в неподвижных точках функции f .${\displaystyle М\times М}$

Подсчитывая коразмерности в , предположение трансверсальности для графика f и диагонали должно гарантировать, что множество неподвижных точек является нульмерным. Предполагая, что M замкнутое многообразие должно гарантировать, что множество пересечений конечно, что дает конечное суммирование в качестве правой части ожидаемой формулы. Дополнительные необходимые данные относятся к эллиптическому комплексу векторных расслоений , а именно к отображению расслоения${\displaystyle М\times М}$${\displaystyle E_{j}}$

${\displaystyle \varphi _{j}\двоеточие f^{-1}(E_{j})\to E_{j}}$

для каждого j , так что результирующие отображения на сечениях приводят к эндоморфизму эллиптического комплекса . Такой эндоморфизм имеет число Лефшеца${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т}$

${\displaystyle L(T),}$

который по определению является знакопеременной суммой его следов на каждой градуированной части гомологии эллиптического комплекса.

Тогда форма теоремы будет следующей:

${\displaystyle L(T)=\sum _{x}\left(\sum _{j}(-1)^{j}\mathrm {след} \,\varphi _{j,x}\right)/\delta (x).}$

Здесь след означает след в фиксированной точке x функции f , и является детерминантом эндоморфизма в точке x с производной f (необращение в нуль является следствием трансверсальности). Внешнее суммирование ведется по фиксированным точкам x , а внутреннее суммирование — по индексу j в эллиптическом комплексе.${\displaystyle \varphi _{j,x}}$${\displaystyle \varphi _{j}}$${\displaystyle \дельта (x)}$${\displaystyle I-Df}$${\displaystyle Df}$

Специализация теоремы Атьи–Ботта к комплексу де Рама гладких дифференциальных форм дает исходную формулу Лефшеца для неподвижной точки. Знаменитое применение теоремы Атьи–Ботта — простое доказательство формулы характера Вейля в теории групп Ли . ^{[ необходимо разъяснение ]}

Ранняя история этого результата переплетена с историей теоремы Атьи–Зингера об индексе . Были и другие данные, как следует из альтернативного названия теоремы Вудс-Хоула о неподвижной точке , которая использовалась в прошлом (относясь должным образом к случаю изолированных неподвижных точек). ^[1] Встреча в Вудс-Хоуле в 1964 году собрала разнообразную группу:

Эйхлер начал взаимодействие между теоремами о неподвижной точке и автоморфными формами . Шимура сыграл важную роль в этом развитии, объяснив это Ботту на конференции в Вудс-Холе в 1964 году. ^[2]

Как говорит Атья: ^[3]

[на конференции]...Ботт и я узнали о гипотезе Шимуры относительно обобщения формулы Лефшеца для голоморфных отображений. После долгих усилий мы убедили себя, что должна быть общая формула такого типа [...]; .

и они пришли к версии для эллиптических комплексов.

По воспоминаниям Уильяма Фултона , который также присутствовал на конференции, первым, кто представил доказательство, был Жан-Луи Вердье .

В контексте алгебраической геометрии утверждение применимо к гладким и собственным многообразиям над алгебраически замкнутым полем. Этот вариант формулы Атьи–Ботта для неподвижной точки был доказан Кондыревым и Приходько (2018) путем выражения обеих сторон формулы как надлежащим образом выбранных категориальных следов .

• Формула остатка Ботта

• Атья, Майкл Ф.; Ботт , Рауль (1966), «Формула неподвижной точки Лефшеца для эллиптических дифференциальных операторов» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 72 (2): 245–50 , doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11483-0. Это формулирует теорему, вычисляющую число Лефшеца эндоморфизма эллиптического комплекса.
• Атья, Майкл Ф.; Ботт , Рауль (1967), «Формула неподвижной точки Лефшеца для эллиптических комплексов: I», Annals of Mathematics , вторая серия, 86 (2): 374– 407, doi :10.2307/1970694, JSTOR  1970694и Атья, Майкл Ф.; Ботт , Рауль (1968), «Формула неподвижной точки Лефшеца для эллиптических комплексов: II. Приложения», Annals of Mathematics , вторая серия, 88 (3): 451– 491, doi :10.2307/1970721, JSTOR  1970721. В них приводятся доказательства и некоторые приложения результатов, объявленных в предыдущей статье.

• Кондырев, Григорий; Приходько, Артем (2018), «Категорическое доказательство голоморфной формулы Атьи – Ботта», J. Inst. Математика. Жюссье : 1–25 , arXiv : 1607.06345 , doi : 10.1017/S1474748018000543

• Ту, Лоринг В. (21 декабря 2005 г.). "Теорема Атьи-Ботта о неподвижной точке". Жизнь и творчество Рауля Ботта .
• Tu, Loring W. (ноябрь 2015 г.). «О происхождении теоремы Вудс-Холла о неподвижной точке» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . Providence, RI: American Mathematical Society. стр.  1200–1206 .