Теорема Альфвена

В идеальной магнитогидродинамике теорема Альвена , или теорема о вмороженном потоке , утверждает, что электропроводящие жидкости и встроенные магнитные поля вынуждены двигаться вместе в пределе больших магнитных чисел Рейнольдса . Она названа в честь Ханнеса Альвена , который выдвинул эту идею в 1943 году.

Теорема Альфвена подразумевает, что магнитная топология жидкости в пределе большого магнитного числа Рейнольдса не может измениться. Это приближение нарушается в токовых слоях , где может происходить магнитное пересоединение .

Концепция замороженных в жидкости магнитных полей с бесконечной электропроводностью была впервые предложена Ханнесом Альфвеном в статье 1943 года под названием «О существовании электромагнитно-гидродинамических волн», опубликованной в журнале Arkiv för matematik, astronomi och fysik . Он писал: ^[1]

Ввиду бесконечной проводимости, всякое движение (перпендикулярное полю) жидкости относительно силовых линий запрещено, поскольку оно дало бы бесконечные вихревые токи . Таким образом, вещество жидкости «прикреплено» к силовым линиям...

«О существовании электромагнитно-гидродинамических волн» интерпретировала результаты более ранней статьи Альфвена «Существование электромагнитно-гидродинамических волн», опубликованной в журнале Nature в 1942 году. ^[2]

Позже Альфвен советовал не использовать свою собственную теорему. ^[3]

Неформально, теорема Альфвена относится к фундаментальному результату в идеальной магнитогидродинамической теории , что электропроводящие жидкости и магнитные поля внутри них вынуждены двигаться вместе в пределе больших магнитных чисел Рейнольдса ( R _m ) — например, когда жидкость является идеальным проводником или когда масштабы скорости и длины бесконечно велики. Движения обоих ограничены тем, что все объемные движения жидкости, перпендикулярные магнитному полю, приводят к соответствующему перпендикулярному движению поля с той же скоростью и наоборот.

Формально связь между движением жидкости и движением магнитного поля подробно описана в двух основных результатах, часто называемых сохранением магнитного потока и сохранением линии магнитного поля . Сохранение магнитного потока подразумевает, что магнитный поток через поверхность, движущуюся со скоростью основной массы жидкости, постоянен, а сохранение линии магнитного поля подразумевает, что если два элемента жидкости соединены линией магнитного поля, то они всегда будут соединены. ^[4]

Теорему Альфвена часто выражают в терминах трубок магнитного потока и линий магнитного поля.

Магнитная потокообразная трубка — это трубчатая или цилиндрическая область пространства, содержащая магнитное поле, так что ее стороны везде параллельны полю. Следовательно, магнитный поток через эти стороны равен нулю, а поперечные сечения вдоль длины трубки имеют постоянный, равный магнитный поток. В пределе большого магнитного числа Рейнольдса теорема Альфвена требует, чтобы эти поверхности постоянного потока двигались вместе с жидкостью, в которую они погружены. Таким образом, магнитные потокообразные трубки вморожены в жидкость.

Пересечение сторон двух магнитных потоковых трубок образует линию магнитного поля, кривую, которая везде параллельна магнитному полю. В жидкостях, где потоковые трубки вморожены, из этого следует, что линии магнитного поля также должны быть вморожены. Однако условия для вмороженных линий поля слабее, чем условия для вмороженных потоковых трубок или, что эквивалентно, для сохранения потока. ^{[5] : 25}

В математических терминах теорема Альфвена утверждает, что в электропроводящей жидкости в пределе большого магнитного числа Рейнольдса магнитный поток Φ _B через ориентируемую открытую материальную поверхность, переносимый макроскопическим , зависящим от пространства и времени полем скорости ^{[примечание 1]} v , постоянен, или

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0,}$

где D / Dt = ∂/∂ t + ( v ⋅ ∇) — адвективная производная .

В идеальной магнитогидродинамике магнитная индукция доминирует над магнитной диффузией на изучаемых скоростных и длиновых масштабах. Тогда член диффузии в определяющем уравнении индукции предполагается малым по сравнению с членом индукции и им пренебрегают. Тогда уравнение индукции сводится к своей идеальной форме:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$

Сохранение магнитного потока через материальные поверхности, погруженные в жидкость, следует непосредственно из уравнения идеальной индукции и предположения об отсутствии магнитных монополей через закон Гаусса для магнетизма . ^{[6] [7]}

В электропроводящей жидкости с зависящим от пространства и времени магнитным полем B и полем скорости v произвольная, ориентируемая, открытая поверхность S ₁ в момент времени t переносится v за малое время δt на поверхность S ₂ . Скорость изменения магнитного потока через поверхность при его переносе от S ₁ к S ₂ тогда равна

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\iint _{S_{2}}\mathbf {B} ( t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {S} _{1}}{\delta t}}.}$

Поверхностный интеграл по S ₂ можно перевыразить, применив закон Гаусса для магнетизма, предположив, что магнитный поток через замкнутую поверхность, образованную S ₁ , S ₂ , и поверхность S ₃ , которая соединяет границы S ₁ и S _{2 ,} равен нулю. В момент времени t + δt это соотношение можно выразить как

${\displaystyle 0=-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}+\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}+\iint _{S_{3}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{3},}$

где смысл S ₁ был изменен так, что d S 1 указывает наружу из замкнутого объема. В поверхностном интеграле по S 3 дифференциальный элемент поверхности d S 3 = _d l × _v δt , где _d l — линейный элемент вокруг границы ∂ S 1 поверхности S 1. _{Решение} для поверхностного _{интеграла} по S ₂ затем дает

${\displaystyle \iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2} = \iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \ \delta t\times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} ,}$

где последний член был переписан с использованием свойств скалярных тройных произведений и взято приближение первого порядка . Подставляя это в выражение для D Φ _B / Dt и упрощая результаты в

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}\iint _{S_{1}}{\frac {\mathbf {B} (t+\delta t)-\mathbf {B} (t)}{\delta t}}\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} .\end{aligned}}}$

Применяя определение частной производной к подынтегральному выражению первого члена, применяя теорему Стокса ко второму члену и объединяя полученные поверхностные интегралы, получаем

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\iint _{S_{1}}\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\cdot d\mathbf {S} _{1}.}$

Используя идеальное уравнение индукции, подынтегральное выражение обращается в нуль, и

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0.}$

Сохранение линии поля можно также вывести математически, используя уравнение идеальной индукции, закон Гаусса для магнетизма и уравнение непрерывности массы. ^[5]

Идеальное уравнение индукции можно переписать, используя векторное тождество и закон Гаусса для магнетизма, как

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {B} -\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {v} ).}$

Используя уравнение непрерывности массы,

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\rho =-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,}$

Идеальное уравнение индукции можно далее перестроить, чтобы получить

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)=\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\cdot \nabla \right)\mathbf {v} .}$

Аналогично, для отрезка линии δ l , где v — скорость плазмы на одном конце, а v + δ v — скорость на другом конце, дифференциальная скорость между двумя концами равна δ v = ( δ l ⋅ ∇) v и

${\displaystyle {\frac {D\delta \mathbf {l} }{Dt}}=(\delta \mathbf {l} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$,

которое имеет тот же вид, что и уравнение, полученное ранее для B / ρ . Поэтому, если δ l и B изначально параллельны, они останутся параллельными.

Хотя сохранение потока подразумевает сохранение линий поля (см. § Трубки потока и линии поля), условия для последнего слабее, чем условия для первого. В отличие от условий сохранения потока, условия сохранения линий поля могут быть выполнены, когда в идеальном уравнении индукции присутствует дополнительный член источника, параллельный магнитному полю.

Математически, для того, чтобы линии поля были заморожены, жидкость должна удовлетворять

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\times \mathbf {B} =0,}$

В то время как для сохранения потока жидкость должна удовлетворять более сильному условию, налагаемому идеальным уравнением индукции. ^{[8] [9]}

Теорема циркуляции Кельвина утверждает, что вихревые трубки, движущиеся с идеальной жидкостью, приморожены к жидкости, аналогично тому, как магнитные трубки, движущиеся с идеально проводящей идеальной МГД-жидкостью, приморожены к жидкости. Идеальное уравнение индукции имеет ту же форму, что и уравнение для завихренности ω = ∇ × v в идеальной жидкости, где v — поле скорости:

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}).}$

Однако уравнение индукции является линейным, тогда как в уравнении вихреобразования существует нелинейная связь между ∇ × v и v ^{. [9]}

Теорема Альвена показывает, что топология магнитного поля не может измениться в идеально проводящей жидкости. Однако в случае сложных или турбулентных потоков это привело бы к сильно запутанным магнитным полям с очень сложной топологией, которые должны препятствовать движению жидкости. Астрофизическая плазма с высокой электропроводностью обычно не показывает такие сложные запутанные поля. Магнитное пересоединение , по-видимому, происходит в этой плазме в отличие от того, что можно было бы ожидать от условий замораживания потока. Это имеет важные последствия для магнитных динамо . Фактически, очень высокая электропроводность приводит к высоким магнитным числам Рейнольдса, что указывает на то, что плазма будет турбулентной. ^[10]

Даже для неидеального случая, когда электропроводность не бесконечна, аналогичный результат можно получить, определив скорость переноса магнитного потока следующим образом:

${\displaystyle \nabla \times ({\bf {{w}\times {\bf {{B})=\eta \nabla ^{2}{\bf {{B}+\nabla \times ({\bf {{v}\times {\bf {{B}),}}}}}}}}}}}$

в котором вместо скорости жидкости v использовалась скорость потока w . Хотя в некоторых случаях это поле скорости можно найти с помощью уравнений магнитной гидродинамики , существование и единственность этого векторного поля зависят от базовых условий. ^[11]

Исследования в 21 веке утверждают, что классическая теорема Альвена несовместима с явлением спонтанной стохастичности. Стохастические законы сохранения, разработанные для описания гидродинамического поведения, как показано, применимы и в магнитогидродинамическом режиме. Использование тех же инструментов дает результаты, эквивалентные результатам классической теоремы Альвена в идеальных условиях, а также описывает сохранение потока и магнитное пересоединение в неидеальных (реальных) условиях. Таким образом, стохастические решения замораживания потока могут обеспечить лучшее описание наблюдаемых явлений, не полагаясь на идеализированные условия, которые редки или даже отсутствуют в наблюдаемой среде. ^{[12] [13]}

Эта обобщенная теорема утверждает, что линии магнитного поля мелкозернистого магнитного поля B «вморожены» в стохастические траектории, решающие следующее стохастическое дифференциальное уравнение , известное как уравнение Ланжевена :

${\displaystyle d{\bf {x}}={\bf {u}}({\bf {x}},t)dt+{\sqrt {2\eta }}d{\bf {W}}(t)}$

где η — магнитная диффузия, а W — трехмерный гауссовский белый шум (см. также процесс Винера ). Множество векторов виртуального поля, которые достигают одной и той же конечной точки, должны быть усреднены для получения физического магнитного поля в этой точке. ^[14]

• Альфвеновская волна
• Магнитное давление
• Магнитное натяжение