Анизоэдральная мозаика
При укладке плитки приходится использовать неэквивалентные размещения плитки
Частичная мозаика плоскости неизоэдральной плиткой Хееша. Существует два класса симметрии плиток, один из которых содержит синюю и зеленую плитку, а другой — красную и желтую плитку. Как доказал Хееш, эта плитка не может замостить плоскость только одним классом симметрии.

В геометрии фигура называется неизоэдральной , если она допускает мозаику , но ни одна такая мозаика не является изоэдральной (транзитивной по плиткам); то есть в любой мозаике этой фигурой есть две плитки, которые не эквивалентны ни при какой симметрии мозаики. Мозаика неизоэдральной плиткой называется неизоэдральной мозаикой . [1]

Существование

Первая часть восемнадцатой проблемы Гильберта спрашивала, существует ли неизоэдральный многогранник в евклидовом 3-пространстве ; Грюнбаум и Шепард предполагают [2] , что Гильберт предполагал, что такой плитки не существует на плоскости. Рейнхардт ответил на проблему Гильберта в 1928 году, найдя примеры таких многогранников, и утверждал, что его доказательство того, что таких плиток не существует на плоскости, скоро появится. [3] Однако затем Хеш привел пример неизоэдральной плитки на плоскости в 1935 году. [4]

Выпуклая плитка

Рейнхардт ранее рассматривал вопрос о неизоэдральных выпуклых многоугольниках , показав, что не существует неизоэдральных выпуклых шестиугольников , но не сумев показать, что не существует таких выпуклых пятиугольников , при этом найдя пять типов выпуклых пятиугольников, застилающих плоскость изоэдрально. [2] Кершнер дал три типа неизоэдральных выпуклых пятиугольников в 1968 году; один из этих плиток использовал только прямые изометрии без отражений или скользящих отражений, таким образом отвечая на вопрос Хееша. [5]

Изоэдральные числа

Проблема неизоэдральной мозаики была обобщена, сказав, что изоэдральное число плитки - это наименьшее число орбит (классов эквивалентности) плиток в любой мозаике этой плитки под действием группы симметрии этой мозаики, и что плитка с изоэдральным числом k является k -анизоэдральной. Берглунд спросил, существуют ли k -анизоэдральные плитки для всех k , приведя примеры для k  ≤ 4 (примеры 2-анизоэдральных и 3-анизоэдральных плиток были известны ранее, в то время как данная 4-анизоэдральная плитка была первой такой опубликованной плиткой). [6] Гудман-Штраус рассмотрел это в контексте общих вопросов о том, насколько сложным может быть поведение данной плитки или набора плиток, отметив 10-анизоэдральный пример Майерса. [7] Грюнбаум и Шепард ранее подняли небольшую вариацию того же вопроса. [8]

В 2007 году Соколар показал, что произвольно высокие изоэдральные числа могут быть достигнуты в двух измерениях, если плитка не связана или имеет цветные края с ограничениями на то, какие цвета могут быть смежными, и в трех измерениях с помощью связанной плитки без цветов, отметив, что в двух измерениях для связанной плитки без цветов наибольшее известное изоэдральное число равно 10. [9]

Джозеф Майерс создал коллекцию плиток с высокими изоэдральными числами, в частности, полигексагон с изоэдральным числом 10 (встречающийся на 20 орбитах при трансляции) и еще один с изоэдральным числом 9 (встречающийся на 36 орбитах при трансляции)[1].

Ссылки

  1. ^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Tilings and Patterns . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.
  2. ^ ab Грюнбаум и Шепард, раздел 9.6
  3. ^ Рейнхардт, Карл (1928). «Zur Zerlegung der euklidischen Räume in congruente Polytop». Sitzungsberichte der Preussischen Akamemie der Wissenschaften Berlin, Physikalisch-Mathematische Klasse : 150–155.
  4. ^ Хиш, Х. (1935). «Aufbau der Ebene aus kongruenten Beerichen» (транскрипция Берглунда, с английским переводом) . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematich-Physikalische Klasse . Нойе Фольге. 1 : 115–117 . Проверено 9 сентября 2007 г.
  5. ^ Кершнер, РБ (октябрь 1968 г.). «О мощении плоскости». American Mathematical Monthly (платно). 75 (8). The American Mathematical Monthly, т. 75, № 8: 839–844. doi :10.2307/2314332. JSTOR  2314332.
  6. ^ Берглунд, Джон (1993). «Существует ли k -анисоэдральная плитка для k  ≥ 5?». American Mathematical Monthly (платно). 100 (6). The American Mathematical Monthly, т. 100, № 6: 585–588. doi :10.2307/2324621. JSTOR  2324621.
  7. ^ Гудман-Штраус, Хаим. «Тесселяции» (PDF) .
  8. ^ Грюнбаум и Шепард, упражнение 9.3.2
  9. ^ Socolar, Joshua ES (2007). "Hexagonal Parquet Tilings: k-Isohedral Monotiles with Arbitraarily Large k" (исправленный PDF) . The Mathematical Intelligencer . 29 : 33–38. doi :10.1007/bf02986203 . Получено 09.09.2007 .
  • Джон Берглунд, страница Anisohedral Tilings
  • Вайсштейн, Эрик В. «Анизоэдральная мозаика». MathWorld .
  • Джозеф Майерс, полимино, полигексагональная и полиромбовидная мозаика
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Анизоэдральная_плитка&oldid=1229133162"