проблема Эйнштейна

Вопрос о одномерной апериодической мозаике
Апериодическая мозаика с "Tile(1,1)", типом плиток Spectre. Плитки окрашены в соответствии с их вращательной ориентацией по модулю 60 градусов. [1] (Смит, Майерс, Каплан и Гудман-Штраус)

В плоской геометрии проблема Эйнштейна спрашивает о существовании единственной протоплитки , которая сама по себе образует апериодический набор протоплиток ; то есть, формы, которая может замостить пространство, но только непериодическим образом. Такая форма называется эйнштейном , игра слов от ein Stein , что по-немецки означает «один камень». [2]

Несколько вариантов задачи, в зависимости от конкретных определений непериодичности и спецификаций того, какие наборы могут квалифицироваться как плитки и какие типы правил сопоставления разрешены, были решены, начиная с 1990-х годов. Самая строгая версия задачи была решена в 2023 году после первоначального открытия в 2022 году.

Проблему Эйнштейна можно рассматривать как естественное расширение второй части восемнадцатой проблемы Гильберта , которая требует существования одного многогранника , который заполняет евклидово трехмерное пространство , но при этом ни одно разбиение этого многогранника не является изоэдральным . [3] Такие неизоэдральные плитки были найдены Карлом Рейнхардтом в 1928 году, но все эти неизоэдральные плитки заполняют пространство периодически.

Предлагаемые решения

В 1988 году Питер Шмитт открыл одну апериодическую протоплитку в трехмерном евклидовом пространстве . Хотя ни одна мозаика этой протоплиткой не допускает переноса в качестве симметрии, некоторые из них имеют винтовую симметрию . Операция «винт» включает в себя комбинацию переноса и поворота на иррациональное кратное π, поэтому никакое количество повторных операций никогда не даст чистого переноса. Эта конструкция была впоследствии расширена Джоном Хортоном Конвеем и Людвигом Данцером до выпуклой апериодической протоплитки, плитки Шмитта–Конвея–Данцера . Наличие винтовой симметрии привело к переоценке требований к непериодичности. [4] Хаим Гудман-Штраус предположил, что мозаика считается сильно апериодической, если она не допускает бесконечной циклической группы евклидовых движений в качестве симметрии, и что только наборы плиток, которые обеспечивают сильную апериодичность, следует называть сильно апериодическими, в то время как другие наборы следует называть слабо апериодическими . [5]

Плитка Соколора –Тейлора была предложена в 2010 году как решение проблемы Эйнштейна, но эта плитка не является связным множеством.

В 1996 году Петра Гуммельт построила декорированную десятиугольную плитку и показала, что когда допускаются два вида перекрытий между парами плиток, плитки могут покрывать плоскость, но только непериодически. [6] Под мозаикой обычно понимают покрытие без перекрытий, и поэтому плитка Гуммельта не считается апериодической протоплиткой. Апериодический набор плиток на евклидовой плоскости , состоящий всего из одной плитки — плитки Соколора–Тейлора — был предложен в начале 2010 года Джошуа Соколором и Джоан Тейлор. [7] Эта конструкция требует правил сопоставления, правил, которые ограничивают относительную ориентацию двух плиток и которые ссылаются на украшения, нарисованные на плитках, и эти правила применяются к парам несмежных плиток. В качестве альтернативы может быть построена недекорированная плитка без правил сопоставления, но плитка не будет связана. Конструкция может быть расширена до трехмерной, связанной плитки без правил соответствия, но эта плитка допускает плитки, которые являются периодическими в одном направлении, и поэтому она только слабо апериодична. Более того, плитка не является просто связанной.

Шляпа и призрак

В ноябре 2022 года любитель Дэвид Смит обнаружил плитку в форме «шляпы», образованную из восьми копий воздушного змея 60°–90°–120°–90° ( дельтовидные тригексагоналы ), склеенных ребром к ребру, которая, казалось, только апериодически замостила плоскость. [8] Смит заручился помощью математиков Крейга С. Каплана , Джозефа Сэмюэля Майерса и Хаима Гудмана-Штрауса , и в марте 2023 года группа опубликовала препринт, доказывающий, что шляпа, рассматриваемая вместе со своим зеркальным отражением, образует апериодический набор протоплиток. [9] [10] Кроме того, шляпу можно обобщить до бесконечного семейства плиток с тем же апериодическим свойством. По состоянию на июль 2024 года этот результат был официально опубликован в журнале Combinatorial Theory. [11]

Tile(1,1) из Smith, Myers, Kaplan & Goodmann-Strauss слева. Призрак получается путем изменения рёбер этого многоугольника, как в среднем и правом примере.

В мае 2023 года та же команда (Смит, Майерс, Каплан и Гудман-Штраус) опубликовала новый препринт о семействе фигур, называемых «спектрами» и связанных со «шляпой», каждая из которых может замостить плоскость, используя только вращения и переносы. [12] Более того, плитка «спектр» является «строго хиральной» апериодической моноплиткой: даже если отражения разрешены, каждая плитка непериодична и использует только одну хиральность спектра. То есть, нет мозаик плоскости, которые используют и спектр, и его зеркальное отражение.

В 2023 году публичный конкурс, организованный Национальным музеем математики в Нью-Йорке и United Kingdom Mathematics Trust в Лондоне, попросил людей представить креативные интерпретации шляпы Эйнштейна. Из более чем 245 заявок из 32 стран были выбраны три победителя, которые получили награды на церемонии в Палате общин . [13] [14]

Приложения

Молекулярные аналоги плитки Эйнштейна могут быть использованы для формирования хиральных двумерных квазикристаллов . [15]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Две плитки имеют одинаковый цвет, когда их можно привести в совпадение комбинацией переноса вместе с поворотом на четное число, кратное 30 градусов. Плитки разных цветов можно привести в совпадение комбинацией переноса вместе с поворотом на нечетное число, кратное 30 градусов.
  2. ^ Клаассен, Бернхард (2022). «Принудительное непериодическое заполнение одной плиткой с использованием затравки». Европейский журнал комбинаторики . 100 (C): 103454. arXiv : 2109.09384 . doi : 10.1016/j.ejc.2021.103454. S2CID  237571405.
  3. ^ Сенешаль, Марджори (1996) [1995]. Квазикристаллы и геометрия (исправленное издание в мягкой обложке). Cambridge University Press . С.  22–24 . ISBN 0-521-57541-9.
  4. ^ Радин, Чарльз (1995). «Апериодические мозаики в высших измерениях». Труды Американского математического общества . 123 (11). Американское математическое общество: 3543– 3548. doi : 10.2307/2161105 . JSTOR  2161105. MR  1277129.
  5. ^ Goodman-Strauss, Chaim (10 января 2000 г.). "Открытые вопросы в мозаике" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2007-04-18 . Получено 2007-03-24 .
  6. ^ Гаммелт, Петра (1996). «Плитки Пенроуза как покрытия конгруэнтных десятиугольников». Геометрии посвященные . 62 (1): 1–17 . doi : 10.1007/BF00239998. S2CID  120127686.
  7. ^ Socolar, Joshua ES; Taylor, Joan M. (2011). «Апериодическая шестиугольная плитка». Журнал комбинаторной теории, серия A. 118 ( 8): 2207–2231 . arXiv : 1003.4279 . doi : 10.1016/j.jcta.2011.05.001. S2CID  27912253.
  8. ^ Кларрайх, Эрика (4 апреля 2023 г.). «Любитель находит неуловимую плитку „Эйнштейна“ в математике». Quanta .
  9. ^ Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (март 2023 г.). «Апериодическая моноплитка». arXiv : 2303.10798 [math.CO].
  10. ^ Лоусон-Перфект, Кристиан; Стеклс, Кэти; Роулетт, Питер (22 марта 2023 г.). «Апериодическая моноплитка существует!». Апериодический .
  11. ^ Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (2024). «Апериодическая моноплитка». Комбинаторная теория . 4 (1). arXiv : 2303.10798 . doi : 10.5070/C64163843 . ISSN  2766-1334.
  12. ^ Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (2023). «Хиральная апериодическая моноплитка». arXiv : 2305.17743 [math.CO].
  13. ^ Робертс, Сиобхан (10 декабря 2023 г.). «Что можно сделать с Эйнштейном?». The New York Times . Получено 13 декабря 2023 г.
  14. ^ "hatcontest". Национальный музей математики . Получено 2023-12-13 .
  15. ^ "Предсказанный квазикристалл основан на плитке 'Эйнштейна', известной как шляпа". 25 января 2024 г. Получено 24 июля 2024 г.
  • Апериодическая моноплитка Смита, Майерса, Каплана и Гудмена-Штрауса
  • Харан, Брэди; Макдональд, Эйлиан (2023). «Новая плитка в Newtyle» (видео). Numberphile .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Эйнштейн_проблема&oldid=1266316689"