3-й символ

В квантовой механике символы Вигнера 3-j , также называемые символами 3 -jm , являются альтернативой коэффициентам Клебша–Гордана для сложения угловых моментов. ^[1] Хотя оба подхода решают одну и ту же физическую задачу, символы 3- j делают это более симметрично.

Символы 3- j задаются через коэффициенты Клебша–Гордана следующим образом:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1 )^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2} \,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}$

Компоненты j и m являются квантовыми числами углового момента, т. е. каждое j (и каждое соответствующее m ) является либо неотрицательным целым числом, либо полунечетным целым числом . Показатель степени знакового множителя всегда является целым числом, поэтому он остается тем же при транспонировании влево, а обратное соотношение следует при выполнении замены m ₃ → − m ₃ :

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle =(-1)^{-j_{ 1}+j_{2}-m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_ {2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{выровнено}}}$

где находится дельта Кронекера .${\displaystyle \delta (i,j)}$

Суммирование производится по тем целым значениям k, для которых аргумент каждого факториала в знаменателе неотрицателен, т.е. пределы суммирования K и N принимаются равными: нижний верхний Факториалы отрицательных чисел условно принимаются равными нулю, так что значения символа 3 j при, например, или автоматически устанавливаются равными нулю.${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-j_{3}-m_{1},j_{1}-j_{3}+m_{2}),}$${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-j_{3},j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$

Коэффициенты CG определяются таким образом, чтобы выразить сложение двух угловых моментов через третий:

${\displaystyle |j_{3}\,m_{3}\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_ {2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_ {1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle .}$

С другой стороны, символы 3- j представляют собой коэффициенты, с которыми необходимо сложить три момента импульса, чтобы результат был равен нулю:

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _ {m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3} \rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=|0\,0\rangle .}$

Здесь представлено состояние с нулевым угловым моментом ( ). Очевидно, что символ 3- j рассматривает все три угловых момента, участвующих в задаче сложения, на равных основаниях и, следовательно, является более симметричным, чем коэффициент CG.${\displaystyle |0\,0\rangle }$${\displaystyle j=m=0}$

Поскольку состояние не изменяется при вращении, можно также сказать, что сокращение произведения трех вращательных состояний с символом 3- j инвариантно относительно вращений.${\displaystyle |0\,0\rangle }$

Символ Вигнера 3- j равен нулю, если не выполнены все следующие условия:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{i}\in \{-j_{i},-j_{i}+1,-j_{i}+2,\ldots ,j_{i}\}\quad (i=1,2,3),\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,\\&|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2},\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ является целым числом (и, более того, четным числом, если }}m_{1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{)}}.\\\end{aligned}}}$

Символ 3- j инвариантен относительно четной перестановки его столбцов:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Нечетная перестановка столбцов дает фазовый множитель:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle =(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.}$

Изменение знака квантовых чисел ( обращение времени ) также дает фазу:${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Символы 3- j также имеют так называемые симметрии Редже, которые не являются следствием перестановок или обращения времени. ^[2] Эти симметрии таковы:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2}}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.}$

С симметриями Редже символ 3- j имеет в общей сложности 72 симметрии. Они лучше всего отображаются определением символа Редже, которое является однозначным соответствием между ним и символом 3- j и предполагает свойства полумагического квадрата: ^[3]

${\displaystyle R={\begin{array}{|ccc|}\hline -j_{1}+j_{2}+j_{3}&j_{1}-j_{2}+j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hline \end{array}},}$

где 72 симметрии теперь соответствуют 3! строкам и 3! столбцам, а также транспонированию матрицы. Эти факты можно использовать для разработки эффективной схемы хранения. ^[3]

Система из двух угловых моментов с величинами j ₁ и j ₂ может быть описана либо в терминах несвязанных базисных состояний (обозначенных квантовыми числами m ₁ и m ₂ ), либо связанных базисных состояний (обозначенных j ₃ и m ₃ ). Символы 3- j представляют собой унитарное преобразование между этими двумя базисами, и эта унитарность подразумевает соотношения ортогональности

${\displaystyle (2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}},}$

${\displaystyle \sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.}$

Треугольная дельта { j ₁  j ₂  j ₃ } равна 1, когда триада ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) удовлетворяет условиям треугольника, и равна нулю в противном случае. Сама треугольная дельта иногда ошибочно называется ^[4] "3- j символом" (без m ) по аналогии с 6- j и 9- j символами, все из которых являются неприводимыми суммами 3- jm символов, где не остается m переменных.

Символы 3- jm дают интеграл произведений трех сферических гармоник ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

с , и целыми числами. Эти интегралы называются коэффициентами Гаунта.${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle l_{2}}$${\displaystyle l_{3}}$

Аналогичные соотношения существуют для спин-взвешенных сферических гармоник, если :${\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int d\mathbf {\hat {n}} \,_{s_{1}}\!Y_{j_{1}m_{1}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{2}}\!Y_{j_{2}m_{2}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{3}}\!Y_{j_{3}m_{3}}(\mathbf {\hat {n}} )\\&\quad ={\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{-}{\sqrt {(l_{3}\mp s_{3})(l_{3}\pm s_{3}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}=\\&\quad ={\sqrt {(l_{1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Для ненулевого 3- j символа это${\displaystyle l_{1}\ll l_{2},l_{3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}},}$

где , и является функцией Вигнера . Обычно лучшее приближение, подчиняющееся симметрии Редже, дается выражением ${\displaystyle \cos(\theta )=-2m_{3}/(2l_{3}+1)}$${\displaystyle d_{mn}^{l}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {l_{2}+l_{3}+1}}},}$

где .${\displaystyle \cos(\theta )=(m_{2}-m_{3})/(l_{2}+l_{3}+1)}$

Следующая величина действует как метрический тензор в теории углового момента и также известна как символ Вигнера 1-jm : ^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j\\m\quad m'\end{pmatrix}}:={\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j&0&j\\m&0&m'\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m'}\delta _{m,-m'}.}$

Его можно использовать для обращения времени в угловых моментах.

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {2j+1}}\,\delta _{J,0}.}$

Из уравнения (3.7.9) в ^[6]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j&j&0\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2j+1}}}(-1)^{j-m}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2},}$

где P — полиномы Лежандра .

Символы Вигнера 3- j связаны с коэффициентами Рака V ^[7] простой фазой:

${\displaystyle V(j_{1}\,j_{2}\,j_{3};m_{1}\,m_{2}\,m_{3})=(-1)^{j_{1}-j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

В этом разделе по существу переосмысливается дефиниционное отношение на языке теории групп.

Групповое представление группы — это гомоморфизм группы в группу линейных преобразований над некоторым векторным пространством. Линейные преобразования могут быть заданы группой матриц относительно некоторого базиса векторного пространства.

Группа преобразований, оставляющая инвариантными угловые моменты, — это трехмерная группа вращений SO(3) . Когда включаются «спиновые» угловые моменты, группа является ее двойной охватывающей группой , SU(2) .

Приводимое представление — это представление, в котором можно применить изменение базиса, чтобы привести все матрицы к блочно-диагональной форме. Представление является неприводимым (irrep), если такого преобразования не существует.

Для каждого значения j 2 j +1 кетов образуют основу для неприводимого представления (irrep) SO(3)/SU(2) над комплексными числами. При наличии двух irreps тензорное прямое произведение может быть сведено к сумме irreps, что приводит к коэффициентам Клебша-Гордона, или путем сведения тройного произведения трех irreps к тривиальному irrep 1, что приводит к символам 3j.

Символ наиболее интенсивно изучался в контексте связи углового момента. Для этого он тесно связан с теорией представления групп SU(2) и SO(3), как обсуждалось выше. Однако многие другие группы важны в физике и химии , и было проведено много работ по символу для этих других групп. В этом разделе рассматривается часть этой работы.${\displaystyle 3j}$${\displaystyle 3j}$

Оригинальная статья Вигнера ^[1] не ограничивалась SO(3)/SU(2), а вместо этого фокусировалась на просто приводимых (SR) группах. Это группы, в которых

• все классы амбивалентны, т.е. если является членом класса, то и он является его членом.${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{-1}}$
• Произведение Кронекера двух нереализованных элементов не имеет кратности, т.е. не содержит ни один нереализованный элемент более одного раза.

Для групп SR каждый непересекающийся элемент эквивалентен своему комплексно сопряженному элементу, и при перестановках столбцов абсолютное значение символа остается неизменным, а фазу каждого можно выбрать так, чтобы они не более чем меняли знак при нечетных перестановках и оставались неизменными при четных перестановках.

Компактные группы образуют широкий класс групп с топологической структурой . Они включают конечные группы с добавленной дискретной топологией и многие группы Ли .

Общие компактные группы не будут ни амбивалентными, ни свободными от кратности. Дером и Шарп ^[8] и Дером ^[9] исследовали символ для общего случая, используя связь с коэффициентами Клебша-Гордона${\displaystyle 3j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {1}{[j_{3}]}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}^{*}\,m_{3}\rangle .}$

где — размерность пространства представления, а — комплексно-сопряженное представление к .${\displaystyle [j]}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j_{3}^{*}}$${\displaystyle j_{3}}$

Исследуя перестановки столбцов символа , они выявили три случая:${\displaystyle 3j}$

• если все из неэквивалентны, то символ может быть выбран инвариантным при любой перестановке его столбцов${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}$${\displaystyle 3j}$
• если эквивалентны ровно два, то транспозиции его столбцов могут быть выбраны так, что некоторые символы будут инвариантными, а другие изменят знак. Подход с использованием сплетения группы с ^[10] показал, что они соответствуют представлениям или симметричной группы . Циклические перестановки оставляют символ инвариантным.${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle [2]}$${\displaystyle [1^{2}]}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle 3j}$
• если все три эквивалентны, поведение зависит от представлений симметрической группы . Представления группы сплетений, соответствующие , инвариантны относительно транспозиций столбцов, соответствующие меняют знак при транспозициях, в то время как пара, соответствующая двумерному представлению, преобразуется в соответствии с этим.${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle [3]}$${\displaystyle [1^{3}]}$${\displaystyle [21]}$

Дальнейшие исследования символов для компактных групп были проведены на основе этих принципов. ^[11]${\displaystyle 3j}$

Специальная унитарная группа SU(n) — это группа Ли n × n унитарных матриц с определителем 1.

Группа SU(3) играет важную роль в теории частиц . Существует много статей, посвященных или эквивалентному символу ^{[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]}${\displaystyle 3j}$

Символ для группы SU(4) был изучен ^{[20] [21]} , в то время как есть также работа по общим группам SU(n) ^{[22] [23]}${\displaystyle 3j}$

Существует много работ, посвященных символам или коэффициентам Клебша-Гордона для конечных кристаллографических точечных групп и двойных точечных групп. Книга Батлера ^[24] ссылается на них и подробно описывает теорию вместе с таблицами.${\displaystyle 3j}$

Магнитные группы включают антилинейные операторы, а также линейные операторы. С ними нужно иметь дело, используя теорию Вигнера о корепрезентациях унитарных и антиунитарных групп . Значительное отклонение от стандартной теории представлений заключается в том, что кратность неприводимого корепрезентации в прямом произведении неприводимых корепрезентаций, как правило, меньше кратности тривиального корепрезентации в тройном произведении , что приводит к значительным различиям между коэффициентами Клебша-Гордона и символом.${\displaystyle j_{3}^{*}}$${\displaystyle j_{1}\otimes j_{2}}$${\displaystyle j_{1}\otimes j_{2}\otimes j_{3}}$${\displaystyle 3j}$

Символы были рассмотрены для серых групп ^{[25] [26]} и для магнитных точечных групп ^[27].${\displaystyle 3j}$

• Коэффициенты Клебша–Гордана
• Сферические гармоники
• 6-й символ
• символ 9-j
• Представления классических групп Ли

• Стоун, Энтони. «Калькулятор коэффициента Вигнера».
• Воля, А. "Веб-калькулятор коэффициентов Клебша-Гордана, 3-j и 6-j". Архивировано из оригинала 29-09-2007.(Числовой)
• Стивенсон, Пол (2002). "Clebsch-O-Matic". Computer Physics Communications . 147 (3): 853–858. Bibcode : 2002CoPhC.147..853S. doi : 10.1016/S0010-4655(02)00462-9.
• Калькулятор на 369j-символов в Лаборатории плазмы Института Вейцмана (числовой)
• Фредерик Дж. Саймонс: Архив программного обеспечения Matlab, код THREEJ.M
• Sage (математическое программное обеспечение) Дает точный ответ для любого значения j, m
• Йоханссон, ХТ; Форссен, К. "(WIGXJPF)".(точный; C, Fortran, Python)
• Йоханссон, ХТ "(FASTWIGXJ)".(быстрый поиск, точность; C, Fortran)