Кросс-соотношение

В геометрии , перекрестное отношение , также называемое двойным отношением и ангармоническим отношением , является числом , связанным со списком из четырех коллинеарных точек , в частности точек на проективной прямой . Для четырех точек A , B , C , D на прямой их перекрестное отношение определяется как

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$

где ориентация линии определяет знак каждого расстояния, а расстояние измеряется как спроецированное в евклидово пространство . (Если одна из четырех точек является точкой линии в бесконечности, то два расстояния, включающие эту точку, опускаются из формулы.) Точка D является гармонически сопряженной точкой C относительно A и B в точности, если перекрестное отношение четверки равно −1 , называемое гармоническим отношением . Таким образом, перекрестное отношение можно рассматривать как измерение отклонения четверки от этого отношения; отсюда и название ангармоническое отношение .

Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях . По сути, это единственный проективный инвариант четверки коллинеарных точек; это определяет его важность для проективной геометрии .

Двойное отношение было определено в глубокой древности, возможно, уже Евклидом , и рассматривалось Паппусом , который отметил его ключевое свойство инвариантности. Оно было широко изучено в 19 веке. ^[1]

Варианты этой концепции существуют для четверки конкурирующих прямых на проективной плоскости и четверки точек на сфере Римана . В модели Кэли–Клейна гиперболической геометрии расстояние между точками выражается через определенное двойное отношение.

Папп Александрийский неявно использовал понятия, эквивалентные кросс-пропорции в своей Коллекции: Книга VII . Среди первых пользователей Паппуса были Исаак Ньютон , Мишель Шаль и Роберт Симсон . В 1986 году Александр Джонс сделал перевод оригинала Паппуса, а затем написал комментарий о том, как леммы Паппуса соотносятся с современной терминологией. ^[2]

Современное использование поперечных отношений в проективной геометрии началось с книги Лазара Карно «Géométrie de Position» в 1803 году . ^{[3] [ нужно страниц ]} В 1837 году Шаль ввел французский термин rapport anharmonique [ангармоническое отношение]. ^[4] Немецкие геометры называют его das Doppelverhältnis [двойное отношение].

Карл фон Штаудт был неудовлетворен прошлыми определениями кросс-отношения, которые опирались на алгебраические манипуляции евклидовыми расстояниями, а не основывались исключительно на синтетических концепциях проективной геометрии. В 1847 году фон Штаудт продемонстрировал, что алгебраическая структура неявно присутствует в проективной геометрии, создав алгебру, основанную на построении проективного гармонического сопряжения , которое он назвал броском (нем. Wurf ): для трех точек на прямой гармоническое сопряжение является четвертой точкой, которая делает кросс-отношение равным −1 . Его алгебра бросков обеспечивает подход к числовым предложениям, обычно принимаемым за аксиомы, но доказанным в проективной геометрии. ^[5]

Английский термин «cross-ratio» был введен в 1878 году Уильямом Кингдоном Клиффордом . ^[6]

Если A , B , C и D — четыре точки на ориентированной аффинной прямой , то их двойное отношение равно:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:BC}{AD:BD}},}$

с обозначением, определенным как знаковое отношение смещения от W до X к смещению от Y до Z. Для коллинеарных смещений это безразмерная величина .${\displaystyle WX:YZ}$

Если сами смещения считать знаковыми действительными числами, то перекрестное отношение между точками можно записать в виде

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{BC}}{\bigg ][\frac {AD}{BD}}={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}.}$

Если — проективно расширенная вещественная прямая , то перекрестное отношение четырех различных чисел в задается формулой${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\bigg /}{\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{1})}}.}$

Когда одна из точек находится в бесконечности ( ), это сводится к, например,${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle \infty}$

${\displaystyle (\infty ,x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {(x_{3}-\infty )(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-\infty )}}={\frac {(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})}}.}$

Те же формулы можно применять к четырем различным комплексным числам или, в более общем смысле, к элементам любого поля , а также их можно проективно расширить, как указано выше, на случай, когда одно из них равно${\displaystyle \infty = {\tfrac {1}{0}}.}$

Двойное отношение четырех коллинеарных точек A , B , C и D можно записать как

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:CB}{AD:DB}}}$

где описывает отношение, с которым точка C делит отрезок прямой AB , и описывает отношение, с которым точка D делит тот же отрезок прямой. Двойное отношение тогда появляется как отношение отношений, описывающее, как две точки C и D расположены относительно отрезка прямой AB . Пока точки A , B , C и D различны, двойное отношение ( A , B ; C , D ) будет ненулевым действительным числом. Мы можем легко вывести, что${\textstyle АС:CB}$${\textstyle AD:DB}$

• ( A , B ; C , D ) < 0 тогда и только тогда, когда одна из точек C или D лежит между точками A и B , а другая — нет.
• ( А , В ; С , D ) = 1 / ( А , В ; D , C )
• ( А , Б ; С , Г ) = ( С , Г ; А , Б )
• ( А , Б ; В , Г ) ≠ ( А , Б ; В , Д ) ⇔ Д ≠ Д

Четыре точки можно упорядочить 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 способами, но существует только шесть способов разбить их на две неупорядоченные пары. Таким образом, четыре точки могут иметь только шесть различных перекрестных соотношений, которые связаны как:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=\lambda ,{\vphantom {\frac {1}{1}}}\\[4mu]&(A,B;D,C)=(B,A;C,D)=(C,D;B,A)=(D,C;A,B)={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu]&(A,C;B,D)=(B,D;A,C)=(C,A;D,B)=(D,B;C,A)=1-\lambda ,{\vphantom {\frac {1}{1}}}\\[4mu]&(A,C;D,B)=(B,D;C,A)=(C,A;B,D)=(D,B;A,C)={\frac {1}{1-\lambda }},\\[4mu]&(A,D;B,C)=(B,C;A,D)=(C,B;D,A)=(D,A;C,B)={\frac {\lambda -1}{\lambda }},\\[4mu]&(A,D;C,B)=(B,C;D,A)=(C,B;A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}.\end{aligned}}}$

См. Ангармоническую группу ниже.

Двойное отношение является проективным инвариантом в том смысле, что оно сохраняется при проективных преобразованиях проективной прямой.

В частности, если четыре точки лежат на одной прямой, то их двойное отношение является вполне определенной величиной, поскольку любой выбор начала координат и даже масштаба на прямой даст одно и то же значение двойного отношения.${\textstyle L}$${\textstyle {\mathbf {R}}^{2}}$

Далее, пусть будут четыре различные прямые в плоскости, проходящие через одну и ту же точку . Тогда любая прямая, не проходящая через , пересекает эти прямые в четырех различных точках (если параллельна , то соответствующая точка пересечения находится «в бесконечности»). Оказывается, что перекрестное отношение этих точек (взятых в фиксированном порядке) не зависит от выбора прямой , и, следовательно, является инвариантом 4-кортежа прямых${\textstyle \{L_{i}\mid 1\leq i\leq 4\}}$${\textstyle Q}$${\textstyle L}$${\textstyle Q}$${\textstyle P_{i}}$${\textstyle L}$${\textstyle L_{i}}$${\textstyle L}$${\textstyle L_{i}.}$

Это можно понять следующим образом: если и — две прямые, не проходящие через , то перспективное преобразование из в с центром является проективным преобразованием, которое переводит четверку точек на в четверку точек на .${\textstyle L}$${\textstyle L'}$${\textstyle Q}$${\textstyle L}$${\textstyle L'}$${\textstyle Q}$${\textstyle \{P_{i}\}}$${\textstyle L}$${\textstyle \{P_{i}'\}}$${\textstyle L'}$

Таким образом, инвариантность двойного отношения относительно проективных автоморфизмов прямой подразумевает (фактически эквивалентна) независимость двойного отношения четырех коллинеарных точек на прямой от выбора прямой, которая их содержит.${\textstyle \{P_{i}\}}$${\textstyle \{L_{i}\}}$

Если четыре коллинеарные точки представлены в однородных координатах векторами такими, что и , то их перекрестное отношение равно . ^[7]${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$${\displaystyle \gamma =a\alpha +b\beta }$${\displaystyle \delta =c\alpha +d\beta }$${\displaystyle (b/a)/(d/c)}$

Артур Кэли и Феликс Клейн нашли применение перекрестного отношения к неевклидовой геометрии . Если задана неособая коника в вещественной проективной плоскости , ее стабилизатор в проективной группе действует транзитивно на точки внутри . Однако существует инвариант для действия на пары точек. Фактически, каждый такой инвариант выражается как функция соответствующего перекрестного отношения. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G_{C}}$ ${\displaystyle G=\operatorname {PGL} (3,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle G_{C}}$

Явно, пусть коника будет единичной окружностью . Для любых двух точек P и Q внутри единичной окружности. Если линия, соединяющая их, пересекает окружность в двух точках X и Y , и эти точки, в порядке X , P , Q , Y. Тогда гиперболическое расстояние между P и Q в модели Кэли–Клейна гиперболической плоскости можно выразить как

${\displaystyle d_{h}(P,Q)={\frac {1}{2}}\left|\log {\frac {|XQ||PY|}{|XP||QY|}}\right|}$

(множитель один на половину необходим для получения кривизны −1 ) . Поскольку перекрестное отношение инвариантно относительно проективных преобразований, отсюда следует, что гиперболическое расстояние инвариантно относительно проективных преобразований, которые сохраняют конику C.

Наоборот, группа G действует транзитивно на множестве пар точек ( p , q ) в единичном круге на фиксированном гиперболическом расстоянии.

Позже, отчасти благодаря влиянию Анри Пуанкаре , для гиперболических метрик использовалось перекрестное отношение четырех комплексных чисел на окружности. Нахождение на окружности означает, что четыре точки являются изображением четырех действительных точек при преобразовании Мёбиуса , и, следовательно, перекрестное отношение является действительным числом. Модель полуплоскости Пуанкаре и модель диска Пуанкаре — это две модели гиперболической геометрии в комплексной проективной прямой .

Эти модели являются примерами метрик Кэли–Клейна .

Перекрестное отношение может быть определено любым из этих четырех выражений:

${\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).}$

Они отличаются следующими перестановками переменных (в циклической записи ):

${\displaystyle 1,\ (\,A\,B\,)(\,C\,D\,),\ (\,A\,C\,)(\,B\,D\,),\ (\,A\,D\,)(\,B\,C\,).}$

Мы можем рассматривать перестановки четырех переменных как действие симметрической группы S ₄ на функции четырех переменных. Поскольку указанные четыре перестановки оставляют перекрестное отношение неизменным, они образуют стабилизатор K перекрестного отношения при этом действии, и это индуцирует эффективное действие фактор - группы на орбите перекрестного отношения. Четыре перестановки в K реализуют четверную группу Клейна в S ₄ , а фактор изоморфен симметрической группе S ₃ .${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$

Таким образом, другие перестановки четырех переменных изменяют перекрестное отношение, давая следующие шесть значений, которые являются орбитой группы из шести элементов :${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K\cong \mathrm {S} _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda ,\\[4mu](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}$

В качестве функций этих являются примерами преобразований Мёбиуса , которые при композиции функций образуют группу Мёбиуса PGL(2, Z ) . Шесть преобразований образуют подгруппу, известную как ангармоническая группа , снова изоморфную S ₃ . Они являются элементами кручения ( эллиптическими преобразованиями ) в PGL (2, Z ) . А именно, , , и имеют порядок 2 с соответствующими неподвижными точками и (а именно, орбитой гармонического перекрестного отношения). Между тем, элементы и имеют порядок 3 в PGL(2, Z ) , и каждый фиксирует оба значения «наиболее симметричного» перекрестного отношения (решения для , примитивные шестые корни из единицы ). Элементы порядка 2 обмениваются этими двумя элементами (как и любая пара, отличная от их неподвижных точек), и, таким образом, действие ангармонической группы на дает фактор-карту симметричных групп .${\displaystyle \lambda ,}$${\textstyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$${\displaystyle 1-\lambda \,}$${\textstyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}$ ${\displaystyle -1,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$${\displaystyle 2,}$${\textstyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$${\textstyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}$${\textstyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$${\displaystyle x^{2}-x+1}$${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\to \mathrm {S} _{2}}$

Далее, неподвижные точки отдельных 2 -циклов, соответственно, и и этот набор также сохраняется и переставляется 3 -циклами. Геометрически это можно визуализировать как группу вращения тригонального диэдра , которая изоморфна диэдральной группе треугольника D ₃ , как показано справа. Алгебраически это соответствует действию S ₃ на 2 -циклах (его силовских 2-подгруппах ) сопряжением и реализует изоморфизм с группой внутренних автоморфизмов ,${\displaystyle -1,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$${\displaystyle 2,}$${\textstyle \mathrm {S} _{3}\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \operatorname {Inn} (\mathrm {S} _{3})\cong \mathrm {S} _{3}.}$

Ангармоническая группа порождается и Ее действие на дает изоморфизм с S ₃ . Его также можно реализовать как шесть упомянутых преобразований Мёбиуса, ^[8] , что дает проективное представление S ₃ над любым полем (поскольку оно определено с целыми элементами) и всегда является точным/инъективным (поскольку никакие два члена не отличаются только на 1/−1 ). Над полем с двумя элементами проективная прямая имеет только три точки, поэтому это представление является изоморфизмом и является исключительным изоморфизмом . В характеристике 3 это стабилизирует точку , что соответствует орбите гармонического перекрестного отношения, являющейся только одной точкой, поскольку . Над полем с тремя элементами проективная прямая имеет только 4 точки и , и, таким образом, представление является в точности стабилизатором гармонического перекрестного отношения, что дает вложение, равное стабилизатору точки .${\textstyle \lambda \mapsto {\tfrac {1}{\lambda }}}$${\textstyle \lambda \mapsto 1-\lambda .}$${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle -1=[-1:1]}$${\textstyle 2={\tfrac {1}{2}}=-1}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{3})}$${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$${\displaystyle -1}$

Для определенных значений будет большая симметрия и, следовательно, меньше шести возможных значений для перекрестного отношения. Эти значения соответствуют неподвижным точкам действия S ₃ на сфере Римана (заданным указанными выше шестью функциями); или, что эквивалентно, точкам с нетривиальным стабилизатором в этой группе перестановок.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

Первый набор фиксированных точек — Однако перекрестное отношение никогда не может принять эти значения, если точки A , B , C и D различны. Эти значения являются предельными значениями, когда одна пара координат приближается друг к другу:${\displaystyle \{0,1,\infty \}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(Z,B;Z,D)&=(A,Z;C,Z)=0,\\[4mu](Z,Z;C,D)&=(A,B;Z,Z)=1,\\[4mu](Z,B;C,Z)&=(A,Z;Z,D)=\infty .\end{aligned}}}$

Второй набор неподвижных точек — это ситуация, которую классически называют${\textstyle {\big \{}{-1},{\tfrac {1}{2}},2{\big \}}.}$гармоническое кросс-отношение , и возникает впроективных гармонических сопряжениях. В реальном случае других исключительных орбит нет.

В комплексном случае наиболее симметричное перекрестное отношение имеет место, когда . Тогда это единственные два значения перекрестного отношения, и на них действуют в соответствии со знаком перестановки.${\displaystyle \lambda =e^{\pm i\pi /3}}$

Двойное отношение инвариантно относительно проективных преобразований прямой. В случае комплексной проективной прямой или сферы Римана эти преобразования известны как преобразования Мёбиуса . Общее преобразование Мёбиуса имеет вид

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.}$

Эти преобразования образуют группу , действующую на сфере Римана , — группу Мёбиуса .

Проективная инвариантность перекрестного отношения означает, что

${\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }$

Двойное отношение является действительным тогда и только тогда, когда четыре точки либо коллинеарны , либо лежат на одной окружности , что отражает тот факт, что каждое преобразование Мёбиуса отображает обобщенные окружности в обобщенные окружности.

Действие группы Мёбиуса просто транзитивно на множестве троек различных точек сферы Римана: для любой упорядоченной тройки различных точек, , существует единственное преобразование Мёбиуса , которое отображает ее в тройку . Это преобразование можно удобно описать с помощью перекрестного отношения: поскольку должно быть равно , которое в свою очередь равно , мы получаем ${\displaystyle (z_{2},z_{3},z_{4})}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle (0,1,\infty )}$${\displaystyle (z,z_{2};z_{3},z_{4})}$${\displaystyle (f(z),1;0,\infty )}$${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}$

Альтернативное объяснение инвариантности кросс-отношения основано на том факте, что группа проективных преобразований прямой порождается переносами, гомотетиями и мультипликативной инверсией. Разности инвариантны относительно переносов${\displaystyle z_{j}-z_{k}}$

${\displaystyle z\mapsto z+a}$

где - константа в основном поле . Кроме того, коэффициенты деления инвариантны относительно гомотетии${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

${\displaystyle z\mapsto bz}$

для ненулевой константы в . Следовательно, перекрестное отношение инвариантно относительно аффинных преобразований .${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

Для того чтобы получить четко определенное отображение инверсии

${\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}$

аффинная прямая должна быть дополнена точкой на бесконечности , обозначенной , образуя проективную прямую . Каждое аффинное отображение может быть однозначно расширено до отображения в себя, которое фиксирует точку на бесконечности. Отображение меняет местами и . Проективная группа порождается и аффинные отображения продолжаются до . В случае , комплексной плоскости , это приводит к группе Мёбиуса . Поскольку перекрестное отношение также инвариантно относительно , ​​оно инвариантно относительно любого проективного отображения в себя.${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$${\displaystyle f:\mathbb {F} \to \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )}$

Если мы запишем комплексные точки как векторы и определим , и пусть будет скалярным произведением на , то действительная часть перекрестного отношения будет иметь вид:${\displaystyle {\vec {x_{n}}}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle x_{nm}=x_{n}-x_{m}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle C_{1}={\frac {(x_{12},x_{14})(x_{23},x_{34})-(x_{12},x_{34})(x_{14},x_{23})+(x_{12},x_{23})(x_{14},x_{34})}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}$

Это инвариант двумерного специального конформного преобразования, такого как инверсия .${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow {\frac {x^{\mu }}{|x|^{2}}}}$

Мнимая часть должна использовать двумерное векторное произведение.${\displaystyle a\times b=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}$

${\displaystyle C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}]-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}]}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}$

Концепция перекрестного отношения зависит только от кольцевых операций сложения, умножения и инверсии (хотя инверсия данного элемента не является определенной в кольце). Один из подходов к перекрестному отношению интерпретирует его как гомографию , которая переводит три обозначенные точки в 0, 1 и ∞ . При ограничениях, связанных с обратными, можно сгенерировать такое отображение с помощью кольцевых операций в проективной прямой над кольцом . Перекрестное отношение четырех точек является оценкой этой гомографии в четвертой точке.

Теория приобретает аспект дифференциального исчисления, когда четыре точки сближаются. Это приводит к теории производной Шварца и, в более общем смысле, проективных связей .

Двойное отношение не обобщается простым образом на более высокие измерения из-за других геометрических свойств конфигураций точек, в частности, коллинеарности – конфигурационные пространства более сложны, и различные k -кортежи точек не находятся в общем положении .

В то время как проективная линейная группа проективной прямой является 3-транзитивной (любые три различные точки могут быть отображены в любые другие три точки), и на самом деле просто 3-транзитивной (существует единственное проективное отображение, переводящее любую тройку в другую тройку), с перекрестным отношением, таким образом, являющимся единственным проективным инвариантом набора из четырех точек, существуют основные геометрические инварианты в более высокой размерности. Проективная линейная группа n -пространства имеет ( n + 1) ² − 1 измерений (потому что это проективизация, удаляющая одно измерение), но в других измерениях проективная линейная группа является только 2-транзитивной - потому что три коллинеарные точки должны быть отображены в три коллинеарные точки (что не является ограничением в проективной прямой) - и, таким образом, не существует "обобщенного перекрестного отношения", обеспечивающего единственный инвариант n ² точек.${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})}$${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),}$

Коллинеарность — не единственное геометрическое свойство конфигураций точек, которое необходимо поддерживать — например, пять точек определяют конику , но шесть общих точек не лежат на конике, поэтому лежит ли любой набор из 6 точек на конике, также является проективным инвариантом. Можно изучать орбиты точек в общем положении — в строке «общее положение» эквивалентно различию, тогда как в более высоких измерениях это требует геометрических соображений, как обсуждалось выше — но, как показывает выше, это сложнее и менее информативно.

Однако существует обобщение на римановы поверхности положительного рода , использующее отображение Абеля–Якоби и тета-функции .

• метрика Гильберта

• Ларс Альфорс (1953,1966,1979) Комплексный анализ , 1-е издание, стр. 25; 2-е и 3-е издания, стр. 78, McGraw-Hill ISBN 0-07-000657-1 . 
• Виктор Блоше (2009) «Систематическое объединение Якоба Штайнера: кульминация классической геометрии», Mathematical Intelligencer 31 (1): 21–9.
• Джон Дж. Милн (1911) Элементарный трактат по геометрии поперечных отношений с историческими примечаниями , Издательство Кембриджского университета .
• Дирк Страйк (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии , стр. 7, Эддисон-Уэсли .
• И. Р. Шафаревич и А. О. Ремизов (2012) Линейная алгебра и геометрия , Springer ISBN 978-3-642-30993-9 . 

• MathPages – Кевин Браун объясняет кросс-пропорцию в своей статье о Мистической Гексаграмме Паскаля
• Cross-Ratio в разрезании узла
• Вайсштейн, Эрик В. «Перекрестное отношение». MathWorld .
• Ardila, Federico (6 июля 2018 г.). "The Cross Ratio" (видео) . youtube . Brady Haran . Архивировано из оригинала 2021-12-12 . Получено 6 июля 2018 г. .