Сферические гармоники со спиновым весом

В специальных функциях , теме в математике , спин-взвешенные сферические гармоники являются обобщениями стандартных сферических гармоник и — как и обычные сферические гармоники — являются функциями на сфере . В отличие от обычных сферических гармоник, спин-взвешенные гармоники являются калибровочными полями U(1), а не скалярными полями : математически они принимают значения в комплексном линейном расслоении . Спин-взвешенные гармоники организованы по степени l , как и обычные сферические гармоники, но имеют дополнительный спиновый вес s , который отражает дополнительную симметрию U(1) . Специальный базис гармоник может быть получен из сферических гармоник Лапласа Y _lm , и обычно обозначается как _s Y _lm , где l и m — обычные параметры, знакомые по стандартным сферическим гармоникам Лапласа. В этом специальном базисе спин-взвешенные сферические гармоники появляются как фактические функции, поскольку выбор полярной оси фиксирует калибровочную неоднозначность U(1) . Сферические гармоники со спиновым весом могут быть получены из стандартных сферических гармоник путем применения операторов повышения и понижения спина . В частности, сферические гармоники со спиновым весом s = 0 являются просто стандартными сферическими гармониками:

${\displaystyle {}_{0}Y_{lm}=Y_{lm}\ .}$

Пространства спин-взвешенных сферических гармоник были впервые идентифицированы в связи с теорией представления группы Лоренца (Гельфанд, Минлос и Шапиро, 1958). Впоследствии они были независимо переоткрыты Ньюменом и Пенроузом (1966) и применены для описания гравитационного излучения , а затем Ву и Янгом (1976) в качестве так называемых «монопольных гармоник» при изучении монополей Дирака .

Рассмотрим сферу S ² как вложенную в трехмерное евклидово пространство R ³ . В точке x на сфере положительно ориентированный ортонормированный базис касательных векторов в точке x — это пара векторов a , b такая, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {a } =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &=1\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {x} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )&>0,\end{aligned}}}$

где первая пара уравнений утверждает, что a и b касаются в точке x , вторая пара утверждает, что a и b являются единичными векторами , предпоследнее уравнение утверждает, что a и b ортогональны , а последнее уравнение утверждает, что ( x , a , b ) является правым базисом R ³ .

Спин-весовая функция s f — это функция, принимающая в качестве входных данных точку x из S ² и положительно ориентированный ортонормированный базис касательных векторов в точке x , такой, что

${\displaystyle f{\bigl (}\mathbf {x},(\cos \theta)\mathbf {a} -(\sin \theta)\mathbf {b},(\sin \theta)\mathbf {a} +(\cos \theta )\mathbf {b} {\bigr )}=e^{is\theta }f(\mathbf {x},\mathbf {a},\mathbf {b})}$

для каждого угла поворота θ .

Следуя Иствуду и Тоду (1982), обозначим совокупность всех спин-весовых функций s через B ( s ) . Конкретно, они понимаются как функции f на C ² \{0 }, удовлетворяющие следующему закону однородности при комплексном масштабировании

${\displaystyle f\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)=\left({\frac {\overline {\lambda }}{\lambda }}\right)^{s}f\left(z,{\bar {z}}\right).}$

Это имеет смысл, если s — полуцелое число.

Абстрактно, B ( s ) изоморфно гладкому векторному расслоению, лежащему в основе антиголоморфного векторного расслоения O (2 s ) скручивания Серра на комплексной проективной прямой CP ¹ . Сечение последнего расслоения является функцией g на C ² \{0 }, удовлетворяющей

${\displaystyle g\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)={\overline {\lambda }}^{2s}g\left(z,{\bar {z}}\right).}$

При наличии такого g мы можем получить функцию спин-веса s , умножив ее на подходящую степень эрмитовой формы

${\displaystyle P\left(z,{\bar {z}}\right)=z\cdot {\bar {z}}.}$

В частности, f = P ^{− s} g — это спин-весовая s -функция. Ассоциация спин-весовой функции с обычной однородной функцией является изоморфизмом.

Спиновые весовые пучки B ( s ) снабжены дифференциальным оператором ð ( eth ). Этот оператор по сути является оператором Дольбо , после того как были сделаны соответствующие идентификации,

${\displaystyle \partial :{\overline {\mathbf {O} (2s)}}\to {\mathcal {E}}^{1,0}\otimes {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\cong {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\otimes \mathbf {O} (-2).}$

Таким образом, для f ∈ B ( s ) ,

${\displaystyle \eth f\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ P^{-s+1}\partial \left(P^{s}f\right)}$

определяет функцию спин-веса s + 1 .

Так же, как обычные сферические гармоники являются собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами на сфере, спин-весовые s -гармоники являются собственными сечениями для оператора Лапласа-Бельтрами, действующего на пучки E ( s ) спин-весовых s -функций.

Спин-взвешенные гармоники могут быть представлены как функции на сфере, как только точка на сфере была выбрана в качестве Северного полюса. По определению, функция η со спиновым весом s преобразуется при вращении вокруг полюса через

${\displaystyle \eta \rightarrow e^{is\psi }\eta .}$

Работая в стандартных сферических координатах, мы можем определить конкретный оператор ð, действующий на функцию η , как:

${\displaystyle \eth \eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\eta \right].}$

Это дает нам еще одну функцию θ и φ . (Оператор ð фактически является ковариантным производным оператором в сфере.)

Важным свойством новой функции ðη является то, что если η имела спиновый вес s , то ðη имеет спиновый вес s + 1. Таким образом, оператор увеличивает спиновый вес функции на 1. Аналогично можно определить оператор ð, который уменьшит спиновый вес функции на 1:

${\displaystyle {\bar {\eth }}\eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{s}\eta \right].}$

Сферические гармоники со спиновым весом затем определяются в терминах обычных сферических гармоник следующим образом:

${\displaystyle {}_{s}Y_{lm}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {(l-s)!}{(l+s)!}}}\ \eth ^{s}Y_{lm},&&0\leq s\leq l;\\{\sqrt {\frac {(l+s)!}{(l-s)!}}}\ \left(-1\right)^{s}{\bar {\eth }}^{-s}Y_{lm},&&-l\leq s\leq 0;\\0,&&l<|s|.\end{cases}}}$

Тогда функции _s Y _lm обладают свойством преобразования со спиновым весом s .

Другие важные свойства включают в себя следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}\eth \left({}_{s}Y_{lm}\right)&=+{\sqrt {(l-s)(l+s+1)}}\,{}_{s+1}Y_{lm};\\{\bar {\eth }}\left({}_{s}Y_{lm}\right)&=-{\sqrt {(l+s)(l-s+1)}}\,{}_{s-1}Y_{lm};\end{aligned}}}$

Гармоники ортогональны по всей сфере:

${\displaystyle \int _{S^{2}}{}_{s}Y_{lm}\,{}_{s}{\bar {Y}}_{l'm'}\,dS=\delta _{ll'}\delta _{mm'},}$

и удовлетворяют соотношению полноты

${\displaystyle \sum _{lm}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}\left(\theta ',\phi '\right){}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\delta \left(\phi '-\phi \right)\delta \left(\cos \theta '-\cos \theta \right)}$

Эти гармоники можно явно вычислить несколькими методами. Очевидное рекурсивное отношение получается из многократного применения повышающих или понижающих операторов. Формулы для прямого вычисления были выведены Голдбергом и др. (1967). Обратите внимание, что их формулы используют старый выбор для фазы Кондона–Шортли. Выбранное ниже соглашение согласуется, например, с Mathematica.

Наиболее полезной из формул Голдберга и др. является следующая:

${\displaystyle {}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\left(-1\right)^{l+m-s}{\sqrt {\frac {(l+m)!(l-m)!(2l+1)}{4\pi (l+s)!(l-s)!}}}\sin ^{2l}\left({\frac {\theta }{2}}\right)e^{im\phi }\times \sum _{r=0}^{l-s}\left(-1\right)^{r}{l-s \choose r}{l+s \choose r+s-m}\cot ^{2r+s-m}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\,.}$

Блокнот Mathematica, использующий эту формулу для расчета произвольных спин-взвешенных сферических гармоник, можно найти здесь.

С учетом фазового соглашения здесь:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}&=\left(-1\right)^{s+m}{}_{-s}Y_{l(-m)}\\{}_{s}Y_{lm}(\pi -\theta ,\phi +\pi )&=\left(-1\right)^{l}{}_{-s}Y_{lm}(\theta ,\phi ).\end{aligned}}}$

Аналитические выражения для первых нескольких ортонормированных спин-взвешенных сферических гармоник:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{1}Y_{10}(\theta ,\phi )&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\,\sin \theta \\{}_{1}Y_{1\pm 1}(\theta ,\phi )&=-{\sqrt {\frac {3}{16\pi }}}(1\mp \cos \theta )\,e^{\pm i\phi }\end{aligned}}}$

${\displaystyle D_{-ms}^{l}(\phi ,\theta ,-\psi )=\left(-1\right)^{m}{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}{}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )e^{is\psi }}$

Это соотношение позволяет вычислять спиновые гармоники с использованием рекурсивных соотношений для D -матриц .

Тройной интеграл в случае, когда s ₁ + s ₂ + s ₃ = 0, задается через символ 3 -j :

${\displaystyle \int _{S^{2}}\,{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}\,{}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}\,{}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}={\sqrt {\frac {\left(2j_{1}+1\right)\left(2j_{2}+1\right)\left(2j_{3}+1\right)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}}$

• Сферическая основа

• Dray, Tevian (май 1985), «Взаимосвязь между монопольными гармониками и спин-взвешенными сферическими гармониками», J. Math. Phys. , 26 (5), Американский институт физики: 1030– 1033, Bibcode : 1985JMP....26.1030D, doi : 10.1063/1.526533.
• Иствуд, Майкл; Тод, Пол (1982), «Эдт — дифференциальный оператор на сфере», Математические труды Кембриджского философского общества , 92 (2): 317– 330, Bibcode : 1982MPCPS..92..317E, doi : 10.1017/S0305004100059971, S2CID  121025245.
• Гельфанд, ИМ ; Минлос, Роберт А.; Шапиро, З.Я. (1958), Представления группы врачей и группы Лоренца, их применения , Государства. Издат. Физ.-Мат. Лит., Москва, МР  0114876; (1963) Представления групп вращения и Лоренца и их приложения (перевод). Macmillan Publishers.
• Goldberg, JN; Macfarlane, AJ; Newman, ET; Rohrlich, F.; Sudarshan, ECG (ноябрь 1967 г.), "Сферические гармоники спина и ð", J. Math. Phys. , 8 (11), Американский институт физики: 2155– 2161, Bibcode : 1967JMP.....8.2155G, doi : 10.1063/1.1705135 (Примечание: как упоминалось выше, в данной статье используется вариант фазы Кондона-Шортли, который больше не является стандартным.)
• Ньюман, ET ; Пенроуз, Р. (май 1966), «Заметка о группе Бонди-Мецнера-Сакса», J. Math. Phys. , 7 (5), Американский институт физики: 863– 870, Bibcode :1966JMP.....7..863N, doi :10.1063/1.1931221.
• У, Тай Цун; Ян, Чэнь Нин (1976), «Монополь Дирака без струн: монопольные гармоники», Nuclear Physics B , 107 (3): 365– 380, Bibcode : 1976NuPhB.107..365W, doi : 10.1016/0550-3213(76)90143-7, MR  0471791.