азиатский вариант

Азиатский опцион ( или опцион средней стоимости ) — это особый тип опционного контракта . Для азиатских опционов выплата определяется средней базовой ценой за некоторый заранее установленный период времени. Это отличается от случая обычного европейского опциона и американского опциона , где выплата опционного контракта зависит от цены базового инструмента при исполнении; таким образом, азиатские опционы являются одной из основных форм экзотических опционов .

Существует два типа азиатских опционов: опцион по средней цене (фиксированный страйк), где цена страйка определена заранее, а усредненная цена базового актива используется для расчета выплаты; и опцион по средней цене страйка (плавающий страйк), где усредненная цена базового актива за весь период становится ценой страйка.

Одним из преимуществ азиатских опционов является то, что они снижают риск рыночных манипуляций базовым инструментом при погашении. ^[1] Другое преимущество азиатских опционов заключается в относительной стоимости азиатских опционов по сравнению с европейскими или американскими опционами. Благодаря усредняющей функции азиатские опционы снижают волатильность, присущую опциону; поэтому азиатские опционы, как правило, дешевле европейских или американских опционов. Это может быть преимуществом для корпораций, которые подчиняются пересмотренному Положению № 123 Совета по стандартам финансового учета , которое требует, чтобы корпорации включали в расходы опционы на акции сотрудников. ^[2]

В 1980-х годах Марк Стэндиш работал в лондонской Bankers Trust над производными инструментами с фиксированным доходом и арбитражной торговлей собственными средствами. Дэвид Споутон работал системным аналитиком на финансовых рынках в Bankers Trust с 1984 года, когда Банк Англии впервые выдал банкам лицензии на проведение валютных опционов на лондонском рынке. В 1987 году Стэндиш и Споутон были в Токио по делам, когда «они разработали первую коммерчески используемую формулу ценообразования для опционов, привязанных к средней цене сырой нефти». Они назвали этот экзотический опцион азиатским опционом, потому что находились в Азии. ^{[3] [4] [5] [6]}

Существует множество разновидностей азиатского варианта; самые основные из них перечислены ниже:

• Фиксированная страйк-ставка (или средняя ставка) азиатская выплата по коллу

${\displaystyle C(T)={\text{макс}}\left(A(0,T)-K,0\right),}$

где A обозначает среднюю цену за период [0, T], а K — цену исполнения.
Эквивалентный опцион пут определяется как

${\displaystyle P(T)={\text{макс}}\left(KA(0,T),0\right).}$

• Плавающий страйк (или плавающая ставка) азиатский опцион колл выплата

${\displaystyle C(T)={\text{макс}}\left(S(T)-kA(0,T),0\right),}$

где S(T) — цена при погашении, а k — весовой коэффициент, обычно 1, поэтому его часто опускают в описаниях.
Эквивалентная выплата опциона пут определяется как

${\displaystyle P(T)={\text{макс}}\left(kA(0,T)-S(T),0\right).}$

Среднее может быть получено многими способами. Традиционно это означает среднее арифметическое . В непрерывном случае это получается путем${\displaystyle А}$

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}S(t)dt.}$

Для случая дискретного мониторинга (с мониторингом в моменты времени и ) имеем среднее значение, определяемое выражением${\displaystyle 0=t_{0},t_{1},t_{2},\точки ,t_{n}=T}$${\displaystyle t_{i}=i\cdot {\frac {T}{n}}}$

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S(t_{i}).}$

Существуют также азиатские опционы со средним геометрическим значением ; в непрерывном случае это определяется выражением

${\displaystyle A(0,T)=\exp \left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\ln(S(t))dt\right).}$

Обсуждение проблемы ценообразования азиатских опционов с использованием методов Монте-Карло приводится в статье Кемны и Ворста. ^[7]

В подходе к ценообразованию опционов с использованием интеграла путей [ ^8] проблема геометрического среднего может быть решена с помощью эффективного классического потенциала ^[9] Фейнмана и Кляйнерта . ^[10]

Роджерс и Ши решают проблему ценообразования с помощью подхода PDE. ^[11]

Модель дисперсионной гаммы может быть эффективно реализована при ценообразовании опционов в азиатском стиле. Затем, используя представление ряда Бондессона для генерации процесса дисперсионной гаммы, можно повысить вычислительную производительность азиатского ценообразователя опционов. ^[12]

В моделях скачкообразной диффузии и стохастической волатильности проблема ценообразования для геометрических азиатских опционов все еще может быть решена. ^[13] Для арифметического азиатского опциона в моделях Леви можно положиться на численные методы ^[13] или на аналитические границы. ^[14]

Мы можем вывести решение в замкнутой форме для геометрического азиатского опциона; при использовании в сочетании с контрольными переменными в моделировании Монте-Карло формула полезна для выведения справедливых значений для арифметического азиатского опциона.

Определим непрерывное геометрическое среднее как: где базовое следует стандартному геометрическому броуновскому движению . Отсюда легко вычислить, что: Чтобы вывести стохастический интеграл, который изначально был , обратите внимание, что: Это может быть подтверждено леммой Ито . Интегрируя это выражение и используя тот факт, что , мы находим, что интегралы эквивалентны - это будет полезно позже при выводе. Используя мартингальное ценообразование , значение европейского азиатского колла с геометрическим усреднением определяется как: Чтобы найти , мы должны найти такое, что: После некоторой алгебры мы находим, что: На этом этапе стохастический интеграл является камнем преткновения для поиска решения этой проблемы. Однако с помощью изометрии Ито легко проверить , что интеграл нормально распределен как: Это эквивалентно утверждению, что с . Следовательно, мы имеем, что: Теперь можно вычислить значение европейского азиатского колла с геометрическим усреднением! На этом этапе полезно определить: Проделав тот же процесс, что и в модели Блэка-Шоулза , мы можем обнаружить, что: Фактически, проведя те же аргументы для европейско-азиатских пут-опционов с геометрическим усреднением , мы обнаруживаем, что: Это подразумевает, что существует версия паритета пут-колл для европейско-азиатских опционов с геометрическим усреднением:${\displaystyle G_{T}}$$${\displaystyle G_{T}=\exp \left[{1 \over {T}}\int _{0}^{T}\log S(t)dt\right]}$$${\displaystyle S(t)}$$${\displaystyle G_{T}=S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}}$$${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}$$${\displaystyle d[(T-t)W_{t}]=(T-t)dW_{t}-W_{t}dt}$$${\displaystyle W_{0}=0}$${\displaystyle C_{G}}$$${\displaystyle C_{G}=e^{-rT}\mathbb {E} \left[(G_{T}-K)_{+}\right]={e^{-rT} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\ell }^{\infty }\left(G_{T}-K\right)e^{-x^{2}/2}dx}$$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle x}$$${\displaystyle G_{T}\geq K\implies S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}\geq K}$$$${\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\geq \log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}$$$${\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}{T \over {3}}\right)}$$${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}$${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$$${\displaystyle x\geq {\log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T \over {\sigma {\sqrt {T/3}}}}\equiv \ell }$$$${\displaystyle b={1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right),\;\sigma _{G}={\sigma \over {\sqrt {3}}},\;d_{1}={\log {S_{0} \over {K}}+\left(b+{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right)T \over {\sigma _{G}{\sqrt {T}}}},\;d_{2}=d_{1}-\sigma _{G}{\sqrt {T}}}$$$${\displaystyle C_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (d_{1})-Ke^{-rT}\Phi (d_{2})}$$${\textstyle P_{G}}$$${\displaystyle P_{G}=Ke^{-rT}\Phi (-d_{2})-S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (-d_{1})}$$$${\displaystyle C_{G}-P_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}-Ke^{-rT}}$$

Есть некоторые вариации, которые продаются на внебиржевом рынке. Например, BNP Paribas представил вариацию, называемую условным азиатским опционом, где средняя базовая цена основана на наблюдениях за ценами, превышающими заранее определенный порог. Условный азиатский опцион пут имеет выплату

${\displaystyle \max \left(K-{\frac {\int _{0}^{T}S(t)I_{\{S(t)>b\}}dt}{\int _{0}^{T}I_{\{S(t)>b\}}dt}},0\right),}$

где — пороговое значение, а — индикаторная функция, которая равна , если истинно, и равна нулю в противном случае. Такой опцион предлагает более дешевую альтернативу, чем классический азиатский опцион пут, поскольку ограничение диапазона наблюдений снижает волатильность средней цены. Обычно он продается по деньгам и действует до пяти лет. Ценообразование условного азиатского опциона обсуждается Фэном и Фолькмером. ^[15]${\displaystyle b>0}$${\displaystyle I_{A}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A}$