Функция плотности вероятности 2-EPT
Функция плотности 2-EPT
Параметры

( А Н , б Н , с Н , А П , б П , с П ) {\displaystyle ({\textbf {A}}_{N}, {\textbf {b}}_{N}, {\textbf {c}}_{N}, {\textbf {A}}_{P },{\textbf {b}}_{P},{\textbf {c}}_{P})}

Р е ( σ ( А П ) ) < 0 {\displaystyle {\mathfrak {Re}}(\sigma ({\textbf {A}}_{P}))<0}

Р е ( σ ( А Н ) ) > 0 {\displaystyle {\mathfrak {Re}}(\sigma ({\textbf {A}}_{N}))>0}
Поддерживать х ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}
PDF ф ( х ) = { с Н е А Н х б Н если  х < 0 с П е А П х б П если  х ≥ 0 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\textbf {c}}_{N}e^{{\textbf {A}}_{N}x}{\textbf {b}}_{N}&{\text{if }}x<0\\[8pt]{\textbf {c}}_{P}e^{{\textbf {A}}_{P}x}{\textbf {b}}_{P}&{\text{if }}x\geq 0\end{matrix}}\right.}
СДФ Ф ( х ) = { с Н А Н − 1 е А Н х б Н если  х < 0 1 + с П А П − 1 е А П х б П если  х ≥ 0 {\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}{\textbf {c}}_{N}{\textbf {A}}_{N}^{-1}e^{{\textbf {A}}_{N}x}{\textbf {b}}_{N}&{\text{if }}x<0\\[8pt]1+{\textbf {c}}_{P}{\textbf {A}}_{P}^{-1}e^{{\textbf {A}}_{P}x}{\textbf {b}}_{P}&{\text{if }}x\geq 0\end{matrix}}\right.}
Иметь в виду − с Н ( − А Н ) − 2 б Н + с П ( − А П ) − 2 б П {\displaystyle -{\textbf {c}}_{N}(-{\textbf {A}}_{N})^{-2}{\textbf {b}}_{N}+{\textbf {c}}_{P}(-{\textbf {A}}_{P})^{-2}{\textbf {b}}_{P}}
CF − c N ( I i u − A N ) − 1 b N + c P ( I i u − A P ) − 1 b P {\displaystyle -{\textbf {c}}_{N}(Iiu-{\textbf {A}}_{N})^{-1}{\textbf {b}}_{N}+{\textbf {c}}_{P}(Iiu-{\textbf {A}}_{P})^{-1}{\textbf {b}}_{P}}

В теории вероятностей функция плотности вероятности 2-EPT — это класс функций плотности вероятности на действительной прямой. Класс содержит функции плотности всех распределений, которые имеют характеристические функции , являющиеся строго правильными рациональными функциями (т. е. степень числителя строго меньше степени знаменателя).

Определение

Функция плотности вероятности 2-EPT — это функция плотности вероятности на со строго правильной рациональной характеристической функцией . На или эти функции плотности вероятности являются экспоненциально-полиномиально-тригонометрическими (EPT) функциями. R {\displaystyle \mathbb {R} } [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle [0,+\infty )} ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle (-\infty ,0)}

Любая функция плотности EPT может быть представлена ​​как ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle (-\infty ,0)}

f ( x ) = c N e A N x b N , {\displaystyle f(x)={\textbf {c}}_{N}e^{{\textbf {A}}_{N}x}{\textbf {b}}_{N},}

где e представляет собой матричную экспоненту, — квадратные матрицы, — векторы столбцов, — векторы строк. Аналогично функция плотности EPT на выражается как ( A N , A P ) {\displaystyle ({\textbf {A}}_{N},{\textbf {A}}_{P})} ( b N , b P ) {\displaystyle ({\textbf {b}}_{N},{\textbf {b}}_{P})} ( c N , c P ) {\displaystyle ({\textbf {c}}_{N},{\textbf {c}}_{P})} [ 0 , − ∞ ) {\displaystyle [0,-\infty )}

f ( x ) = c P e A P x b P . {\displaystyle f(x)={\textbf {c}}_{P}e^{{\textbf {A}}_{P}x}{\textbf {b}}_{P}.}

Параметризация представляет собой минимальную реализацию [1] функции 2-EPT. ( A N , b N , c N , A P , b P , c P ) {\displaystyle ({\textbf {A}}_{N},{\textbf {b}}_{N},{\textbf {c}}_{N},{\textbf {A}}_{P},{\textbf {b}}_{P},{\textbf {c}}_{P})}

Общий класс вероятностных мер на с (собственными) рациональными характеристическими функциями — это плотности, соответствующие смесям точечной массы в нуле (« дельта-распределение ») и плотностей 2-EPT. В отличие от распределений фазового типа и матричных геометрических [2] , функции плотности вероятности 2-EPT определены на всей действительной прямой. Было показано, что класс плотностей 2-EPT замкнут относительно многих операций, и с использованием минимальных реализаций эти вычисления были проиллюстрированы для двусторонней структуры в Секстоне и Ханзоне. [3] Наиболее сложной операцией является свертка плотностей 2-EPT с использованием методов пространства состояний. Большая часть работы сосредоточена на способности разлагать рациональную характеристическую функцию в сумму двух рациональных функций с полюсами, расположенными либо в открытой левой, либо в открытой правой полуплоскости. Было показано, что плотность распределения дисперсии-гаммы является плотностью 2-EPT при ограничении параметра. [4] R {\displaystyle \mathbb {R} }

Примечания

  1. ^ Kailath, T. (1980) Линейные системы , Prentice Hall, 1980
  2. ^ Нейтс, М. «Распределения вероятностей фазового типа», Liber Amicorum, профессор почета Х. Флорин, страницы 173–206, математический факультет, Лувенский университет, Бельгия, 1975 г.
  3. ^ Секстон, К. и Ханзон, Б., «Расчеты пространства состояний для двусторонних плотностей EPT с использованием приложений финансового моделирования», www.2-ept.com
  4. ^ Мадан, Д., Карр, П., Чанг, Э. (1998) «Процесс дисперсионной гаммы и ценообразование опционов», European Finance Review 2: 79–105
  • 2 - Экспоненциально-полиномиально-тригонометрические (2-EPT) функции плотности вероятности. Архивировано 08.07.2020 на веб-сайте Wayback Machine для справочной информации и реализаций Matlab.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=2-EPT_probability_density_function&oldid=1226802959"