Антикоммутативное свойство

В математике антикоммутативность — это специфическое свойство некоторых некоммутативных математических операций . Перестановка позиций двух аргументов антисимметричной операции даёт результат, который является обратным результату с непереставленными аргументами. Понятие обратного относится к групповой структуре на области значений операции , возможно, с другой операцией. Вычитание является антикоммутативной операцией, поскольку коммутация операндов a − b даёт b − a = −( a − b ); например, 2 − 10 = −(10 − 2) = −8. Другим ярким примером антикоммутативной операции является скобка Ли .

В математической физике , где симметрия имеет центральное значение, или даже просто в полилинейной алгебре эти операции в основном (полилинейные по отношению к некоторым векторным структурам и далее) называются антисимметричными операциями , и когда их арность не больше двух, они расширяются в ассоциативном контексте для охвата более двух аргументов .

Если есть две абелевы группы , то билинейное отображение антикоммутативно , если для всех имеем${\displaystyle А,Б}$ ${\displaystyle f\двоеточие A^{2}\to B}$${\displaystyle x,y\in A}$

${\displaystyle f(x,y)=-f(y,x).}$

В более общем смысле, полилинейное отображение является антикоммутативным, если для всех мы имеем${\displaystyle g:A^{n}\to B}$${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}\in A}$

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})}$

где - знак перестановки .​${\displaystyle {\text{sgn}}(\сигма)}$ ${\displaystyle \сигма}$

Если абелева группа не имеет 2- кручения , то это означает, что если то , то любое антикоммутативное билинейное отображение удовлетворяет${\displaystyle Б}$${\displaystyle х=-х}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f\двоеточие A^{2}\to B}$

${\displaystyle f(x,x)=0.}$

В более общем случае, путем транспонирования двух элементов любое антикоммутативное полилинейное отображение удовлетворяет условию${\displaystyle g\двоеточие A^{n}\to B}$

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0}$

если любые из равны; такое отображение называется чередующимся . Наоборот, используя мультилинейность, любое чередующееся отображение является антикоммутативным. В бинарном случае это работает следующим образом: если является чередующимся, то по билинейности имеем${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle f\двоеточие A^{2}\to B}$

${\displaystyle f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0}$

и доказательство в многолинейном случае такое же, но только для двух входных данных.

Примеры антикоммутативных бинарных операций включают в себя:

• Перекрестное произведение
• Скобка Ли алгебры Ли
• Скоба Ли кольца Ли
• Вычитание

• Коммутативность
• Коммутатор
• Внешняя алгебра
• Градуированно-коммутативное кольцо
• Операция (математика)
• Симметрия в математике
• Статистика частиц (для антикоммутативности в физике).

• Бурбаки, Николас (1989), "Глава III. Тензорные алгебры , внешние алгебры , симметричные алгебры ", Алгебра. Главы 1–3 , Элементы математики (2-е печатное издание), Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN 3-540-64243-9, MR  0979982, Zbl  0904.00001.

Найдите антикоммутативное свойство в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Гайнов, А.Т. (2001) [1994], «Антикоммутативная алгебра», Энциклопедия математики , Издательство EMS Press. Который ссылается на оригинальное русское произведение
• Вайсштейн, Эрик В. «Антикоммутативный». MathWorld .