Алгебраическая квантовая теория поля

Алгебраическая квантовая теория поля ( AQFT ) — это приложение к локальной квантовой физике теории C*-алгебры . Также называется аксиоматическим каркасом Хаага–Кастлера для квантовой теории поля , поскольку была введена Рудольфом Хаагом и Даниэлем Кастлером  (1964). Аксиомы сформулированы в терминах алгебры, заданной для каждого открытого множества в пространстве Минковского , и отображений между ними.

Пусть — множество всех открытых и ограниченных подмножеств пространства Минковского. Алгебраическая квантовая теория поля определяется через множество алгебр фон Неймана на общем гильбертовом пространстве, удовлетворяющее следующим аксиомам: ^[1]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \{{\mathcal {A}}(O)\}_{O\in {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(O)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

• Изотония : подразумевает .${\displaystyle O_{1}\subset O_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(O_{1})\subset {\mathcal {A}}(O_{2})}$
• Причинность : Если пространственно-подобно отделено от , то .${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle O_{2}}$${\displaystyle [{\mathcal {A}}(O_{1}), {\mathcal {A}}(O_{2})]=0}$
• Ковариантность Пуанкаре : существует строго непрерывное унитарное представление группы Пуанкаре на такое, что${\displaystyle U({\mathcal {P}})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*},\,\,g\in {\mathcal {P} }.}$
• Условие спектра : Совместный спектр оператора энергии-импульса (т.е. генератора пространственно-временных трансляций) содержится в замкнутом прямом световом конусе.${\displaystyle \mathrm {Sp} (P)}$${\displaystyle P}$
• Существование вакуумного вектора : существует циклический и Пуанкаре-инвариантный вектор .${\displaystyle \Омега \in {\mathcal {H}}}$

Сетевые алгебры называются локальными алгебрами , а алгебра C* называется квазилокальной алгеброй .${\displaystyle {\mathcal {A}}(O)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}}$

Пусть Mink — категория открытых подмножеств пространства Минковского M с отображениями включения как морфизмами . Нам дан ковариантный функтор из Mink в uC*alg , категорию унитальных алгебр C*, такой, что каждый морфизм в Mink отображается в мономорфизм в uC*alg ( изотония ).${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Группа Пуанкаре действует непрерывно на Минке . Существует обратный путь этого действия , который непрерывен в топологии нормы ( ковариантность Пуанкаре ).${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$

Пространство Минковского имеет каузальную структуру . Если открытое множество V лежит в каузальном дополнении открытого множества U , то образ отображений

${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{U,U\cup V})}$

и

${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{V,U\cup V})}$

коммутативность (пространственноподобная коммутативность). Если — каузальное пополнение открытого множества U , то — изоморфизм (примитивная причинность).${\displaystyle {\bar {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{U, {\bar {U}}})}$

Состояние относительно C*-алгебры является положительным линейным функционалом над ней с единичной нормой . Если у нас есть состояние над , мы можем взять " частичный след ", чтобы получить состояния, связанные с для каждого открытого множества через сетевой мономорфизм . Состояния над открытыми множествами образуют структуру предпучка .${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)}$

Согласно конструкции GNS , для каждого состояния мы можем связать представление гильбертова пространства Чистые состояния соответствуют неприводимым представлениям , а смешанные состояния соответствуют приводимым представлениям . Каждое неприводимое представление (с точностью до эквивалентности ) называется сектором суперселекции . Мы предполагаем, что существует чистое состояние, называемое вакуумом , такое, что связанное с ним гильбертово пространство является унитарным представлением группы Пуанкаре , совместимым с ковариантностью Пуанкаре сети, таким образом, что если мы посмотрим на алгебру Пуанкаре , спектр относительно энергии-импульса (соответствующий пространственно-временным трансляциям ) лежит на и в положительном световом конусе . Это сектор вакуума.${\displaystyle {\mathcal {A}}(M).}$

Совсем недавно подход был дополнительно реализован для включения алгебраической версии квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени . Действительно, точка зрения локальной квантовой физики в частности подходит для обобщения процедуры перенормировки на теорию квантовых полей, разработанную на искривленных фонах. Было получено несколько строгих результатов относительно КТП в присутствии черной дыры . ^{[ необходима цитата ]}

• Хааг, Рудольф ; Кастлер, Дэниел (1964), «Алгебраический подход к квантовой теории поля», Журнал математической физики , 5 (7): 848– 861, Bibcode : 1964JMP.....5..848H, doi : 10.1063/1.1704187, ISSN  0022-2488, MR  0165864
• Хааг, Рудольф (1996) [1992], Локальная квантовая физика: поля, частицы, алгебры, теоретическая и математическая физика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-61458-3, ISBN 978-3-540-61451-7, МР  1405610
• Брунетти, Ромео; Фреденхаген, Клаус; Верч, Райнер (2003). «Принцип общековариантной локальности – новая парадигма для локальной квантовой теории поля». Сообщения по математической физике . 237 ( 1– 2): 31– 68. arXiv : math-ph/0112041 . Bibcode :2003CMaPh.237...31B. doi :10.1007/s00220-003-0815-7. S2CID  13950246.
• Брунетти, Ромео; Дютч, Михаэль; Фреденхаген, Клаус (2009). «Пертурбативная алгебраическая квантовая теория поля и группы перенормировки». Успехи теоретической и математической физики . 13 (5): 1541– 1599. arXiv : 0901.2038 . doi :10.4310/ATMP.2009.v13.n5.a7. S2CID  15493763.
• Bär, Christian ; Fredenhagen, Klaus , ред. (2009). Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени: концепции и математические основы. Lecture Notes in Physics. Vol. 786. Springer. doi :10.1007/978-3-642-02780-2. ISBN 978-3-642-02780-2.
• Брунетти, Ромео; Дапьяджи, Клаудио; Фреденхаген, Клаус ; Ингвасон, Якоб , ред. (2015). Достижения алгебраической квантовой теории поля. Исследования по математической физике. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-21353-8. ISBN 978-3-319-21353-8.
• Рейзнер, Кася (2016). Пертурбативная алгебраическая квантовая теория поля: введение для математиков. Исследования по математической физике. Springer. arXiv : 1208.1428 . Bibcode :2016paqf.book.....R. doi :10.1007/978-3-319-25901-7. ISBN 978-3-319-25901-7.
• Хак, Томас-Пол (2016). Космологические приложения алгебраической квантовой теории поля в искривленных пространствах-временах. SpringerBriefs in Mathematical Physics. Том 6. Springer. arXiv : 1506.01869 . Bibcode :2016caaq.book.....H. doi :10.1007/978-3-319-21894-6. ISBN 978-3-319-21894-6. S2CID  119657309.
• Дютч, Михаэль (2019). От классической теории поля к пертурбативной квантовой теории поля. Прогресс в математической физике. Том 74. Биркхойзер. doi : 10.1007/978-3-030-04738-2. ISBN 978-3-030-04738-2. S2CID  126907045.
• Яу, Дональд (2019). Гомотопическая квантовая теория поля. World Scientific. arXiv : 1802.08101 . doi :10.1142/11626. ISBN 978-981-121-287-1. S2CID  119168109.
• Дедушенко, Мыкола (2023). «Белая книга Snowmass: поиск определения QFT». Международный журнал современной физики A. 38 ( 4n05). arXiv : 2203.08053 . doi : 10.1142/S0217751X23300028. S2CID  247450696.

• Local Quantum Physics Crossroads 2.0 – Сеть ученых, работающих над локальной квантовой физикой
• Статьи – База данных препринтов по алгебраической квантовой теории поля
• Алгебраическая квантовая теория поля – ресурсы AQFT в Гамбургском университете