Асимптотическая кривая
В дифференциальной геометрии поверхностей асимптотическая кривая — это кривая, всегда касательная к асимптотическому направлению поверхности (там, где они существуют). Иногда ее называют асимптотической прямой , хотя она не обязательно является прямой .
Определения
Существует несколько эквивалентных определений асимптотических направлений или, что эквивалентно, асимптотических кривых.
- Асимптотические направления совпадают с асимптотами гиперболы индикатрисы Дюпена, проходящей через гиперболическую точку, или уникальной асимптотой, проходящей через параболическую точку. [1]
- Асимптотическое направление — это направление, вдоль которого нормальная кривизна равна нулю: возьмем плоскость, охватываемую направлением, и нормаль поверхности в этой точке. Кривая пересечения плоскости и поверхности имеет нулевую кривизну в этой точке.
- Асимптотическая кривая — это кривая, в каждой точке которой плоскость, касательная к поверхности, является соприкасающейся плоскостью кривой.
Характеристики
Асимптотические направления могут возникать только тогда, когда гауссова кривизна отрицательна (или равна нулю).
Через каждую точку с отрицательной гауссовой кривизной проходят два асимптотических направления, делящихся пополам главными направлениями . Через каждую точку с нулевой гауссовой кривизной проходит одно или бесконечно много асимптотических направлений.
Если поверхность минимальна и не плоская, то асимптотические направления ортогональны друг другу (и составляют 45 градусов с двумя главными направлениями).
Для развертывающейся поверхности асимптотическими линиями являются образующие , и только они.
Если прямая линия включена в поверхность, то она является асимптотической кривой поверхности.
Связанные понятия
Связанное понятие — линия кривизны , которая представляет собой кривую, всегда касательную к главному направлению.
Ссылки
- ^ Дэвид Гильберт ; Кон-Фоссен, С. (1999). Геометрия и воображение . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1998-4.
- Вайсштейн, Эрик В. «Асимптотическая кривая». MathWorld .
- Линии кривизны, геодезическое кручение, асимптотические линии
- «Асимптотическая линия поверхности» в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском языке )
